北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021届湖南长沙一中月考(三),9)下列说法中正确的有 ( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于0
B.E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X)+1
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<1)=1-2p
D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A=“4个人去的景点各不相
2
同”,事件B=“甲独自去一个景点”,则P(A|B)=
9
答案 CD 根据相关系数的定义,可得两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值
越接近于1,所以A错误;
由于E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X),所以B错误;
因为随机变量ξ服从正态分布N(0,1),
所以P(ξ>1)=P(ξ<-1)=p,
P(-1<ξ<1)=1-2p,所以C正确;
甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游,每人只去一个景点,
事件A=“4个人去的景点各不相同”,事件B=“甲独自去一个景点”,
P(AB) n(AB)
A4
2
4
则P(A|B)= = = = ,
P(B) n(B) C1×33 9
4
所以D正确.
故选CD.
二、填空题
2.(2021浙江名校协作体高三下联考,14)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投
3
递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且
4
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1
三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)= ,则p=
36
1
;若p= ,则随机变量X的期望E(X)= .
2
2 7
答案 ;
3 4
( 3) 1 2
解析 P(X=0)= 1- ·(1-p)2= ,解得p= .
4 36 3
由题意可知:随机变量X可取0,1,2,3,
1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5
且P(X=0)= × × = ,P(X=1)= × × + × × + × × = ,
4 2 2 16 4 2 2 4 2 2 4 2 2 16
3 1 1 3 1 1 1 1 1 7
P(X=2)= × × + × × + × × = ,
4 2 2 4 2 2 4 2 2 16
3 1 1 3
P(X=3)= × × = .
4 2 2 16
故X的分布列为
X 0 1 2 3
1 5 7 3
P
16 16 16 16
1 5 7 3 7
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
16 16 16 16 4
一题多解 对于第二空,记相互独立的随机变量X,X,X 为该毕业生获得甲、乙、丙三个公司面
1 2 3
试机会的个数,则X =0或1,
1,2,3
3 1
分别计算X,X,X 的期望可知E(X)= ,E(X)=E(X)=p= ,
1 2 3 1 4 2 3 2
7
故E(X)=E(X)+E(X)+E(X)= .
1 2 3 4
3.(2021浙江新高考研究卷(一),16)将颜色分别为红、黄、蓝、白的4个球放入编号为1,2,3,4,5的
五个盒子中,每个盒子至多放2个球,则红、黄两球恰好在一个盒子内的概率为 ;记ξ为1
号盒子中的球的个数,则Eξ= .
4 4
答案 ;
27 5
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C1(C1+A2)
5 4 4
80 4
解析 记事件A为红、黄两球恰好在一个盒子内,则P(A)=
(C2C2
)= = .
A4+C2A3+ 4 2 A2 540 27
5 4 5 A2 5
2
ξ的可能取值为0,1,2,
C2C2
A4+C2A3+ 4 2 A2 204 C1(A3+C2A2) 240 C2(A2+C1)
P(ξ=0)= 4 4 4 A2 4= ,P(ξ=1)= 4 4 3 4 = ,P(ξ=2)= 4 4 4 =
2 540 540 540 540
540
96
,
540
204 240 96 432 4
所以Eξ=0× +1× +2× = = .
540 540 540 540 5
4.(2021浙江金华十校4月模拟,15)袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中不放回任取2个球,然
后放回2个黑球,设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)= .第二次取到1个白球1个黑球的
概率为 .
6 27
答案 ;
5 50
解析 由题知ξ的可能取值为0,1,2,
C2
1
C1C1
3
C2
3 1 3 3 6
2 2 3 3
P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,所以E(ξ)=0× +1× +2× = .
C2 10 C2 5 C2 10 10 5 10 5
5 5 5
1
C1C1
3
C1C1
3
C1C1
27
3 2 2 3 1 4
第二次取到1个白球1个黑球的概率P= × + × + × = .
10 C2 5 C2 10 C2 50
5 5 5
5.(2021浙江“9+1”联盟4月联考,14)由1,2,3,4,5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为M,
现从M中任取一个数.设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为ξ,例如:若取出的数为212,
则ξ=1;若取出的数为214,则ξ=2.则概率P(ξ=0)= ,数学期望E(ξ)= .
27 122
答案 ;
125 125
解析 M中的元素有53=125个,这125个三位数(可重复数字)可分以下三类:
①ξ=0,即全由奇数字组成的三位数(可重复数字),有33=27个;
②ξ=1,即只有一个偶数字组成的三位数(可重复数字),有3×3×2×3+3×3×2+2=74个(注意不要遗漏
形如252,344,222等三位数);
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③ξ=2,即只有两个不同的偶数字组成的三位数(可重复数字),有C1 ×A3
+3+3=24个(注意不要遗漏
3 3
形如242,244等三位数).
所以ξ的分布列如下:
ξ 0 1 2
27 74 24
P
125125125
27 74 24 122
所以E(ξ)=0× +1× +2× = .
125 125 125 125
方法点拨 求解数学期望问题,首先,要正确理解题意,其次,要准确无误地找出随机变量的所有可
能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要
过三关:(1)阅读理解关;(2)概率计算关;(3)公式应用关.
6.(2021四川南充重点高中月考,14)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定先连胜两局者赢得比赛,假设每
3 2
局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛相互独立,则恰好进行了4局结束比赛的概率为
5 5
.
78
答案
625
解析 有两种情况:
3 2 3 3 54
(1)甲第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时P= × × × = ;
1
5 5 5 5 625
2 3 2 2 24
(2)乙第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时P= × × × = ,
2
5 5 5 5 625
54 24 78
所以恰好进行了4局结束比赛的概率为P+P= + = .
1 2
625 625 625
三、解答题
7.(2021天津一中月考,17)甲乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的
2
概率都是 ,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,
3
只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列与期望.
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解析 (1)甲恰有2个题目答对的概率P= C2(2) 2 ×(1) 2 = 8 .
4 3 3 27
(2)X的可能取值为2,3,4,
P(X=2)= C 2 2C2 8= 28 = 2 ,
C4 210 15
10
P(X=3)=
C1
2
C3
8=112= 8 ,
C4 210 15
10
P(X=4)= C 8 4 = 70 =1.
C4 210 3
10
∴X的分布列为
X 2 3 4
2 8 1
P
15 15 3
2 8 1 16
∴EX=2× +3× +4× = .
15 15 3 5
8.(2021北京朝阳二模,17)为迎接2022年冬奥会,某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛.
为了解知识竞赛成绩优秀(不低于85分)学生的得分情况,从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩
优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本,得分情况统计如下图所示(满分100分,得分均
为整数),其中高二年级学生得分按[85,90),[90,95),[95,100]分组.
(1)从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人,求其得分不低于90分的概率;
(2)从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人,用频率估计概率,记X为取出
的3人中得分不低于90分的人数,求X的分布列及数学期望;
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(3)由于高二年级学生样本原始数据丢失,请根据统计图信息,判断高二年级学生样本得分的最高分
至少为多少分时,高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分,并说
明理由.
解析 (1)设事件A:从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人,其得分不低于90分,
8 2
则P(A)= = .
20 5
2
所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人,其得分不低于90分的概率为 .
5
(2)由(1)可知,从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取1人,其得分不低于90
分的概率为0.4.
由题意可知,X~B(3,0.4),X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)= ×0.63×0.40=0.216;
C0
3
P(X=1)= ×0.62×0.41=0.432;
C1
3
P(X=2)= ×0.61×0.42=0.288;
C2
3
P(X=3)= ×0.60×0.43=0.064.
C3
3
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
所以X的数学期望E(X)=3×0.4=1.2.
85×4+86×3+87×3+90×4+92
(3)由题意可知,高一年级学生样本得分的平均分为 =
15
1 311
=87.4.
15
设高二年级学生样本得分的最高分为m.
由题图可知,要使得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分,
85×12+90×7+m
只需 >87.4,解得m>98.
20
所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99分时,高二年级学生样本得分的平均分一定超
过高一年级学生样本得分的平均分.
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9.(2021北京门头沟高三一模,16)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办.为了
普及冬奥知识,京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了
20名学生作为样本,得到他们的分数统计如下:
分数段 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80
分及以上为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少?
(2)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中的优秀人数,
求X的分布列与期望.
解析 (1)记“从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀”为事件A.
P(A)=
C2
4 = 3 .
C2 95
20
4 1
(2)记“从样本中随机抽取一名学生,这名学生为优秀”为事件B,由题意可得P(B)= = .
20 5
X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)= C0( 1- 1) 2=16,P(X=1)= C1 ×1×( 1- 1)= 8 ,P(X=2)= C2(1) 2= 1 .
2 5 25 2 5 5 25 2 5 25
所以X的分布列为
X 0 1 2
16 8 1
P
25 25 25
16 8 1 2
所以X的数学期望E(X)=0× +1× +2× = .
25 25 25 5
10.(2021河南百校联盟4月联考,19)某资源网推出精品资料营销,数学学科新教材必修第一册共计
推出48个教案,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段教案的下载量进行统计:
下载量 [0,100] (100,200] (200,+∞)
个数 8 24 16
(1)现从48个教案中采用分层抽样的方法选出6个,求选出的下载量超过200的个数;
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(2)为了更好地鼓励作者,现在在基本工资的基础上推出如下奖励措施,若下载量在区间[0,100]内,
不予奖励,若下载量在区间(100,200]内,则每个教案奖励500元;若下载量超过200,则每个教案奖励
1 000元,现从(1)中选出的6个教案中随机取出2个教案进行奖励,求奖励金额X的分布列与数学
期望.
16
解析 (1)根据分层抽样的特点,可知选出的下载量超过200的个数为6× =2.
48
(2)X的可能取值为500,1 000,1 500,2 000.
P(X=500)= C 1 1C1 3=1 ,P(X=1 000)= C 3 2+C 1 1C1 2=1 ,
C2 5 C2 3
6 6
P(X=1 500)= C1 3 C1 2=2 ,P(X=2 000)= C 2 2 = 1 .
C2 5 C2 15
6 6
则奖励金额X的分布列为
X 500 1 000 1 500 2 000
1 1 2 1
P
5 3 5 15
1 1 2 1 3 500
故奖励金额X的数学期望E(X)=500× +1 000× +1 500× +2 000× = .
5 3 5 15 3
11.(2021陕西宝鸡重点高中质检,19)某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千
元)的数据如表:
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)若y关于t的线性回归方程为^=bt+2.3,根据表中数据求出实数b,并预测2021年该地区农村居
y
民家庭人均纯收入;
(2)在2014年至2020年中随机选取四年,用X表示四年中人均纯收入高于3.6千元的个数,求X的
分布列和E(X).
1
解析 (1)由题意得t= ×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
7
1
y= ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
7
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把 =4, =4.3代入^=bt+2.3得4.3=4b+2.3,解得b=0.5,所以^=0.5t+2.3.
t y
y y
当t=8时,^=6.3,即2021年该地区农村居民家庭人均纯收入为6.3千元.
y
(2)这七年中人均纯收入高于3.6千元的有四年,所以X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)= C 3 3C1 4= 4 ,P(X=2)= C 3 2C2 4=18,
C4 35 C4 35
7 7
P(X=3)= C1 3 C3 4=12,P(X=4)= C 3 0C 4 4 = 1 ,
C4 35 C4 35
7 7
则X的分布列为
X 1 2 3 4
4 18 12 1
P
35 35 35 35
4 18 12 1 16
所以E(X)=1× +2× +3× +4× = .
35 35 35 35 7
12.(2021山西太原一模,18)某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,
决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.
为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,下表是该部门从去年某月
到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.
老年人 中年人 青年人
满意度
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
(1)已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客,由上表中的数据分析,甲最有可能是老年
人、中年人和青年人这三种人群中的哪一类人群?
(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中,随机抽取3人征
集整改建议,记X表示这3人中老年人的人数,求X的分布列和期望;
(3)若你朋友要到该地区旅游,根据上表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目?
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15 5
解析 (1)由题表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为p= = ,p=
1 2
18 6
30 3 22 11
= ,p= = ,因为p>p>p,所以老年人更倾向于选择报团游,故甲最有可能是老年人.
3 1 2 3
40 4 42 21
(2)由题意得X所有可能的取值为0,1,2,
P(X=0)= C 1 3 3=22,P(X=1)= C 1 2 3 C1 2=12,P(X=2)= C 1 1 3 C 2 2 = 1 ,
C3 35 C3 35 C3 35
15 15 15
∴X的分布列为
X 0 1 2
22 12 1
P
35 35 35
22 12 1 2
∴E(X)=0× +1× +2× = .
35 35 35 5
12+18+15 45
(3)由题表可知,报团游的满意度为满意的频率为p= = ,
4 15+30+22 67
1+4+6 1
自助游的满意度为满意的频率为p= = ,因为p>p,故建议他选择报团游.(答案不唯一,
5 3+10+20 3 4 5
合理即可)
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)设m,n>0,若随机变量ξ,η的分布列如下:
ξ -1 0 2
5 1 13
η -
2 2 2
1
P m n
2
则下列说法错误的是 ( )
1
A.mn的最大值为 B.P(ξ≥0)=P(η>0)
16
C.E(2ξ-1)<E(1-η) D.D(ξ)<D(η)
答案 C
2.(2021 5·3原创题)已知随机变量ξ的分布列如表所示.
ξ a b
1 1
P
b a
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则当a逐渐增大时,E(ξ)-D(ξ) ( )
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.以上均不正确
答案 D
3.(多选题)某次乒乓球单打比赛中,A,B,C,D四人进入半决赛并争夺1—4名.比赛规则为:第一阶段
(半决赛),A,B两人进行一场比赛,决出胜负,C,D两人进行一场比赛,决出胜负;第二阶段(决赛)半决
赛中的两位获胜者进行一场比赛决出第1,2名,其余两人进行一场比赛决出第3,4名.已知在单局
2 1
比赛中,A胜B,B胜C,C胜A的概率均为 ,D胜其他任何人的概率均为 ,比赛各局相互独立且比
3 2
赛中没有平局.记比赛结束后,A,B,C,D四人的名次分别为随机变量X,Y,Z,W,则下列说法正确的是
( )
A.D(X+Y+Z+W)=0
B.P(X=1)=P(Y=1)=P(Z=1)=P(W=1)
C.E(X)=E(Y)=E(Z)=E(W)
D.P(W=1)=P(W=2)=P(W=3)=P(W=4)
答案 AD
4.(2021 5·3原创题)某地某商家为回馈新老顾客,在2021年的“周年庆典”中开展一系列的促销
活动,其中有一项活动是凡购物满6 888元的顾客会获得一件赠品,顾客凭购物小票用简单随机抽
样方法中的抽签法在甲、乙、丙三种赠品中随机抽取一种赠品,现恰有3名顾客的购物金额满6
888元.设随机变量ξ表示获得赠品种类完全相同的顾客人数,则P(ξ=3)= ,E(ξ)= .
1 5
答案 ;
9 3
5.(2021 5·3原创题)在独立重复试验中,每次成功的概率为p,若ξ表示出现首次成功时的试验次数,
此时称随机变量ξ服从几何分布.
1
(1)在一个抽奖活动中,假设每次中奖的概率都为 ,X表示第一次中奖时抽奖的次数,求X的概率分
3
布列;
(2)求随机变量X的期望;
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(3)最近几年春节前大家都在参与支付宝集五福的活动,这个活动已经成为互联网时代下的一种新
的“年味”.假设每次扫福字,出现每种福字的概率相等,试估计要集齐5种福字,平均需要扫多少
次福字.
解析 (1)X的所有可能的取值为1,2,3,4,…,n,…,
1
P(X=1)= ,
3
2 1
P(X=2)= × ,
3 3
2 2 1
P(X=3)= × × ,
3 3 3
P(X=4)=(2) 3×1,
3 3
……,
P(X=n)=(2) n-1×1,
3 3
……,
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 … n …
1 2 1 2 2 1 (2) 3 1 (2) n-1 1
P × × × × … × …
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
(2)设S
n
=
∑
n k(2) k-1 ×1
3 3
k=1
=1×1+2×2×1+3×(2) 2 ×1+…+n×(2) n-1 ×1
3 3 3 3 3 3 3
=1[ 2 (2) 2 (2) n-1] ,
1+2× +3× +…+n×
3 3 3 3
则
2S
n
=1[
1×
2
+2×
(2) 2
+…+n×
(2) n]
,
3 3 3 3 3
两式相减得 1S=1 1+2+(2) 2 +…+(2) n-1 -n×(2) n ,
n
3 3 3 3 3 3
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所以S
n
=1+2+(2) 2 +…+(2) n-1 -n×(2) n =3-(n+3)×(2) n ,E(X)=lim
¿
S
n
=3.
3 3 3 3 3 n→+∞
(3)根据前面两问的提示,我们可以推广到一般的情况,如果每次中奖的概率为p,则中奖需要的平均
1 4
次数为 ,考虑扫第一张福字,需要1次;再考虑要扫出和第一张福字不同的福字的概率为 ,所以
p 5
5 3 5
平均需要扫 次;同理,考虑扫出和前两张都不同的福字的概率为 ,所以平均需要扫 次,以此类推,
4 5 3
5 5 5 137
扫出完整的五种福字平均需要扫1+ + + +5= ≈11.4次.
4 3 2 12
6.(2021 5·3原创题)2020年10月11日青岛出现3名本土新冠肺炎感染者,青岛决定对全市1 100
万人进行全员核酸检测,由于任务量大,检测采用了10合1混采检测技术以提高效率,此技术可视
为以下简化模型.假设患病率为p(由于已有病例,故取p>0),假设总体是均匀的,10合1混采检测技
术,就是将10名被测试者的采样混合在一起,做一次检测,若结果为阴性,则10名被测试者均为未
患病者;若结果为阳性,则再分别对10名被测试者做一一检测,来判断10名被测试者的健康状况.
(1)求一次10合1混采检测中,检测次数X的分布列,并计算X的期望(用p表示);
(2)若要使(1)中的期望值小于2,求p的取值范围,并结合以下报道说明青岛市采用10合1混采检测
技术的合理性.10月12日报道:已检测出结果的31万份核酸中除9份阳性外其余均为阴性;
(3)若某国患病率为3%,假设总体均匀,如果该国也想用n合1混采检测技术对全员进行核酸检测
(n≥2),要使一次n合1混采检测中检测次数的期望值小于2,求n的最大值.
(参考数据:
0.10.1≈0.79,0.90.1≈0.99,0.972≈0.94,0.973≈0.91,0.974≈0.89,0.975≈0.86,0.976≈0.83,0.977≈0.81)
解析 (1)X的所有可能取值为1,11,
P(X=1)=(1-p)10,P(X=11)=1-(1-p)10,
所以X的分布列为
X 1 11
P (1-p)10 1-(1-p)10
E(X)=1×(1-p)10+11×[1-(1-p)10]=11-10(1-p)10.
(2)结合(1)得11-10(1-p)10<2,p<1-0.90.1,
∴0<p<0.01.
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9
根据报道估计p= ,远远小于0.01,此时“10合1混采检测技术”检测次数期望值小于2,
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与10个人要检验10次的普通方法进行对比,可大幅提高检测效率,缩短检测时间.
(3)设检测次数为Y,则Y的所有可能取值为1,n+1(n≥2),
P(Y=1)=0.97n,P(Y=n+1)=1-0.97n,
所以Y的分布列为
Y 1 n+1
P 0.97n 1-0.97n
E(Y)=1×0.97n+(n+1)×(1-0.97n)=n+1-n·0.97n
1
令E(Y)<2,得1- <0.97n.
n
1
令f(n)=1- ,g(n)=0.97n,
n
易知当n≥2时, f(n)单调递增,g(n)单调递减,
1
f(2)= ,g(2)=0.972≈0.94, f(2)<g(2);
2
2
f(3)= ,g(3)=0.973≈0.91, f(3)<g(3);
3
3
f(4)= ,g(4)=0.974≈0.89, f(4)<g(4);
4
4
f(5)= ,g(5)=0.975≈0.86, f(5)<g(5);
5
5
f(6)= ,g(6)=0.976≈0.833 0, f(6)>g(6).
6
∴满足题意的n的最大值为5.
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