第 2 讲 韦达定理 方程函数
1. 三次方程的韦达定理
设三次方程 a x
3+b x
2+cx +d =0(a≠0) 的三个根分别是 x1, x2, x3 ,则有
a x
3+b x
2+cx +d =a(x −x1)(x −x2)(x −x3) ,只要把式子展开,比较 x 的同次项系
数即可得三次方程的韦达定理:
{
x1+ x2+ x3=−b
a ,
x1 x2+ x1 x3+ x2 x3= c
a ,
x1 x2 x3=−d
a . )
2. 函数单调性在方程中的应用
若 f (x) 为单调函数,则 f (m)= f (n)⇔m=n .
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【例 1】若实数 p,q 是方程 x
2+6 x +5a−a
2=0 的两根,且满足 q+8 p= p
3
,则实数 a 的可能取值有_____个.
【分析】一元二次方程的根满足 q+8 p= p
3 ,可以用韦达定理整体代入,解
得其中一个根.
由韦达定理得 {
p+q =−6,
p⋅q =5a−a
2,)
将 p+q =−6 代入 q+8 p= p
3 消去 q 可得,
p
3−7 p+6= p
3−p−6( p−1)=( p−1)( p−2)( p+3),
解得 p=1 或 2 或-3,
(1) 当 p=1 时， 5a−a
2=−7 ，解得 a 有两个解，符合条件；
(2) 当 p=2 时， 5a−a
2=−16 ，解得 a 有两个解，符合条件；
(3) 当 p=−3 时， 5a−a
2=9 ，无实数根；
故实数 a 的可能取值有 4 个.
【解答】4
【例 2】方程 3√15 x−x
2+1+
3√x
2−15 x +27= 4 的实根个数为( )
A.2 B. 3 C. 4 D. 以上选项都不对
【分析】求根式方程的实根个数,首先通过换元将一元方程问题转化为两个
参数 a,b 的问题,接着通过消去变量建立方程组,即可求解参数 a,b .
令 a=
3√15 x−x
2+1,b=
3√x
2−15 x +27 ,
则有 {
a+b= 4 ,
a
3+b
3=28,)
所以 a
3+b
3=(a+b)[(a+b)
2−3ab)=28 ,
可得 {
a+b= 4 ,
ab=3, ) 解得 {
a=3,
b=1) 或 {
a=1,
b=3,)
当 {
a=3,
b=1) 时,代入可得 x
2−15 x +26=0 ,解得 x =2 或 13 ;
当 {
a=1,
b=3) 时,代入可得 x
2−15 x =0 ,解得 x =0 或 15 ;
综上, 实根个数为 4 .
【解答】C
【例 3】已知三个不同的实数 x , y , z 满足 x
3−3 x
2= y
3−3 y
2= z
3−3 z
2 ,则
x + y + z 等于( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 前三个答案都不对
【分析】利用三者形式的一致, 构造方程是解决这一问题的关键.
设 x
3−3 x
2= y
3−3 y
2= z
3−3 z
2=t ,可得 x , y , z 是方程 k
3−3k
2−t =0 的三
个不同的根.
解法一: 直接使用三次方程的韦达定理可得 x + y + z =−(−3)=3 .
解法二: 构造方程 (k −x)(k −y)(k −z)=0 ,展开后与 k
3−3k
2−t =0 对应系
数可得 x + y + z =3 .
【解答】D
【例 4】设 x , y 满足 (3 x + y)
5+ x
5+ 4 x + y =0 ,则点 (x , y) ( )
A. 只有有限个 B. 有无限个
B. 位于同一条直线上 D. 位于同一条抛物线上
【分析】通过变换方程构造出一个五次单调的奇函数, 借助函数的增减性
实现两边相等.
注意结构,因为 (3 x + y)
5+ x
5+ 4 x + y =0 ,
所以 (3 x + y)
5+ x
5+3 x + y + x =0 ,
所以 (3 x + y)
5+(3 x + y)=−x
5−x .
记 f (t )=t
5+t 为增函数,则 f (3 x + y)= f (−x) ,
所以 3 x + y =−x ,即 4 x + y =0 ,
故有无限个点, 这些点构成一条直线.
【解答】BC
【例 5】关于 x 的方程 log2(x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6+1)=1+ log2(x
4+1) 的实
数解为( )
A. −1+ ❑√5
2
B. −1−❑√5
2
C. ± ❑√
1+ ❑√5
2
D. ± ❑√
−1+ ❑√5
2
【分析】将高次方程通过因式分解或构造函数降低次数是解决这一问题的
常用解法, 利用选项信息可以试一试因式 x
4+ x
2−1, x
4−x
2−1, x
2+ x−1 进行因
式分解; 或者根据式子特点构造 f (m)= f (n) 型的方程.
因为 log2(x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6+1)=1+ log2(x
4+1) ,
所以 x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6+1=2 x
4+2 .
解
法
一
:
分
解
因
式
得
x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6−2 x
4−1=(x
4+ x
2−1)(x
8+2 x
6+ 4 x
4+ x
2+)1)=0 ,
所以 x
4+ x
2−1=0 ,解得 x
2= −1+ ❑√5
2
或 −1−❑√5
2
(舍去),
故 x =± ❑√
−1+ ❑√5
2
.
解法二: 因为 x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6+1=2 x
4+2 ,
所以 x
12+3 x
10+5 x
8+3 x
6=2 x
4+1 ,
两边同时除以 x
6 得 x
6+3 x
4+5 x
2+3= 1
x
6 +2(
1
x
2)
,
所以 (x
2+1)
3+2(x
2+1)=(
1
x
2)
3
+2(
1
x
2)
.
令 t = x
2+1 ,则 f (t )=t
3+2t 是增函数,且 f (x
2+1)= f(
1
x
2)
,
故 x
2+1= 1
x
2 ,解得 x =± ❑√
−1+ ❑√5
2
.
【解答】D
【例 6】方程 (
x
3+ x
3 )
3
+ x
3+ x
3
=3 x 的所有实数根的平方和等于( )
A.3 B. 2 C. 4 D. 前三个答案都不对
【分析】本题无法通过函数的单调性解决, 实质上需要构造迭代函数.
因为 (
x
3+ x
3 )
3
+ x
3+ x
3
=3 x ,所以 (
x
3+ x
3 )
3
3
+
x
3+ x
3
3
= x
,
记 f (x)= x
3+ x
3
,则原方程可化成 f (f (x))= x .
解法一: (因式分解) 因为 (
x
3+ x
3 )
3
3
+
x
3+ x
3
3
−x =0
,
所以 (
x
3+ x
3 )
3
3
+
x
3+ x
3
3
−x
3+ x
3
+ x
3+ x
3
−x =0
,
所以 (
x
3+ x
3 )
3
−x
3
3
+(
x
3+ x
3 )−x
3
+ x
3+ x
3
−x =0
,
所以 (
x
3+ x
3
−x)[(
x
3+ x
3 )
2
+ x
3+ x
3
⋅x + x
2
3
+ 4
3)=0
.
再由 x
3+ x
3
−x =0 解得 x =0 或 x =± ❑√2 ,
所以所有实数根的平方和为 4 .
解法二: 先证一个引理: 若 f (x) 为 R 上的增函数, 记
A ={x ∣f (f (x))= x },B ={x ∣f (x)= x } ,则 A = B .
证明: 显然 B⊆A ,下一步证明 A ⊆B ,
对任意 x0∈A ,假设 x0∉B ,即 f (x0)≠x0 ,
若 f (x0)> x0 ,则由增函数性质可得 f (f (x0))>f (x0)> x0 ,矛盾,
同理 f (x0)< x0 也不符合,
所以 f (x0)= x0 ,即得 x0∈B ,所以 A ⊆B ,故 A = B .
因为 (
x
3+ x
3 )
3
3
+
x
3+ x
3
3
= x
,
所以 f (x)= x
3+ x
3
= x ,解得 x =0 或 x =± ❑√2 .
所以所有实数根的平方和为 4 .
【解答】C
