(一)数 与 代 数
一、自然数、整数、小数、分数以及正、负数的
认识
1.自然数:数物体的时候,用来表示物体个数的数
0,1,2,3……叫做自然数。一个物体也没有,用0 表示,0 也
是自然数。
2.小数:把单位“1”平均分成10 份、100 份、1000
份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……的数,
可以用小数表示。
3.分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的
一份或者几份的数叫做分数。表示其中的1 份的数,叫
做分数单位。分数可以分为真分数、假分数和带分
数。
4.百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数
叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用
“%”来表示。
5.整数:正整数、0 和负整数统称为整数。
6.比0 大的数是正数,比0 小的数是负数,0 既不是正
数也不是负数。
7.分数、小数、百分数的互化:
(1)小数化成分数:原来有几位小数,就在1 的后面写
几个0 作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分
的要约分。
(2)分数化成小数:用分子除以分母,能除尽的就化成
有限小数,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
(3)小数化成百分数:只要把小数的小数点向右移动
两位,同时在后面添上百分号。
(4)百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分
号去掉,同时把小数点向左移动两位。
(5)分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽
时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(6)百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100
的分数,能约分的要约成最简分数。
8.数的大小比较:
(1)比较整数的大小:位数多的那个数就大;如果位数
相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位
上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大,那个数就
大。
(2)比较小数的大小:先看它们的整数部分,整数部分
易混点:(一)个、十、百、
千、万、十万、百万、千万、
亿……都是计数单位。
易错点:小数部分的最高计数
单位是“十分之一”。
易错点:百分数表示分率,没有
单位。
易错点:负数用“-”标记,
如-2,-45,-0.6 等。
大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那
个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那
个数就大……
(3)比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数
大;分子相同的数,分母小的分数大。
二、因数、倍数、最大公因数和最小公倍数
1.如果自然数a 能被自然数b(b ≠ 0)整除,a 就是b
的倍数,b 就是a 的因数。如35 能被7 整除,所以35 是7
的倍数,7 是35 的因数。
2.几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其
中最大的一个因数,叫做这几个数的最大公因数。例
如:12 的因数有1、2、3、4、6、12;18 的因数有1、2、
3、6、9、18。其中,1、2、3、6 是12 和18 的公因数,6
是它们的最大公因数。
3.几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中
最小的一个倍数,叫做这几个数的最小公倍数。如2 的
倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……,3 的倍数
有3、6、9、12、15、18……,其中6、12、18……是2、3
的公倍数,6 是它们的最小公倍数。
三、用正数和负数表示事物的连续变化
1.用正、负数表示具有相反意义的量体现了符号
化思想。
2.用正、负号表示收支情况以及计算每次结余。
四、人民币上的号码
1.人民币上的号码有计数的作用。
2.人民币上的号码可以区分发行的时间。
五、大数的读写、改写和省略
1.大数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿
级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个
“亿”字或“万”字。
2.大数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个
数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0 占
位。
3.数的改写:一个较大的多位数,为了读写方便,常常
把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。例如:把
1254300000 改写成用“万”作单位的数是 125430 万;改
写成用“亿”作单位的数是 12.543 亿。
4.数的省略:要省略的尾数的最高位上的数是4 或
者比4 小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5
或者比5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。例
易错点:异分母分数比较大小,
先通分,再比较两个数的大小。
易错点:倍数和因数是相互依
存的,不能说谁是倍数,谁是因数。
易混点:最大公因数是公因数,
但公因数不一定是最大的公因
数。
巧记
翻倍法求最小公倍数的方法:
看小数、翻大数,第一次同倍数,则
最小。
易错点:结余=收入-支出
易错点:编码时注意编码规则
的统一。
易混点:读数时,每一级末尾的
0 都不读出来,其他数位连续有几
个0 都只读一个“零”。
易混点:改写不改变数的大小,
用“四舍五入”法求近似数,要改
变数的大小。
巧记
四舍五入,看精确到的数位的
后一位上的数,小于5 舍去,大于或
等于5,向前一位进1。
巧记
混合运算有规则,先乘、除后
加、减,同级运算从左往右算;有括
如:345900 省略万位后面的尾数约是 35 万。4725097420
省略亿位后面的尾数约是 47 亿。
5.用“四舍五入”法取近似数:根据实际需要,我们
还可以把一个小数省略某一位后面的尾数,用一个近似
数来表示。例如:13.495 保留一位小数是13.5,保留两位
小数是13.50。
六、整数、分数和小数的四则混合运算
1.没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次计
算;两级运算,先算乘、除法,后算加、减法。
2.有括号的混合运算:先算小括号里面的,再算中括
号里面的,最后算中括号外面的。
七、运算定律
1.加法交换律:a+b=b+a
2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
3.乘法交换律:a×b=b×a
4.乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
5.乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
八、常用的估算方法
1.去尾法:把每个数的尾数去掉,取整十数或整百数
进行估算。
2.进一法:在每个数的最高位上加1,取整十数或整
百数进行估算。
3.“四舍五入”法:尾数小于或等于4 的舍去,等于
或大于5 的便入上去,取整十数或整百数进行估算。
九、解决问题的步骤
1.审题理解题意:找出已知条件和问题。审题时,不
丢字不添字,边读边思考,弄明白题中每句话的意思。
2.选择算法和列式计算:从题目中告诉什么,要求什
么着手,逐步根据所给的条件和问题,联系四则运算的意
义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单
位名称。
3.检验:就是根据应用题的条件和问题进行检查看
所列算式和计算过程是否正确,是否符合题意。
十、代数式、方程、解方程和用方程解答问题
1.用字母表示数的写法:数字和字母、字母和字母
相乘时,乘号可以记作“·”或者省略不写,数字要写在
字母的前面。
2.方程与解方程:含有未知数的等式叫做方程。使
方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
3.列方程解应用题的方法:
号,先小括号,再中括号,最后把中括
号外面算。
易混点:1.减法的性质:a-b-c=a-
(b+c)。
2.除法的性
质:a÷b÷c=a÷(b×c)。
3.乘法分配律的逆运
算:a×c+b×c=(a+b)×c。
易错点:估算时,一般把数看成
和它接近的整十数或整百数来估
算。
方法点拨:常用的解题方法有
分析法、综合法、列表法和画图
法等。
易错点:当“1”与任何字母相
乘时,“1”可以省略不写。
易错点:方程一定是等式,但等
式不一定是方程。
易混点:
综合法:思考方向是从已知到
未知。
分析法:思考方向是从未知到
已知。
易混点:求比值的结果是一个
数,它可以是整数,也可以是小数或
分数;化简比的结果必须是一个最
简整数比,即前、后项是互质的
数。
(1)综合法:先把问题中的已知数(量)和所设未知数
(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进
而列出方程。
(2)分析法:先找出等量关系,再根据具体情境建立等
量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数
(量)列成有关的代数式进而列出方程。
十一、正、反比例
1.比:两个数相除又叫做这两个数的比。
2.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或者除以
相同的数(0 除外),比值不变。
3.按比分配方法:首先求出各部分占总量的几分之
几,然后求出总量的几分之几是多少。
4.比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。
5.比例的性质:在比例里,两个外项的积等于两个两
个内项的积。
6.解比例:求比例中的未知项,叫做解比例。
7.正比例和反比例:成正比例的关系用字母表示为
y
x =k(一定);成反比例的关系,用字母表示为x×y=k(一
定)。
十二、探索图形规律、数字规律、算式规律
1.经历从特殊到一般,从一般到特殊这种探索规
律、验证规律的过程。
2.了解从特殊到一般、从一般到特殊的数学思
想。
(二)图形与几何
一、认识线和角
1.直线、射线和线段
图形端点个数可否无限延
伸
可否度量
线段
2
两端不可无
限延伸
可以度量
射线
1
一端可以无不可以度量
易混点:组成比例的四个项,两
端的两项叫做外项,中间的两项叫
做内项。
方法点拨:找规律时,可以从给
出的数字或图形等简单的情况入
手来分析和思考。
易混点:1.过一点可以画出无
数条直线(射线),过两点可以画出
一条直线。
2.两点确定一条线段。
3.两点间的所有连线中,线段
最短。
易混点:点到直线的距离是指
垂直线段的长度。
易混点:锐角<直角<钝角<平
角<周角
限延伸
直线
0
两端可以无
限延伸
不可以度量
2.同一平面内两条直线的位置关系:
3.从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做
这点到直线的距离。
4.角:从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
5.角的分类
分类锐角直角
钝角
平角
周角
角度
特点
小于
90°
等于
90°
大于90°且
小于180°
等于
180°
等于
360°
二、常见的图形
图形
{
平面图形:长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯
立体图形:长方体 正方体 圆柱 圆锥
三、按要求画图
1.过一点画已知直线的垂线和平行线。
2.画一个指定度数的角。
3.画一个指定长、宽的长方形。
4.画一个圆。
四、观察物体及其物体的展开图
1.确定一个物体至少需要三个面。
2.根据给定的两个方向观察到的平面图形的形状,
确定搭成这个立体图形所需要的正方体的数量范围。
五、常见的量
1.长度:1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10
厘米
1 厘米=10 毫米
2.面积:1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米
1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘
米
3.体积与容积:
易错点:1.正方形是长和宽都
相等的长方形。
2.三角形的两边之和大于第
三边,两边之差小于第三边。
3.三角形的内角和是180°。
易错点:1.用量角器度量角的
度数时,注意“两重合一找线”。
2.画已知直线的垂线或平行
线时,注意三角板直角的使用。
巧记
判断长方体或正方体平面展
开图的原则是相对不相连,相连不
相对。
方法巧记:1.高级单位的数转
化成低级单位的数,用原数乘进
率。2.低级单位的数转化成高级
1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘
米 1 升=1000 毫升
4.质量:1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克
5.时间:1 天=24 小时 1 小时=60 分 1 分=60 秒
6.货币:1 元=10 角 1 角=10 分
六、平面图形和立体图形的计算以及解决问题
1.面积和周长的计算:
2.立体图形的表面积和体积的计算:
求表面积
求体积
计算公
式
字母公式
计
算
公
式
字母公式
表面
积=
棱长
×棱
长×6
S=a×a×6
体
积
=
棱
长
×
棱
长
×
棱
长
V=a×a×
a
表面
积
=(长
×宽
+长×
高
+宽×
高)×
2
S=2(ab+ah+bh
)
体
积
=
长
×
宽
×
高
V=abh
侧面
积=
底面
周长
×高
底面
周长
=底
面半
S 侧面积=Ch
S 侧面积=2πrh
S 底面周长=2πr
S 底面周长=πd
体
积
=
底
面
积
×
高
V=Sh
V=πr2h
单位的数,用原数除以进率。
易错点:1.计算平行四边形和
三角形的面积时,注意底和高要对
应。
2. a2=a×a,2a=2×a。
3.不规则图形面积的计算方
法有割补法、方格法等。
易错点:表面积和体积是两种
不同的量,无法进行比较。如棱长
是6 厘米的正方体的体积和表面
积相等,这一结论是错误的。
易错点:计算圆锥的体积时,不
要忘记乘1
3。
易错点:解答实际问题时,注意
水桶没有上底面、通风管没有两
个底面等。
径
×2×π
底面
周长
=底
面直
径×π
表面
积=
侧面
积
+底
面积
×2
—
—
体
积
=
底
面
积
×
高
÷
3
V=πr2h÷
3
3.解决简单的实际问题:
解答与周长、面积、体积有关的实际问题时,要结
合实际情况灵活选择方法进行解答。
七、图形的轴对称、平移和旋转
1.不改变图形的形状和大小的图形运动:平移、旋
转、轴对称。
2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两
侧的图形能够完全重合,这个图形就叫轴对称图形,折痕
所在的这条直线叫做对称轴。
3.平移和旋转是两种基本的图形变换形式。
(1)平移的两个要素:一是平移的方向,二是平移的距
离。描述平移现象时,要描述成“某物体或图形向某方
向平移了几个单位或多远”。
(2)旋转的三个要素:一是旋转点或轴,二是旋转方向
(逆时针方向或顺时针方向),三是旋转角度。描述旋转
现象时,要描述成“某物体或某图形沿某一点按某方向
旋转了多少度”。
八、图形的放大与缩小
1.图形的放大和缩小:只改变图形的大小,不改变图
形的形状。
2.在方格纸上按一定的比将物体或图形放大或缩
小的步骤:一看,看原图形每边占几格;二算,按已知比计
巧记
轴对称图形的判断,先找对称
轴,然后看两侧图形能否完全重
合。
易错点:平移和旋转不改变图
形的形状和大小,只是改变位置。
易错点:1.放大或缩小图形时,
每一条边同时放大或同时缩小。
2.放大或缩小后图形的角度
不变。
算出放大或缩小后的图形的每边各占几格;三画,按计算
出的边长画出原图形放大或缩小后的图形。
九、图形与位置
1.用“方向+方位角”的方法确定物体的位置。
2.用数对表示物体的位置:描述时,先写列后写排。
十、比例尺
1.比例尺=图上距离
实际距离,解答有关比例尺的实际问题
时,要注意单位统一。
2.比例尺有线段比例尺、数值比例尺。
(三)统计与概率
一、数据的搜集和整理(统计表和统计图)
1.收集数据时,一般采用画“正”字的方法对数据
进行分类或分段整理。
2.描述数据时,可以使用统计表(单式或复式)或统计
图(条形、折线或扇形)。
3.分析数据时,经常用到“平均数”这一数学概
念。
二、条形统计图、折线统计图
1.条形统计图能直观形象地表示出数据的多少。
2.折线统计图能直观的反应出数据的增减变化趋
势。
三、可能性及其大小
1.在一定的范围内,某事件是否发生会有3 种情况:
一定发生、不可能发生和可能发生。
2.可能性发生时,可能性有大有小。
3.在竞赛或游戏规则中,各种情况发生的可能性相
等,则游戏公平。
巧记
1.地图上的方位是上北、下
南,左西、右东。
2.比例尺还可以分为放大比
例尺和缩小比例尺。
易错点:用画“正”字统计数
据时,一般逐一统计。
易错点:选择统计图时,要结合
统计对象的数据特征进行选择。
易错点:公平性就是指各种情
况发生的可能性相等。
易错点:注意单位的转化与统
一。
(四)综合与实践
一、节约水资源
1.滴水量
时间
=滴水速度
2.估算时,一般把数值看成和这个数接近的整十数
或整百数。
二、开发绿色资源
1. 1 棵植物的占地面积=株距×行距
2.解答树木制造氧气、太阳能的利用等实际问题
时,注意单位转换。
三、生活小区
1.小区面积和音乐喷泉。
2.装修房子、垃圾和物业费等问题。
易错点:正确使用数量关系
式。
易错点:注意知识的综合运用
与正确使用关系式。
