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1 一、选择题
（1）
当 时，与 等价的无穷小量是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： B
解析： 当 时，，，。又 ，故选 B。
（2）
函数 在 上的第一类间断点是 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案： A
解析： 函数的间断点为 。当 时，；当 时，。左右极限存在但不相等，故 为第一类间断点。
（3）
连续函数 在区间 ， 上的图形分别是直径为 的上、下半圆周，在区间 ， 上的图形分别是直径为 的上、下半圆周。设 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： C
解析： 由图形可知 为奇函数，故 为偶函数，。又 ，，因此 。
（4）
设函数 在 连续，则下列命题错误的是（ ）
A. 若 存在，则
B. 若 存在，则
C. 若 存在，则 存在
D. 若 存在，则 存在
答案： D
解析： 取 ，则 存在，但 在 处不可导，故 D 错误。
（5）
曲线 的渐近线的条数为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： D
解析： 当 时，，故 是铅直渐近线；当 时，，故 是水平渐近线；当 时，，且 ，故 是斜渐近线。共有 条渐近线。
（6）
设函数 在 上具有二阶导数，且 ，令 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 必收敛
B. 若 ，则 必发散
C. 若 ，则 必收敛
D. 若 ，则 必发散
答案： D
解析： 因 ，所以 严格递增。由拉格朗日中值定理，，其中 。若 ，则 ，从而 递增且趋于 ，故发散。
（7）
二元函数 在点 处可微的一个充分条件是（ ）
A.
B. 且
C.
D. 且
答案： C
解析： 由 C 可得 ，即 ，其中 。这正符合可微定义，故 C 是充分条件。
（8）
设函数 连续，则二次积分 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： B
解析： 原积分区域为 。换序后，，故选 B。
（9）
设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： A
解析： 因为 ，且系数不全为零，所以 A 中向量组线性相关。
（10）
设矩阵 ，，则 与 （ ）
A. 合同，且相似
B. 合同，但不相似
C. 不合同，但相似
D. 既不合同，也不相似
答案： B
解析： 的特征值为 ， 的特征值为 ，故二者不相似。但 均为实对称矩阵，且正惯性指数均为 ，负惯性指数均为 ，故二者合同。
2 二、填空题
（11）
________。
答案：
解析： 由 ，，得 ，故原极限为 。
（12）
曲线 上对应于 的点处的法线斜率为 ________。
答案：
解析：。代入 ，得 ，故法线斜率为 。
（13）
设函数 ，则 ________。
答案：
解析： 由 ，得 。令 ，即得 。
（14）
二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为 ________。
答案：
解析： 特征方程 的根为 ，齐次通解为 。设特解 ，代入得 ，故通解为 。
（15）
设 是二元可微函数，，则 ________。
答案：
解析： 设 ，则 ，。整理得 。
（16）
设矩阵 ，则 的秩为 ________。
答案：
解析： 直接计算得 ，故 。
3 三、解答题
（17）
设 是区间 上的单调、可导函数，且满足
，
其中 是 的反函数，求 。
解析： 两边对 求导，得 ，即 。当 时，，故 。由题设可得 ，所以 。因此 。
（18）
设 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域。
（Ⅰ）求区域 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；
（Ⅱ）当 为何值时， 最小？并求出最小值。
解析：
（Ⅰ）由旋转体体积公式，
。
因为 ，所以
。
（Ⅱ）求导得
。
令 ，得 。此时 取最小值，且
。
（19）
求微分方程 满足初始条件 的特解。
解析： 令 ，则 。原方程化为 ，即 。解得 。由 得 ，故 。于是 ，积分并用 ，得 。
（20）
已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方程 所确定。设 ，求 与 。
解析： 由 ，得 。两边求导并代入 ，得 ；再求导得 。
设 ，则 。有 ，，故 。
又 ，所以
。
（21）
设函数 ， 在 上连续，在 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ，，证明：存在 ，使得 。
解析： 令 。由题设可知存在 ，使得 。又 。在 与 上分别应用罗尔定理，得 。再对 用罗尔定理，得存在 ，使 ，即 。
（22）
设二元函数
计算二重积分 ，其中 。
解析： 记 ，。则
。
由对称性，
。
对第二项用极坐标，第一象限中 与 分别对应 与 。故
。
因此
。
（23）
设线性方程组
与方程
有公共解，求 的值及所有公共解。
解析： 将方程组与方程联立，对增广矩阵作初等行变换，可得有解条件为 ，故 或 。
当 时，公共解为
，
其中 为任意常数。
当 时，公共解为
。
（24）
设 3 阶实对称矩阵 的特征值 ， 是 的属于 的一个特征向量。记 ，其中 为 3 阶单位矩阵。
（Ⅰ）验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵 。
解析：
（Ⅰ）因 ，所以 。于是
。
故 是 的特征向量，对应特征值为 。
设 ，则 。由 ，得 的全部特征值为 。
属于 的全部特征向量为
。
属于 的特征向量与 正交，故满足 ，其全部特征向量为
，
其中 不同时为零。
（Ⅱ）取
，
则 。计算得
。
