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高中数学|抛物线动点被＂钉＂在定直线上:韦达积一约分,答案自己跳出来
靖競｜高中数学
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01导语
这道选择题的装置很经典：一条抛物线、一个定点M(0,2)、一条过定点的动弦，再让动点D去跟直线AO发生关系。动点本该”动”，可题目信誓旦旦说它落在一条定直线上——秘诀只有一句话：把D的坐标用韦达定理的积表示出来，参数k会在约分时自己消失。选项里那个不起眼的(x≠0)，也是命题人埋好的验证点。
02原题
如图，已知抛物线C:x²=4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点），则动点D在定直线（ ）上。
A．
B．
C．
D．
答案
A（D在定直线上）．
03解析
第一步：设线之前，先确认”斜率必存在”。
直线与C交于两点，而竖直线x=0与抛物线x²=4y只交于原点一点——所以”任作一直线”交于两点的过程中，斜率k自动存在（k=0也可以，此时直线y=2与C交于）。设
AB:y=kx+2.
第二步：联立，盯住韦达积。
代入x²=4y：
判别式Δ=16k²+32>0，恒有两个交点。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，韦达定理给出
x₁x₂=−8.
注意：与k无关——这就是本题全部戏法的底牌。同时x₁x₂=−8≠0说明两根都不为零。
第三步：把D的坐标用”积”表示。
直线AO过原点与A，方程为（x₁≠0已由韦达积保证）；BD与y轴平行，方程为x=x₂。联立即得
第四步：约分，定值现形。
把的分子分母同乘x₁，凑出韦达积：
再用”点在抛物线上”的翻译x₁²=4y₁（y₁≠0因x₁≠0）：
参数k被整体约掉，；而。所以动点D恒在定直线
上，选A。
两组自检：k=0时、，✓；时两根为4与−2，无论A、B怎么命名，D的纵坐标都是−2✓。
两个顺带说透的细节：
•定值与命名无关。若把A、B记号对调，，同样成立——这份”对称的保险”来自韦达积不挑根。
•(x≠0)不是多余的。任取x₂≠0，令，再取，这组弦就实现了它——所以取遍一切非零实数，D的轨迹是直线y=−2挖去点(0,−2)。挖去的这个点恰好关于抛物线对称轴与M(0,2)对偶，命题人把它写进了每个选项的括号里。
04思维升华
其一，定值题的第一本能：把目标量凑成韦达积的倍数。里本该藏着k，但分子分母同乘x₁后，x₁x₂整块浮出水面——“乘一乘”比”除一除”更容易撞见韦达积。看到分式里有x₂/x₁这种比值，先试这种”凑积”变形，是消参的常规武器。
其二，“点在曲线上”是一把随取随用的除法刀。抛物线x²=4y给出x₁²=4y₁，本题它恰好坐在分母位置上，一约就把y₁清空。椭圆里有对应的，双曲线亦然——“点在曲线上”的方程从来不只是验证工具，它是代数变形时可以随时代入的等式储备。
其三，选择题的括号条件是免费的验钞机。(x≠0)对应韦达积x₁x₂=−8≠0：两根恒非零，轨迹挖去(0,−2)。四个选项的括号两两不同（x≠0与y≠0），只需算完纵坐标为−2、横坐标非零，就能同时锁定等式与括号——做选择题时把括号当条件用，常常比硬算更快。
其四，竖直线与水平线是”设线”前的必查项。本题竖直线交不出两点、自动出局；而k=0合法且参与验证。类似题目里，“过定点的直线”若定点在抛物线内部（如M(0,2)在C内），任何方向都有两交点，只需排除竖直；若定点在外，还要补判别式的范围——动笔前花十秒查一遍，比事后补漏体面得多。
