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进修实验高 2025 届高考第三次模拟练习
数学试题
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，由 得出 ，由子集的定义得出实数 的取值范围.
【详解】 集合 ,
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
2. 已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值.
【详解】 ，
利用复数相等的充分必要条件可得： .
故选：C.
3. 已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，且 ，可得 ， 正负不确定.取特值可得AD错误；根据不
等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为 ， ，
则 ，所以 ， .
AD选项，令 ，满足条件 ， ，
但 ，则 ，故AD错误；
B选项，由 ，则 ，故B正确；
C选项，由 ，则 ，故C错误.
故选：B.
4. 下列函数中，在 上时单调递增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对 求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D.
【详解】对于A，因为 ， 在 上单调递增，故A正确；
对于B， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C， 的定义域为 ，
，所以 为偶函数，
因为 ，所以由幂函数的性质知 在 上单调递增，
由偶函数的性质可得： 在 上单调递减，故C错误；
对于D，当 时， ,
由 的单调性知， 在 不具备严格的单调性，
所以 在 上不具备严格的单调性，故D错误.
故选：A.
5. 已知直线 与圆 有公共点，则 的最小值是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可.
【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心 到直线 的距离 ，小于等于半径 ，
即 ，故 ，也即 ，解得 ，则 的最小值为 .
故选：C.
6. 已知 是等比数列，则“ ”是“ 是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果
【详解】由数列 是等比数列，可假设 ，
则 ，
可知 ，但数列 不是递增数列，
若数列 是递增数列，由定义可知， ，故
“ ”是“ 是递增数列”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列的单调性，巧取特殊值，快速解决问题，
属基础题.
7. 已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， ，若 的
面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
【 详 解 】 在 中 ， ， 而 ， 取 中 点 ， 连 接 ， 有
，如图，， ，由 的面积为 ，得 ，
解得 ，于是 ，
所以圆锥的体积 .
故选：B
8. 点 到抛物线 的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】将 转化为 ，分类讨论 和 两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的
方程求解即可.
【详解】将 转化为 ,当 时，抛物线开口向上，准线方程 ，
点 到准线的距离为 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，即 ；
当 时，抛物线开口向下，准线方程 ，
点 到准线的距离为 ，解得 或 （舍去），
所以抛物线方程为 ，即 .
所以抛物线的方程为 或
故选：D.
9. 已知 中， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 由 正 弦 定 理 求 外 接 圆 半 径 ， 在 其 外 接 圆 中 连 接 ， 由
，讨论 的位置情况确定范围.
【详解】由题设， 外接圆半径为 ，
如下图，外接圆 中连接 ，可得， ，所以 ，
当 反向共线时最小，最小值为 ；当 同向共线时最大，最大值为20，
所以 .
故选：D
10. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编
制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是
比我国张隧晚了上千年）：函数 在 ， ， 处的函数值分别为
， ， ，则在区间 上 可以用二次函数来近似代替：
，其中 ， ， ，若令
， ， ，请依据上述算法，估算 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，构造函数并分别求出 的值，代入公式，可得答案.【详解】设 ，由 ，则 ，
可得 ， ， ，
由题意可得 ，
所以 .
故选：C.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 的展开式中各项系数的和为___________．
【答案】0
【解析】
【分析】令 即可得到展开式各项系数和.
【详解】二项式为 ，令 则各项的项的系数之和为 .
为
故答案 ： 0
12. 若双曲线 与 具有相同的渐近线，则 的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 的渐近线方程，求得 ，进而求得 的离心率即可.【详解】曲线 ，其渐近线方程为： ；
曲线 ，其焦点在 轴上，渐近线方程为 ，故 ，
故 的离心率为 .
故答案为： .
13. 在 中， ， ， ，则 为_____.
【答案】 或
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得 的值，再由 的取值范围可求得 的值.
【详解】由正弦定理可得： ，可得 ，
， ，因此， 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，在求角时要注意考查角的取值范围或者利用大边对大角定理求
解，考查计算能力，属于基础题.
14. 已知函数 满足 ，且 ，则函数 的最大值
为__________；方程 的实数解的个数为________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】【分析】首先可得 的周期为 ，方程 的解，即为 与 的交点横坐标，画出
与 的图象，数形结合即可判断.
【详解】由函数 满足 ，则 ，所以 的周期为 ，
由 ，则 ，
可得 的图象如图，则函数 的最大值为2，
方程 的解，即为 与 的交点横坐标，
计算可得：f (0)=1>g(0)=0 ，所以在 有一个交点，
， ，
1
且当 时g(x)= x>2，无交点.
2
由图可知两图象交点个数为 ，即方程 的实数解的个数为 .
故答案为： ；
15. 已知 是各项均为正数的无穷数列，其前 项和为 ，且 ．给出下列四个结
论：
① ；② ，使得 ；
③存在一个正数 ，使得对任意的 ，都有 ；
④对任意的 ，都有 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先得到 ， ，计算出 ，故 随着 的增大而减小，从而作差比较得
到 ，且对任意的 ，都有 ， ，可判断
①②④；结合 ，利用极限思想判断③．
【详解】对于①，由 ，令 ，则 ，所以 ，
∵ 是各项均为正数的无穷数列，其前 项和为 ，
∴ 恒成立，且 ， ，
又 ，
，即 ，
故 随着 的增大而减小，
其中 ，，
随着 的增大而增大，
， ， ，
∵ 随着 的增大而减小，
， ， ，
，
， ，
， ，故①正确；
对于②， ，
要判断 ，即判断 ，
因为 恒成立，所以 ，
即证明 ，即证明 ，
当 时， ，满足要求，当 时，
，
对任意的 都成立，
对任意的 ，都有 ，故有 ，即②正确；
对于④， 随着 的增大而减小， ， 时， ，
，故④正确.
对于③，由以上分析，数列 中， ，且随着 的增大， 趋向于1，
又 ，故 无限趋向于正无穷大，
所以不存在一个正数 ，使得对任意的 ，都有 ，故③错误．
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 （ ， ）．在区间 上单
调递增，且 是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使函数 存在，并求解下列问题．
条件①： ；
条件②：当 时， 取到最小值；
条件③： ．
（1）求 、 的值；（2）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）借助二倍角公式化简 ，根据 不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，
结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果.
（2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
.
若选条件①：因为 是 图象的对称轴，所以 ，不可能满足 ，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴，当 时，
取到最小值，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 .
若选条件③：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴， ，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
π
{ m>− )
2
所以 ，解得 ，
π π
2m− ≤−
6 2
故实数m的最大值为17. 如图（1），等腰直角三角形 的底边 ，点 在线段 上， 于 ，现将
沿 折起到 的位置（如图（2））．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值；
（3）设平面 平面 ，试判断 与平面 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）相交，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证 平面 ，即可得证线线垂直；
（2）由 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后由空间向量法求线面角即
可；
（3）利用作图法来判断 与平面 相交．
【小问1详解】
， 平面 ，
平面 ，
平面
【小问2详解】
是等腰直角三角形且 ，则 到 的距离为2，
，所以，可由 所在直线为 轴建立空间直角坐标系（如图）， 设 ，结合图（1）得
，
设面 的法向量 ，
令 ，
为
设直线 与平面 所成角 ，
，
【小问3详解】
延长 交于点 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
由平面 平面 ，即 ，
因为 平面 ，所以 与平面 相交.
18. 2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中
采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，
0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过
程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
（1）若只取1块，求它是由B队所采的概率；
（2）若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块
的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）不能，建议见解析
【解析】
【分析】）（1）利用比例关系即可求出概率.
（2）利用二项分布求出 的分布列，利用期望公式即可得到答案.
（3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议.
【小问1详解】
由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，
所以若只取1块，它是B队所采的概率为 .
【小问2详解】
据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，
与（1）同理可求得若只取1块，则 ，由B，C两队所采的概率为 .
依题意可知 的取值为0，1，2，且 .
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
P
数学期望 .
【小问3详解】
设事件 表示冰块被利用，由（2）知 ， .
所以 ， ， .
又
，即今年冰块的利用率约为0.67.
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约 .
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.
19. 已知点 和椭圆 ．
(1)设椭圆的两个焦点分别为 ， ，试求 的周长及椭圆的离心率；(2)若直线 与椭圆 交于两个不同的点 ，直线 与 轴分别交于
两点，求证： ．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【详解】分析：（1）求出半焦距 ，点P在椭圆上，因此所求三角形周长为 ，离心率为 ；
（2）设A 坐标分别为 ，把直线方程与椭圆方程联立消元 后可由韦达定理得
，代入 中可得斜率和为0，从而可证得结论．
详解： (1) ， 离心率
点 在椭圆上
的周长 ，离心率
(2) 与椭圆 联立消 得：
设 分别为 ，则 ，
由 得：将 代入上式分子得到：
得 ，即 ，则由已知 可判定 为等腰三角形，
．
点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题时一般采用“设而不求的思想，即设交点为 ，
由直线方程和椭圆方程联立方程组后消去 得 的一元二次方程，然后由韦达定理得 ，并把它
代入题中要求的量中，达到化简证明的目的．
.
20 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线；
（2）当 时，讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）
的
（2） 减区间为 ,增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数即可判断单调区间；
（3）构造函数 对任意 恒成立，据此根据导数求解即可.
【小问1详解】由 ，得 ，
则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线为 ；
【小问2详解】
当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，则 ，函数 单调递减，
当 时， ，则 ，函数 单调递增，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ；
【小问3详解】
设 ，
则 ，
因为 时，所以 为增函数，
又 在 上都是增函数，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
当 即 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 时，符合题意；
②当 即 时， ，又 ，
当 即 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
此时不符合题意；
当 即 时，
存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，此时 ，不符合题意；
综上所述， 的取值范围是
21. 已知数列 ，其中 ，且 .若数列
满足 ，当 时， 或 ，则称数列 为数列 的
“调节数列”.例如，数列 的所有“调节数列”为 ；或者 ；或者 ；或者
.
（1）直接写出数列 的所有“调节数列” ；
（2）若数列 满足通项 ，将数列 的“调节数列”中的递增数列记为 ，数列 中的各
项和为 ，求所有 的和；（3）已知数列 满足： ，若数列 的所有“调节数列” 均为递增数列，求所有符合条件
的数列 的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）所有符合条件的数列 共有 个
【解析】
【分析】（1）根据“调和数列” 的定义，即可求解；
（2）根据条件依次写出满足条件的 ，再根据分组转化法求和；
（3）首先由数列 为递增数列，则条件 ①， ②， ③都恒成立，
再由 ④分析，得到 的不同取法种数，即可求解符合条件的数列 的个数.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为 ，由题意 共 个数，
而 共有 项，则“调节数列” 共有 种情况
不妨设 ；则
；则
依此类推 ；则
故【小问3详解】
依题意，对任意 ，
有 或 或 ，
因为 均为递增数列，所以 ，即同时满足：
①， ②， ③， ④.
因为 为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为 为整数数列，对于③， 也恒成立.
对于④，一方面，由 ，得 ，即 .
另一方面， ，
所以 ，
即 从第2项到第 项是连续的正整数，
所以 ，
因此 ，
故 共有 种不同取值，即所有符合条件的数列 共有 个.
