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海淀区 2021-2022 学年第二学期期中练习
高三数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. 1 C. D. 4
5. 下列说法中正确的是
A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两个平面平行
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行
6. 已知直线 是圆 的一条对称轴，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 已知角 的终边绕原点 逆时针旋转 后与角 的终边重合，且 ，则 的取值可以
为（ ）
.
A B. C. D.8. 已知二次函数 的图象如图所示，将其向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则不等式
的解集是（ ）
A. B. C. D.
9. 在 中， ，则“ ”是“ 是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分
布如下表：
年龄（岁） 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84
人中随机抽取7人.用 分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列
四个结论：
① 在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
② 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③ 的取值范围都是 ；
④其中，正确结论的个数为（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线 的准线方程为 ，则 等于________．
12. 已知 是等比数列，且公比为 ， 为其前 项和，若 是 、 的等差中项， ，则
___________， ___________.
13. 若函数 的值域为 ，则实数 的一个取值可以为___________.
14. 已知 是单位向量，且 ，设向量 ，当 时， ___________；
当 时， 的最小值为___________.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：① 是偶函数；② 有无数个零点；③ 的最
小值为 ；④ 的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 设函数 .已知存在 使得 同时满足下列三个条件中的两个：条
件①： ；条件②： 的最大值为 ；条件③： 是 图象的一条对称轴.
（1）请写出 满足的两个条件，并说明理由；
（2）若 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围.
17. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
， .（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
18. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指 点到次日凌晨 点）.
相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚
睡群体睡眠指数的统计如下表：
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晩睡人群占比
注：早睡人群为 前入睡的人群，晚睡人群为 后入睡的人群.
（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数 分位数与晚睡人群睡眠指数 分位数分别在第几组？
（2）据统计，睡眠指数得分在区间 内的人群中，早睡人群约占 .从睡眠指数得分在区间
内的人群中随着抽取 人，以 表示这 人中属于早睡人群的人数，求 的分布列与数学期望
；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间 .试判断这种说法是否
正确，并说明理由.
19. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
（2）若函数 在 处取得极大值，求 的取值范围；
（3）若函数 存在最小值，直接写出 的取值范围.
20. 已知椭圆 的下顶点 和右顶点 都在直线 上.
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点 的直线 交椭圆 于两点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，点 关于
点 的对称点为 .若 三点共线，求证：直线 经过定点.
21. 设 为正整数，若无穷数列 满足 ，则称 为 数列.
（1）数列 是否为 数列？说明理由；
（2）已知 其中 为常数.若数列 为 数列，求 ；
.
（3）已知 数列 满足 ， ， ，求
