文档文本内容
进修实验高 2025 届高考第三次模拟练习
数学试题
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 3
3. 已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
的
4. 下列函数中，在 上时单调递增函数 是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线 与圆 有公共点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是等比数列，则“ ”是“ 是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， ，若 的
面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）.
A B. C. D.
8. 点 到抛物线 的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
9. 已知 中， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编
的
制《大衍历》发明了一种近似计算 方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，
但是比我国张隧晚了上千年）：函数 在 ， ， 处的函数值分别
为 ， ， ，则在区间 上 可以用二次函数来近似代替：
，其中 ， ， ，若令
， ， ，请依据上述算法，估算 是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 的展开式中各项系数的和为___________．12. 若双曲线 与 具有相同的渐近线，则 的离心率为__________．
13. 在 中， ， ， ，则 为_____.
14. 已知函数 满足 ，且 ，则函数 的最大值
为__________；方程 的实数解的个数为________．
15. 已知 是各项均为正数的无穷数列，其前 项和为 ，且 ．给出下列四个结
论：
① ；
② ，使得 ；
③存在一个正数 ，使得对任意的 ，都有 ；
④对任意的 ，都有 ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 （ ， ）．在区间 上单
调递增，且 是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使函数 存在，并求解下列问题．
条件①： ；条件②：当 时， 取到最小值；
条件③： ．
（1）求 、 的值；
（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值．
17. 如图（1），等腰直角三角形 的底边 ，点 在线段 上， 于 ，现将
沿 折起到 的位置（如图（2））．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值；
的
（3）设平面 平面 ，试判断 与平面 位置关系，并说明理由．
18. 2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中
采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C
三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，
0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过
程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
（1）若只取1块，求它是由B队所采的概率；
（2）若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块
的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
19. 已知点 和椭圆 ．(1)设椭圆的两个焦点分别为 ， ，试求 的周长及椭圆的离心率；
(2)若直线 与椭圆 交于两个不同的点 ，直线 与 轴分别交于
两点，求证： ．
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线；
（2）当 时，讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
21. 已知数列 ，其中 ，且 .若数列
满足 ，当 时， 或 ，则称数列 为数列 的
“调节数列”.例如，数列 的所有“调节数列”为 ；或者 ；或者 ；或者
.
（1）直接写出数列 的所有“调节数列” ；
（2）若数列 满足通项 ，将数列 的“调节数列”中的递增数列记为 ，数列 中
的各项和为 ，求所有 的和；
（3）已知数列 满足： ，若数列 的所有“调节数列” 均为递增数列，求所有符合条件
的数列 的个数.
