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专题 11 圆的综合问题
类型一、切线问题
例．如图，在 中，点A是边BE上一点，以AB为直径的 与CE相切于点D， ，点F为
OC与 的交点．
(1)求证：CB是 的切线；
(2)连接DB与OC交于点G， ， ，求阴影部分面积．
【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平
分线交⊙O于点D，交AB于点E，
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．【变式训练2】如图，线段AB经过 的圆心O，交圆O于点A，C， ，AD为 的弦，连接BD，
，连接DO并延长交 于点E，连接BE交 于点M．
(1)求证：直线BD是 的切线；
(2)求线段BM的长．
【变式训练3】如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点 为圆心，以 的长
为半径作 ，交 边于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．
(1)试判断直线BC与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．
类型二、圆的面积问题
例．已知，在半圆 中，直径 ，点 ， 在半圆 上运动，（点 ， 可以与 ， 两点重合），
弦 ．
(1)如图1，当 时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若 时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
(3)如图3，取CD的中点 ，点 从点 开始运动到点 与点 重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．
【变式训练1】如图，AB为 的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作 ，ED与 相切于点D．
(1)求证：AD平分 ．(2)若 ， ，求CE和DE的长．
【变式训练2】小颖复习尺规作图时， 进行如下操作（如图）：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；
③作射线CO交AB于点D，且 ，以点O为圆心，OD为半径作 ，交AC于点E，交BC于
点F，构成如图所示的阴影部分．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．【变式训练3】如图， 是 的直径，点C在 上， ，点D是 的中点，连结 ，
交于点E，连结 ．
(1)求 的度数．(2)求证： ．(3)若 ，求 的面积．
