数学真题9题:方差0.01,为何要用0.1算概率

正态分布题里，平均数看起来很好读，方差却容易在代入时被当成标准差。2024年高考新课标Ⅰ卷数学第9题，就适合把这两个量分清：推动出口后的样本方差是0.01，计算“离均值几个标准差”时，用的是它的正平方根0.1。

这是一道多选题，适合已经学习正态分布的同学复习。原题由完整试卷转载资料与中国教育在线原卷图交叉核对，参考答案为BC；这里使用往年试题讲概念，不据此预测2027年考什么。下面的原题卡保留了条件、四个选项及题目给出的概率值。

2024新课标Ⅰ卷数学第9题，依据核验原卷准确重排

先读参数，暂时不算选项

题干先描述了茶叶种植区收入，再给出统计模型。X表示该种植区以往的亩收入，服从正态分布N(1.8，0.1²)；Y表示假设推动出口后的亩收入，服从N(x̄，s²)。将样本数据代入后，后者就是N(2.1，0.01)。收入单位均为万元，概率则是没有单位的数。

正态分布记号N(μ，σ²)里，第二个参数是方差，不是标准差。对X，题目已把方差写成0.1²，所以标准差直接读作0.1；对Y，题目给的是s²=0.01，要先得到s=0.1。两者的标准差相同，均值分别为1.8与2.1。

如果把Y的标准差当成0.01，就会把2与2.1之间的差值判断成十个标准差。这个错误不是概率公式不会用，而是参数含义还没对上。可以在草稿上分别写“中心在哪里”“标准差是多少”，再处理门槛2的位置，避免只凭小数位数计算。

对Y，门槛2在均值左边一个标准差

Y的均值是2.1，标准差是0.1。因此2=2.1−0.1，恰好是μ−σ。正态分布关于均值对称，落在均值右侧的概率是一半；把门槛从均值向左移，右侧包含的区域就更多。所以即使还没有使用0.8413，也已经能判断P(Y>2)>0.5，C正确。

接下来核对D，需要判断它是否小于0.8。题目给出：正态随机变量Z落在μ+σ左侧的概率约为0.8413。利用关于均值的对称性，μ−σ右侧的面积，等于μ+σ左侧的面积，因此P(Y>2)约为0.8413。它大于0.8，D所说“小于0.8”不成立。

这里不需要背一套新的表。把曲线以均值为中线左右翻转，左边少去的那条尾部，就对应右边少去的那条尾部。题目虽然给的是“小于μ+σ”，我们要求的是“大于μ−σ”，两个区域正好通过对称对应。对连续型随机变量，单独一个点的概率为零，所以端点取等与否不改变这里的概率。

两种收入模型中的门槛位置与概率关系，据原题准确排版

对X，知道一个上界就够了

X的均值是1.8，标准差也是0.1，门槛2位于均值右边两个标准差处。A说P(X>2)>0.2，B说P(X>2)<0.5。先看B：2已经在均值右侧，右边剩下的面积自然小于半边，B正确，不需要精算这个尾部概率。

A不能仅凭“小于0.5”就排除，因为某个数小于0.5，仍然可能大于0.2。还要给出更紧的依据。由于2比1.9更靠右，事件“X>2”包含在“X>1.9”之内，所以它的概率不大于后者；正态密度在这段为正，实际上严格更小。

而1.9=1.8+0.1，就是X的μ+σ。由题给概率，P(X>1.9)约为1−0.8413=0.1587，已经小于0.2。因此P(X>2)也小于0.2，A错误。这一步只用到了题目提供的信息，没有必要另外查两个标准差对应的概率值。

遇到选项问大小关系时，可以先问自己：是否只需一个足够说明问题的上界或下界？若已经证明这个概率小于0.1587，判断它能否大于0.2就结束了。继续追求精确小数，反而容易把简单比较带进不熟悉的计算。

用不等号检查推理是否够用

判断A时，若草稿只写“二大于均值，所以概率小于一半”，结论虽然正确，仍不足以否定A。这里缺的不是更多小数，而是能越过零点二这条界线的证据。把门槛稍微放宽到一点九，右侧区域变大，但这个较大的区域仍不到零点二，原来更小的区域当然也达不到。这就是利用事件包含关系比较概率。

还可以检查对Y的推理有没有倒过来：门槛二在均值左侧，要求的又是大于二的右侧面积，所以应该超过一半。若计算得到零点一五八七，说明很可能取了左侧尾部，或把补集算成了目标事件。先用位置判断大概范围，再使用题给概率，能让数值与图像互相核对，不至于算完后直接抄到选项上。

把统计背景和题设模型分开

题目用样本均值、样本方差来设置Y的正态模型，并明确写了“假设”。解题时是在这个模型下比较概率，不能把BC延伸成“所有茶农推动出口后收入都超过两万元”。概率大于一半，只描述模型中相应事件的比例，不是对每个人收入的保证。

也不能只看到推动出口后的均值更高，就认为任何门槛下的所有概率结论都已经自动得到。这里的计算之所以清楚，是因为均值、标准差和门槛都明确给出；每个选项仍应回到自己的变量和不等号去核对。A、B讨论X，C、D讨论Y，抄错变量也会把正确计算用到错误选项上。

合上讲解后，可以在草稿上复现三处关系：Y的标准差为何是0.1，P(Y>2)怎样由对称性得到，以及P(X>2)怎样借助1.9这个位置被限制在0.2以下。能把这三处依据写清，再读一遍四个选项的方向，就能有理由地选出BC，而不是凭图像印象猜答案。

来源：无忧考网完整试卷转载、中国教育在线原卷页、中国教育在线参考答案、无忧学习网配套参考解析第9题。2026年11月7日查阅；参考解析不称考试机构官方评分细则。