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第十五题 函数的零点问题
高考真题
15. 已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是________．
【思路分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
知识点总结
1. 利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：
(1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2) 涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即
零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
2．已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法：
(1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通
用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设
条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；
(2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．
通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
题型展示
求函数零点的个数
已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.
(1) 求证：f(x)存在唯一的极值点；
【解答】 因为函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋lnx
－1＝lnx－.因为y＝lnx单调递增，y＝单调递减，所以f′(x)单调递增．又f′(1)＝－1<0，
f′(2)＝ln2－＝>0，所以存在唯一的x ∈(1,2)，使得f′(x )＝0.当x<x 时，f′(x)<0，f(x)单调
0 0 0
递减，当x>x 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)存在唯一的极值点．
0
(2) 求证：f(x)＝0有且仅有两个实数根，且两个实数根互为倒数．
【解答】 由(1)知f(x )<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x ，＋∞)内存在唯
0 0
一的根x＝a，由a>x >1，得<1<x ，因为f＝ln－－1＝＝0，所以是f(x)＝0在(0，x )上的唯一
0 0 0
根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实数根，且两个实数根互为倒数．
(2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝3xlnx＋1，判断函数f(x)的零点个数．
【解答】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3(lnx＋1)，由f′(x)>0得x>；由f′(x)<0，
得0<x<.所以f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以 f(x) ＝f＝<0.又f＝>0，f(1)＝1>0，所
min
以f·f<0，f·f(1)<0，所以f(x)在，上各有一个零点，所以函数f(x)有2个零点．
根据函数零点求参数
已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不
相等的实数根，求实数a的取值范围．
【解答】 由 g(x)＝2f(x)，可得 2xlnx＝－x2＋ax－3，a＝x＋2lnx＋.设h(x)＝x＋2lnx＋
(x>0)，可得h′(x)＝1＋－＝，所以当x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x 1 (1，e)
h′(x) － 0 ＋
h(x) 极小值
又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2，且h(e)－h＝4－2e＋<0，所以在上，h(x) ＝h(1)
min
＝4，h(x) ＝h＝＋3e－2.若方程在上有两个不相等的实数根，则4<a<e＋2＋，所以实数a的
max
取值范围为.真题演练
一、单选题
1．已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2．关于 的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
3．已知函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A4．设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零点的是
A． B． C． D．
【答案】A
5．函数f(x)= 的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）
【答案】B
6．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
【答案】C
7．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点的集合
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，则 的取
值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
9．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的
取值范围是
A． B．
C． D．【答案】B
10．已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
二、填空题
11．已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
12．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小
值的和为 ．
【答案】
13．若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
14．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
模拟训练
一、单选题
1．方程 的根所在区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
2．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，
则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
3．已知函数 在区间 上有三个不同的零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
5．已知函数 （ ），点 位于曲线 的下方，且过点 可以作3
条直线与曲线 相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
6．函数 的零点所在的大致区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
二、多选题
7．已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不同的实数解，则下列选项中可
以作为实数 取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
8．已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有2个零点 B．若 ，则 有3个零点
C．存在负数 ，使得 只有1个零点 D．存在负数 ，使得 有3个零点
【答案】ABC
三、填空题
9．已知函数 有三个零点，且它们的和为0，则 的取值范围是 .
【答案】
10．已知函数 ， ，则函数 的零点是 ．
【答案】 和 和
11．已知函数 ，若存在 ，满足 ，则 的取值范围为 .
【答案】12．已知函数 （ ），若 在 上有零点，则实数 的取值范围
为 ．
【答案】
