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→➌题型突破←→➍专题精练←
题型一最值、增减项
1.关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】
根据二次函数 的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，
根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】
解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据
顶点坐标求出最值．
2.已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x，x，x 对应的函数值分别为y，y，y．当
1 2 3 1 2 3
−13时，y，y，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用
数形结合，即可求解．
【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x=-1，x=3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：
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由图象知 ．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．利用数形结合解题是关键．
3.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（
）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，
即可求出m﹣n的最大值．
【详解】
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故选：C．
【点睛】
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本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
4.已知抛物线 （a，b，c是常数， ）经过点 ，有下列结论：①
；②当 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意可知： ， ， ，
， ，即 ，得出 ，故①正确；
， 对称轴 ，
， 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，故②不正
确；
，
关于x的方程 有两个不相等的实数根，故③正确．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练
掌握二次函数的性质并能应用求解．
题型二平移、旋转、对称
5.将抛物线 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线
必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线 的图象
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向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：将抛物线 化为顶点式，
即：
，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：
，
A选项代入， ，不符合；
B选项代入， ，符合；
C选项代入， ，不符合；
D选项代入， ，不符合；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即 的形
式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写
出平移后的解析式是解题关键．
6.抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以
a不变，选出答案即可．
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【详解】解：抛物线 经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，
而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题
关键，还要掌握 通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a
的大小．
7．将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点
不变
【答案】D
【分析】
根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】
将抛物线 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随
x的变化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】
此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
8．已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位
长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是
（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数 向右平移3个单位，得： ；
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再向上平移1个单位，得： +1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴ +1即
解得： 或
∵抛物线 的对称轴在 轴右侧
∴ ＞0
∴ ＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9.设抛物线 ，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点 ，则 ______；
（2）将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大
值是______．
【答案】0 2
【分析】
（1）直接将点 代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，
再通过配方得出最值
【详解】
解：（1）将 代入 得：
故答案为：0
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（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时， 有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】
本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方
法
10.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．
则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m的取值范围判断新抛物
线的顶点所在的象限即可．
m−1 (m−1) 2
【解析】∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x− ）2+m− ，
2 4
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m−1 (m−1) 2
∴该抛物线顶点坐标是（ ，m− ），
2 4
m−1 (m−1) 2
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（ ，m− −
2 4
3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
m−1
∴ ＞0，
2
(m−1) 2 4m−(m2−2m+1)−12 −(m−3) 2−4 (m−3) 2
∵m− −3= = =− −1＜0，
4 4 4 4
m−1 (m−1) 2
∴点（ ，m− −3）在第四象限；
2 4
故选：D．
11.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点
成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，
代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由 ， ；
∴对应的原抛物线上点的坐标为 ；
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代入原抛物线解析式可得： ，
∴新抛物线的解析式为： ；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线
的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的
对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含
了数形结合的思想方法等．
题型三含参问题
12.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
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∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
13.对称轴为直线x＝1的抛物线 （a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，
小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a
＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确
的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵- =1，
∴b=-2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
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∴b2-4ac＞0，故②正确；
③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x=-1时，y=a-b+c=a-（-2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到值最小，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、
对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
14.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴
1
是直线x= ．有下列结论：
2
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
1
③a＜− ．
2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
b 1
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴− = ，b＝﹣a，判断a，b与0的关系
2a 2
得到abc＜0，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；
根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．
1
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x= ，
2
1
而点（2，0）关于直线x= 的对称点的坐标为（﹣1，0），
2
∵c＞1，
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∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
1
∵抛物线对称轴为直线x= ，
2
b 1
∴− = ，
2a 2
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，
∴﹣2a＝c，
∵c＞1，
∴﹣2a＞1，
1
∴a＜− ，故③正确，
2
故选：C．
15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣
2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
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A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，当实数t＞ 时，y＜y
1 1 2 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进
行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）
之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）
和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之
间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P（t，y），P（t+1，y）在抛物线上，
1 1 2 2
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∴当点P、P 都在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时t≥1；
1 2 1 2
当点P 在直线x＝1的左侧，点P 在直线x＝1的右侧时，y＜y，此时0＜t＜1且t+1﹣1
1 2 1 2
＞1﹣t，即 ＜t＜1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y＜y，所以D选项的结论错误；
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x
轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
16.已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；
② ；③ ；④ （ ）；⑤若方程 ＝1
有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可
对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得
，则 ，根据 可得 ，代入变形可对③进行判断；当
时， 的值最大，即当 时，即 > ，则
可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根
与系数的关系可对⑤进行判断．
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【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴ >0
∴ ，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，
∴
由图象得，当 时， ，
∴
∴ ，故③正确；
④当 时， 的值最大，
∴当 时， > ，
∴ （ ），
∵b＞0，
∴ （ ），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
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∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（- ）=2× =4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数
a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开
口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），
对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线
与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-
4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结
合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综
合判断即可．
【解析】抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①
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正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是
有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实
数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
18．如图是抛物线 的部分图象，图象过点 ，对称轴为直线 ，有
下列四个结论：① ；② ；③y的最大值为3；④方程
有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ =1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
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∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由 得 ，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴ 有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想
解决问题是解答的关键．
19.已知抛物线 （ ， ， 是常数）， ，下列四个结论：
①若抛物线经过点 ，则 ；
②若 ，则方程 一定有根 ；
③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点；
④点 ， 在抛物线上，若 ，则当 时， ．
其中正确的是__________（填写序号）．
【答案】①②④
【分析】
①将 代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，
则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公
共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若
0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴 ，因为a>0在对称轴左
侧，函数单调递减，所以当xy，故④正确．
1 2 1 2
【详解】
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解：∵抛物线经过点
∴ ，即9a-3b+c=0
∵
∴b=2a
故①正确；
∵b=c，
∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0
∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0
∴一定有根x=-2
故②正确；
当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、
b、c使b2-4ac≤0，故③错误；
若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴 ，因为a>0在对称轴
左侧，函数单调递减，所以当xy，故④正确．
1 2 1 2
故填：①②④．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质
成为解答本题的关键．
20．关于抛物线 ，给出下列结论：①当 时，抛物线与直线
没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，
0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角
形区域内（包括边界），则 ．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】
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先联立方程组，得到 ，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种
情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线
的顶点坐标为： ，进而即可求解．
【详解】
解：联立 ，得 ，
∴∆= ，当 时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线 有可能有交点，故①错误；
抛物线 的对称轴为：直线x= ，
若抛物线与x轴有两个交点，则∆= ，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则 ＞1，此时，x＜ ，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则 ＜0，此时，x＞ ，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）
之间，故②正确；
抛物线 的顶点坐标为： ，
∵ ，
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∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴ ，解得： ，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式
判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
题型四性质综合
21.抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 6
y 0 4 6 1
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法
正确，不符合题意；令 ，则 ，解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．
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【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
22.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】
利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析
即可判断．
【详解】
解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
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∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性
质解答是解题关键．
23.已知抛物线 与 轴的交点为 和 ，点 ，
是抛物线上不同于 的两个点，记 的面积为 的面积为 ．
有下列结论：①当 时， ；②当 时， ；③当
时， ；④当 时， ．其中正确结论的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
通过 和 的不等关系，确定 ， 在抛物线上的相对位置，逐一分析
即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 与 轴的交点为 和 ，
∴该抛物线对称轴为 ，
当 时与当 时无法确定 ， 在抛物线上的相对位置，
故①和②都不正确；
当 时， 比 离对称轴更远，且同在x轴上方或者下
方，
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∴ ，
∴ ，故③正确；
当 时，即在x轴上 到2的距离比 到 的距离大，且都大于1，
可知在x轴上 到2的距离大于1， 到2的距离不能确定，
所以无法比较 与 谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
24.关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x ＝2+m与
1
4
x ＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则− ＜a≤﹣1
2 3
4 5
或1≤a＜ ；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜− 或a≥1．其中
3 4
正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
−4a
【分析】由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=− =2，由对称性可判
2a
断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分 a＞0或
a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
−4a
【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x= =2，
2a
∴x＝2+m与x＝2﹣m关于直线x＝2对称，
1 2
∴对任意实数m，都有x＝2+m与x＝2﹣m对应的函数值相等；
1 2
故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
4
∴1≤a＜ ，
3
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若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
4
∴− ＜a≤﹣1，
3
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
{16a❑ 2+20a＞0
∴ ，
5a−5≥0
∴a≥1，
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
{16a2+20a＞0
∴ ，
5a−5≤0
5
∴a＜− ，
4
5
综上所述：当a＜− 或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
4
故选：D．
25.如图，二次函数 的图象的对称轴是直线 ，则以下四个结
论中：① ，② ，③ ，④ ．正确的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
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【分析】
由开口方向，对称轴方程，与 轴的交点坐标判断 的符号，从而可判断①②，利用
与 轴的交点位置得到 ＞ ，结合 ＜ 可判断③，利用当 结合
图像与对称轴可判断④．
【详解】
解：由函数图像的开口向下得 ＜
由对称轴为 ＞ 所以 ＞
由函数与 轴交于正半轴，所以 ＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得： ＞ ，
＜
＞ ，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点 在第三象限，
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＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的
符号，掌握以上知识是解题的关键．
题型五图像性质
26.已知二次函数 ，其中 、 ，则该函数的图象可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由 得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选
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项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴 ，得出 ，抛物线开口向下，排除
B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数 ，
令 ，则 ，∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵ ，∴ ，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴 ，
∵ ，∴ ，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系
是解题的关键．
27.一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B． C． D．
【分析】先由二二次函数 y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 y＝
acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，
故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项
正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项
错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项
错误．
故选：B．
28.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象
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可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否
相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该
开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向
上，对称轴x=﹣ ＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向
上，对称轴x=﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向
上．故选项错误． 故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在
不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐
标等．
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