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期中重难点真题特训之易错必刷题型（86题39个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、二次根式的相关概念
1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子中，一定是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． D． 且
4．（23-24八年级下·江苏·自主招生）将式子 根式外的因式移到根式内的结果是（ ）
A． B． C． D．
易错必刷题三、求二次根式的值
5．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知 ，则 ．
6．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）若 ，则 ．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若 求 的值．易错必刷题四、求二次根式的参数
8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知a是正整数， 是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
易错必刷题五、利用二次根式的性质化简
9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）若 则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果是
11．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）化简下列二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
易错必刷题六、复合二次根式的化简
12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）观察下面的式子： ， ， ，(1)类比上述式子，再写3个同类型的式子；
(2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明．
13．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、
，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如： ；
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 __________， __________．
(2)请运用小明的方法化简 ．
易错必刷题七、二次根式的四则混合运算
15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算：
(1)
(2)
17．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）由 ，可知 ，则 的整数部分为
3，小数部分为 ．
(1) 的整数部分为 ，小数部分为 ．
(2) 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值；
(3)已知 与 的小数部分分别为 ，且 求 的值；
易错必刷题八、最简二次根式
18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若 与最简二次根式 可以合并，则 的值为
．
20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
①求x的值；②求 与 的乘积．易错必刷题九、同类二次根式
21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．求 的值．
易错必刷题十、分母有理化
22．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知 ， ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）对于有理数 和 ，定义了一种新运算： ，例如
，则 为 ．
24．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
（材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互
叫做有理化因式．
例如： 的有理化因式是 的有理化因式是 ．
（材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次
根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
例如： ．
【知识运用】
(1)填空： 的有理化因式是___________（写出一个即可）； 的有理化因式是___________．
(2)把下列式子分母有理化： ．易错必刷题十一、已知字母的值化简求值
25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： 的值，其中
．
26．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）先化简， 再求值： 其中
27．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）请阅读下列材料：
已知 ，求代数式 的值．
小熙根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：
由 得 ，则 ，即 ， ．把 作为整体，得：
∴
．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
易错必刷题十二、比较二次根式的大小
28．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；
．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简 ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
易错必刷题十三、二次根式的应用
29．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）有一块长方形木板 ，甲采用如图的方式，将木板的长
增加 ，宽 增加 ，得到一个面积为 的正方形 ．
(1)求 的长；
(2)求变动后面积共增加了多少 ；
(3)乙想从长方形木板 中截出长为 、宽为 的长方形木条，最多能截出根这样的木条．
30．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）据报道某天有一个熊孩子把 楼的啤酒瓶拿到 楼然后
扔下去，所幸并没有人员伤亡，熊孩子也被家长打得屁股开花；据研究从高空抛物到落地所需时间 （单
位： ）和高度 （单位： ）近似的满足公式 （不考虑风速的影响）．
(1)从 高空抛物到落地所需时间 的值是多少？(2)从 高空抛物到落地所需时间 的值是多少？
(3) 是 的多少倍？
31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台
，其面积为 平方米，长为 米．
(1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形
舞台 的总面积．
易错必刷题十四、勾股定理的证明方法
32．（24-25八年级下·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解
答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明 ．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且 ，求小正方形的面积．
易错必刷题十五、以弦图为背景的计算题
33．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正
方形的面积如下：
A B C
图
（1 4 4 8
）
图
_____ 1
（2 9
_ 3
）
图
_____ 3
（3 9
_ 4
）
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】
（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长
为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？易错必刷题十六、用勾股定理解三角形
34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，且
，以边 、 、 为直径画半圆，其中所得两个月形图案 和 （图中阴影部
分）的面积之和等于（ ）
A．8 B． C．2 D．4
35．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知在 中， ， ， ，
D是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的
运动时间为t．过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使
36．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在 中， ，垂足为 ， 为 上一点，
交 于点 ，且 ， ， ，
(1)求证： 与 全等；
(2)求 的长．
易错必刷题十七、勾股数问题
37．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整
数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾
股数．
(1)如果 是一组勾股数，即满足 ，则 （为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，
13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数；
(2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当
（ 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请证明满足以上
公式的 是一组勾股数．
易错必刷题十八、勾股定理与网格问题
38．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)求四边形 的周长．
易错必刷题十九、勾股定理与折叠问题
39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ，
将 折叠，使点B与点A重合，折痕为 ．
(1)求 的周长．
(2)求 的长．
40．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分
也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 ．
(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 ， ，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处．若 ， ，求 的长．
41．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在四边形 中， ，
， ．
(1) 为边 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处），当点 落在 边上
时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并
直接写出此时 _______；
(2)点 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
易错必刷题二十、勾股定理的逆定理
42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两
点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 ， ，那么两点间的距离
，例如：若点 ， ，则
(1)已知点 ， ，求 ， 两点间的距离；
(2)已知点 ， ， ，判断 的形状．
43．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B．其中 ．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路 ，建成后经测量得到相关数
据 ， ， ．
(1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路 设计方案的成本最低（即证明 ）；
(2)任务二：求修建后的路线 比原来的路线 缩短了多少千米．
44．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，连接 ．
(1)求 的长；
(2)求证： ．
易错必刷题二十一、勾股定理的实际应用
45．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的 月 日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，
某校师生举行了消防演练，如图，云梯 长为 米，云梯顶端 靠在教学楼外墙 上（墙与地面垂
直），云梯底端 与墙角 的距离为 米．
(1)求云梯顶端 与墙角 的距离 的长；
(2)现云梯顶端 下方 米 处发生火灾，需将云梯顶端 下滑到着火点 处，则云梯底端在水平方向上滑
动的距离 为多少米．
46．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点 处被拦腰折断，其树
顶恰好落在另一棵乙树的根部 处，已知点 距离甲树的根部 处 为 米，甲、乙两树根部的距离
为 米，两棵树的株距（两棵树的水平距离） 为 米，且点 ， ， 在一条直线上， ，求
甲树原来的高度．
47．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西 方向上，小岛B位于港口
C的北偏东 方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距
离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
易错必刷题二十二、勾股定理中的最短路径问题
48．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一
只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？49．（24-25八年级下·广东茂名·期中）动手操作：
（1）如图1，把矩形 卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作
装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝
线？
50．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀
山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且 于A， 于B．已知 ，
，现在小明要在直线 上找到地点E，使得：
(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少 处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少 处？并求出
的最短距离．
易错必刷题二十三、勾股定理中的是否受影响型问题
51．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到
严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的大致路线，
是某个大型农场，且 ．若 之间相距 之间相距 ．
(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
52．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台
风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由点 行驶向点 ，已知点 为一海港，当 时， 点到 ， 两点的距离分别为 和
，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
易错必刷题二十四、平行四边形的判定
53．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
54．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形 中， ，对角线 、 交于点 ，增
加下列条件不能使四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
55．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）如图，四边形 是平行四边形，E为 延长线上一点，
，连接 交 于点F，连接 、 、 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)已知 ，求证：四边形 是平行四边形．
易错必刷题二十六、平行四边形的性质56．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分
和 ，交 于 ， ． 与 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
57．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在周长为 的 中， ， 、 相
交于点 ， 交 于 ，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
58．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ，点E是 中点，作 于
点F，已知 ， ，则 的长为 ．
易错必刷题二十七、三角形的中位线
59．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ，点 ， 分别是对角线 ， 的中点， 平分 ，则 的长为
．60．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务．
如图 ，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ．求证： ，
．
证明：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，
．
点 是 的中点，
，
四边形 是平行四边形．（依据1），
， ．
点 是 的中点，
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
， ，（依据2）
， ．
任务：
(1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”；
(2)小宇继续探究，如图 ，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ， ．求证： ；
(3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理：
．
61．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
易错必刷题二十八、矩形的判定
62．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是
、 、 、 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 满足什么条件时，四边形 是矩形？请说明理由．
易错必刷题二十九、矩形的性质
63．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接
并延长，交 的延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．
64．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，
， ， ，求 的长．
65．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 和 的边 、 在同一条直线上，
， ， ．(1)求证： ；
(2)已知 ， ，连接 、 、 ，当 ___________时，四边形 是矩形．
易错必刷题三十、矩形中的折叠问题
66．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，M是边 上一点，
将 沿直线 翻折，得到 ．
(1)当 平分 时，求 的长；
(2)连接 ，当 时，求 的面积．
67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片 中，将矩形纸片翻折，使点B落在
对角线 上的点F处，折痕 交 于点 ，若 ，则 的长度为 ．
68．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知长方形 中， ， ， 是 边上一点，将
长方形沿直线 折叠，使点 恰好落在对角线 上，则 的长为（ ）A．5 B．13 C． D．15
易错必刷题三十一、菱形的判定
69．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，再添加一个条
件，可推出 是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
70．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知：在 中，分别过点B、D作 于点E， 于
点F，如图．请从以下四个关系式中：① ；② ；③ ；④ 选择一个
合适的作为已知条件，使 是菱形．
(1)你选择的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明 为菱形．
易错必刷题三十二、菱形的性质
71．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点
F，交AB于点E，连接DF，BF．
(1)求证： ；
(2)若∠ADC=110°，求 的度数．72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形 中，对角线 交于点O，过点A作
于点E，延长 到点F，使得 ，连接 ，
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
易错必刷题三十三、菱形的面积计算
73．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ， ．则菱形
的面积是（ ）
A． B．16 C． D．
74．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在 中， ， 是 中点，连接 分别过
点 ，点 作 ， ，交点为 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
易错必刷题三十四、正方形的判定
75．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知四边形 是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形 是正方形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
易错必刷题三十五、正方形的性质
76．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形 中， ，O、E、F、M分别为
的中点，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
77．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形 由四个全等的直角三角形（ ， ，
， ）和中间一个小正方形 组成，连接 ．若 ， ，则 （ ）
A．5 B． C． D．4
78．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形 中， 为 上一动点，连接 交对角线于点 ．
(1)连接 ，如图1，求证： ；
(2)如图2，过点 作 交 于点 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接 ，当 ， 时，求 的长．
易错必刷题三十六、中点四边形
79．（23-24八年级下·山西朔州·期中）已知：如图，四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、
，顺次连接 、 、 、 ，得到四边形 （即四边形 的中点四边形）．
(1)四边形 的形状是________，并证明你的结论．
(2)当四边形 的对角线满足________条件时，四边形 是矩形．
(3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________
易错必刷题三十七、平行四边形的存在性问题
80．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个
单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时
间为t秒．(1)当点P运动停止时， ______，线段 的长为______；
(2)①用含t的式子填空： ______， ______， ______；
② t为何值时，四边形 为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请
求出t的值，若不存在，请说明理由．
81．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，长方形 ， ， ．在 上取一点 ，沿 折叠，点 恰
好落在 上的点 处．
(1)点 的坐标为___________．
(2)求点 的坐标；
(3)若点 是平面内一点，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
82．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝
12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度
向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明
理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说
明理由．
易错必刷题三十八、平行四边形的旋转问题
83．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形 是正方形， ， 分别是 和 的延长线
上的点，且 ，连接 ， ， ．
(1) 可以看作是 经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到 的变换过程；
(2)已知 ， ，直接写出四边形 的面积为________．
84．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知：如图，正方形 中，点E是 边上一点，将线段
绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)补全图形：求证： ．
(2)以 的中点G，连接 ，猜想 的位置关系，并证明．
易错必刷题三十九、平行四边形中的最值
85．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段 上一动点，分别过点B，D作 ，
，连结 ， ，已知 ， ， ．(1)请问点C什么位置时 的值最小？最小值为多少？
(2)设 ，则 可表示为 ，请直接写出 的最小值为
______．
86．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝
3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
