人教数学九上24.2.1反证法[何老师]市一等奖优质课_初中7-9年级全科优质公开课_初中数学优质公开课_初中数学9年级上册优质课视频含课件教案

教学目标
知识与能力:通过实例,体会反证法的含义
过程与方法:了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
情感、态度、价值观:在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.
2学情分析
学生从初中开始就已经初步接触过反证法,反证法的逻辑规则并不复杂,但用反证法证明数学
问题却让学生感到困难。究其原因,反证法主要是需要逆向思维,而在中小学阶段,逆向思维训
练和发展都是不充分的;其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识,学生在学习那部分知
识时就存在一定的困难;再者我所教的学生其本身对问题的理解、思维能力也是相对较弱的。
3重点难点
重点:体会反证法证明命题的思路方法,用反证法证明简单的命题。
难点:反证过程中的反设,以及如何推出矛盾。
4教学过程
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】情境导入
(一)故事引入:
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到
路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个
尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?
从小故事入手,不仅能激发学生的兴趣,也能更好的说明反证法的推理思想。
(二)对话引入
甲:在十一长假里,我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整6天,真是太高兴了.乙:这不可能,10月4号上午还看见你和丙在廊坊“万达”逛街呢!
丙:是啊,10月4号我确实和甲在廊坊“万达”逛街!
由此以得出甲没有到新加坡玩六天。
我们不得不佩服王戎和乙,小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中
常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时,
常常采用从反面考虑的策略,往往能达到柳暗花明又一村的境界.
活动2【讲授】探究新知
(一)师生互动
用具体例子让学生体会反证法的定义和步骤
例1、求证:过同一直线上的三点不能作圆
有些命题想从已知条件出发,经过推理,得出结论是很困难的,因此,人们想出了
一种证明这种命题的方法,即反证法.结合故事、对话和本例归纳反证法的定义。
(二)整体感知
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理
得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立
是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程:我们假定“结论不
成立”,结论一不成立就会出毛病,这个毛病是通过与已知条件矛盾,与公理或
定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢?推理没有错误,已知条
件,公理或定理没有错误,这样一来,唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然
“结论不成立”有错误,就肯定结论必然成立了.
你能说出下列结论的反面吗?
1. a∥b
2. d是正数3. a≥0
4. a⊥b
5.a是实数。
6. a大于2。
7.a小于2。
8.至少有2个
9.最多有一个
10.两条直线相交
(三)合作探究
1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另
一条也相交.
把本题改编成填空题:
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________,即_________.
∵_________(已知),
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与“_______________________ _____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.∴l3与l2相交.
教师简单引导学生小结:证明两直线相交的又一判定方法.
2、根据上述填空,请同学们归纳一下用反证法证题的步骤.(教师板书步骤)
生:①假定结论不成立(即结论的反面成立);②从假设出发,结合已知条件,经
过推理论证,推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾;③由矛盾判定假设不
正确;④肯定命题的结论成立.
明确 用反证法证题的基本思路及步骤.
(三)学以致用,完善新知
1、用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60°
明确 在运用反证法的过程,往往要仔细分析结论的反面,特别要注意语句的
转换及表达.
2、已知:如图,直线a,b被直线c所截,∠1 ≠ ∠2
求证:a∥b
教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点:当正面证明比较繁杂或较难证
明时,用反证法证明是一种证明的思路,并指出本题的结论是判定两直线平行
的又一判定定理.
3、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC。
求证:PB≠PC
教师在题后引导学生归纳什么类型的证明题宜用反证法:(1)以否定性判断作为
结论的命题;
(2)以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题;
(3)关于“唯一性”结论的命题;(4)一些不等量命题的证明;
(5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明)
4、在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.
题后说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况,这时,必须分别证明命
题结论反面的每一种情况都不可能成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.
活动3【活动】实践应用，知识迁 移
1、链接生活
反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中。
下面是有关的一个例子: 甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、
跳高、跳远和铅球冠军,有四个人猜测比赛结果:
A说:乙获铅球冠军,丁获跳高冠军;
B说:甲获百米冠军,戊获跳远冠军;
C说:丙获跳远冠军,丁获二百米冠军;
D说:乙获跳高冠军,戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句,说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.
2、快乐驿站:警察局里有5名嫌疑犯,他们分别做了如下口供:
A说:这里有1个人说谎.
B说:这里有2个人说谎.
C说:这里有3个人说谎.D说:这里有4个人说谎.
E说:这里有5个人说谎.
聪明的同学们,假如你是警察,你觉得谁说了真话?
你会释放谁?
请与大家分享你的判断!
活动4【活动】学习小结
同学们,学了这节课,你们有何收获与体会?
(1)引导学生作知识总结,学习了反证法证题的思路、步骤与注意事项以及宜用
反证法的题型.
(2)教师扩展:通过本节课的学习,同学们体会了在证明命题另一种方法,即反证
法,它是当有的命题从已知条件出发,经过推理,很难得出结论时,人们想出的一
种证明命题的方法,希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.
活动5【作业】课后作业
1.用反证法证明下列命题:
(1)求证:三角形内角中至多有一个内角是钝角。
(2)已知:如图,AB∥CD,AB ∥EF。求证:CD ∥EF。
(3)求证:圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
2.课外活动:收集反证法在生活中应用的例子,在班上交流。