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9.2 圆的一般方程（讲义）
目录
1
知识点01 圆的一般方程............................................................................2
2
知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系.................................2
3
题型一、圆的一般方程.............................................................................2
4
题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系.....................................9
5
题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系...............................13
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1 知识点01 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
（满足
）
其中
为圆心，
为半径．
2、圆的一般方程的形式特点
（1）
项的系数相同且不等于0（
和
的系数如果是不为1 的非零
常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；
（2）不含
项；
（3）
．
2 知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系
已知点
，和圆的一般方程
（
）则
位置关系
代数关系
点
在圆A 上
点
在圆A 内
点
在圆A 外
3 题型一、圆的一般方程
一、单选题
1．已知圆
关于直线
对称，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
【分析】求出圆心并将其代入直线
即可得解.
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【详解】由
得
，
则圆心坐标为
，又因为圆
关于直线
对称，
故由圆的对称性可知：圆心
在直线
上，
则
.
故选：D.
2．圆
的圆心坐标与半径分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】由圆
，可得圆
，
所以圆心坐标为
，半径为
．
故选：D．
3．已知圆的方程是
，则下列直线中通过圆心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】将圆心坐标分别代入选项即可判断.
【详解】由圆的方程
，得圆心坐标为
.
A：将
代入方程
，等式不成立，故A 不符合题意；
B：将
代入方程
，等式不成立，故B 不符合题意；
C：将
代入方程
，等式成立，故C 符合题意；
D：将
代入方程
，等式不成立，故D 不符合题意；
故选：C
4．圆
的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程后可得所求．
【详解】将圆方程化为标准方程得
，
所以圆心坐标为
．
故选：D
5．圆
的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】使用圆的一般方程
的圆心公式
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.
【详解】使用圆的一般方程
的圆心公式
，其中
， 圆心坐标为
．
故选：B.
6．已知圆
关于直线
对称，
则实数
的值为（ ）
A．-5
B．-3
C．3
D．5
【答案】C
【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数
的值.
【详解】圆
的标准方程为：
，
圆的圆心为
，而圆
关于直线
对称，
故
在直线
上，故
，解得
.
故选：C.
7．圆
的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可.
【详解】因为圆
的圆心坐标为
，
所以圆
的圆心坐标为
．
故选：C
8．圆
的圆心坐标和半径分别是（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程直接求解即可.
【详解】由圆的一般方程知：圆心为
，半径
.
故选：B.
二、填空题
9．若圆的方程为
，则该圆的半径
.
【答案】
【分析】直接配方即可得到其半径.
【详解】
，化简得
.
则其半径为
.
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故答案为：
.
10．设
，若圆
的半径为2，则
的值为
；
【答案】
【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解.
【详解】圆
的半径
，
依题意
，解得
，经验证，符合题意，
所以
的值为.
故答案为：
11．圆
的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标.
【详解】圆
，
得
，
得圆心坐标为
.
故答案为：
12．设实数
，圆
:
的面积为
，则
．
【答案】
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【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解.
【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为
，所以
,
将圆一般式
化为标准式得
，
又
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
三、解答题
13．方程
能否表示圆?若能表示圆，求
出圆心和半径．
【答案】答案见解析．
【分析】利用配方法即可得到结论．
【详解】解：将方程进行配方得
，
若
，则不能表示圆；
若
，则表示圆，圆心坐标为
，半径
．
【点睛】本题主要考查圆的判断，利用配方法是解决本题的关键．
14．已知圆的方程是
（1）求此圆的圆心坐标和半径；
（2）求证：不论
为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 .
【答案】（1）圆心坐标为
，半径为
；（2）见解析
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【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，写出圆心坐标和半径；
（2）根据圆心为
，在直线
上，且圆的半径都
，
从而得证结论.
【详解】解：（1）圆的方程
，
可化为
，
∴圆心坐标为
，半径为
.
（2）证明：设圆心为
，
由（1）可知，
，则
，
∴不论
为何实数，该圆的圆心恒在直线
上，
由（1）可得，圆的半径为定值3，
故不论
为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
【点睛】本题考查了圆的标准方程以及动点的轨迹方程的求法，属于基础
题.
15．将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)标准方程为
，圆心为
，半径为3
(2)标准方程为
，圆心为
，半径为
【分析】将其配成完全平方式即可得标准方程，进而可求解圆心和半径.
【详解】（1）对方程左边配方，方程化为
．
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所以圆心的坐标为
，半径为3．
（2）方程两边除以3，得
．
对方程左边配方，方程化为
．
所以圆心的坐标为
，半径为
．
4 题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系
一、单选题
1．点P（0，1）与圆
位置关系是（ ）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
【答案】B
【分析】将点
代入圆方程即可得出.
【详解】将点
代入圆方程可得
，
故点
在圆上.
故选：B.
2．原点必位于圆：
的（ ）
A．内部
B．圆周上
C．外部
D．均有可能
【答案】C
【分析】将原点代入圆的方程，判断选项.
【详解】将原点
代入圆的方程，
，
所以原点必在圆的外部.
故选：C
0
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3．两个点
、
与圆
的位置关
系是（ ）
A．点
在圆
外，点
在圆
外
B．点
在圆
内，点
在圆
内
C．点
在圆
外，点
在圆
内
D．点
在圆
内，点
在圆
外
【答案】D
【分析】本题可将点
、
代入方程左边，通过得出的值与
的大小关
系即可判断出结果.
【详解】将
代入方程左边得
，
则点
在圆
内，
将
代入方程左边得
，
则点
在圆
外，
故选：D.
4．已知圆
，则原点
在（ ）
A．圆内
B．圆外
C．圆上
D．圆上或圆外
【答案】B
【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点可判断.
【详解】将圆的方程化成标准方程
，
1
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因为
，所以
，即原点
在圆外.
故选：B.
5．点
与圆：
的位置关系为（ ）
A．点在圆外
B．点在圆内且不是圆心
C．点在圆上
D．点是圆心
【答案】B
【分析】把点的坐标代入圆的方程左边得到点
在圆内，再求出圆心
判断得解.
【详解】由题得
，
所以点
在圆内.
又
，
所以圆心为
.
所以点
在圆内且不是圆心.
故选：B
6．对于圆
：
，下列说法正确的为（ ）
A．点
圆
的内部
B．点
圆
的外部
C．圆
的圆心为
D．圆
的半径为3
【答案】A
【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与
圆的位置关系的判定方法即可求解.
【详解】对于A，B，将点
代入圆C 中，得
2
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，所以点
圆C 的内部，故A 正确，B 错误；
对于C，D，由
得
，所以圆
的圆心
为
，半径为
，故C，D 错误.
故选：A.
7．已知圆
，其中
，下列各点中一定在圆C
内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用代入验证法确定正确答案.
【详解】由圆
，可知
，即
，
，A 选项正确，
，不一定小于0，B 选项错误，
，不一定小于0，C 选项错误，
，不一定小于0，D 选项错误.
故选：A
二、填空题
8．点
与圆
的位置关系是 ．（填
“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【分析】利用点
到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点
3
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与圆
的位置关系即可.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为2
点
到圆心的距离
，
因为
，所以点
在圆内．
故答案为：在圆内
9．点
在圆
的 ．（请从“外部”、“内
部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线）
【答案】外部
【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可.
【详解】因为
，所以点
在圆C 的外部．
故答案为：外部.
三、解答题
10．已知圆
，圆心在直线
上，且圆
心在第二象限，半径长为
.
(1)求圆C 的一般方程；
(2)判断
和圆
的位置关系．
【答案】(1)
;
(2)点
在圆C 上.
【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可;
（2）将点
代入圆C 的一般方程为
,即可
4
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判断.
【详解】（1）由题意可得：因为圆
,所以圆心
，
因为圆心在直线
上，半径长为
，且圆心在第二象限.
所以
，解得：
,
故圆C 的一般方程为：
.
（2）将点
代入圆C 的一般方程为
,
得：
，故点
在圆C 上.
5 题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系
一、单选题
1．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上都不对
【答案】A
【解析】求出圆心到直线的距离和半径比较即可得出.
【详解】圆
化为标准方程为
，
5
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可得圆心为
，半径为4，
则圆心到直线的距离
，
故直线与圆相交.
故选：A.
2．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】B
【分析】直线恒过定点
，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置
关系.
【详解】直线
恒过定点
，
而
，故点
在圆的内部，
故直线与圆的位置关系为相交，
故选：B.
3．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切
【答案】C
【分析】先求出直线所过的定点，根据圆的方程判断得到此定点在圆内，
即可得到直线与圆的位置关系.
【详解】直线
即
，过定点
，
因为圆的方程为
，
则
，
所以点
在圆内，则直线与圆相交.
6
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故选：C
4．已知直线
与圆
相离，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由
，得
，
∵直线
与圆
相离，
∴
解得
．
∴实数m 的取值范围是
，
故选:D．
5．直线kx－y＋2－k＝0 与圆x2＋y2－2x－8＝0 的位置关系为（ ）
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【答案】C
【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆
相交；
方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直
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线距离，与半径比较得到直线与圆相交.
【详解】方法一:直线kx－y＋2－k＝0 的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1，2).
因为
，
所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0 的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0 与圆x2＋y2－2x－8＝0 相交.
方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.
圆心到直线kx－y＋2－k＝0 的距离为
＝
，
所以直线与圆相交.
故选：C
6．已知直线
始终平分圆
的周
长，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案.
【详解】由题意得圆M 的标准方程为
，则圆心M 的
坐标为
．
因为直线l 始终平分圆M 的周长，所以直线l 过圆M 的圆心，
所以
，即
．
故选：A
8
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7．已知圆
，直线
，则直线
与圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交或相切
【答案】D
【分析】化简直线方程可得直线过定点
，点
在圆
上，进而即
得.
【详解】由
可得
，
直线的方程
整理为
，
则直线恒过点
，又点
在圆
上，
故直线与圆
相交或相切．
故选：D
8．已知直线：
与圆
：
，则直
线与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意可得直线过定点
，判断点在圆内，可判断直
线与圆相交.
【详解】由题意可得直线：
过定点
.
因为
，所以点
在圆
内，
则直线与圆
相交.
9
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故选：C.
二、填空题
9．已知直线
与圆
没有公共交点，
则
的取值范围是 （用区间表示）
【答案】
【分析】直线与圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径，找出圆心
及半径结合圆的性质计算即可得.
【详解】由直线
与圆
没有公共交
点，
即圆心到直线距离大于半径，
，即
，
有
，又
，故
，
圆心为
，半径
，
有
，即
，
解得
，又
，故
.
故答案为：
.
10．已知直线
与圆
相切，则
.
【答案】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得
的值.
0
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【详解】直线的一般方程为
，
圆
的圆心
的坐标为
，半径
，
由于直线和圆
相切，
所以圆心
到直线的距离等于半径，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
11．已知直线
与圆
相切，则实数
的值为
.
【答案】2
【分析】先明确圆的圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于圆的半径
求
的值.
【详解】将方程
整理，可得
，（
）
则圆心为
，半径为
，
因为直线
与圆
相切，
所以圆心到直线
的距离等于圆的半径，即
，
由
.
故答案为：2.
1
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12．若直线
与圆
相切，则实数
．
【答案】0 或
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可
构造方程求得结果.
【详解】由
可得：
，
所以圆心为
，半径为2，
由题意可得：
，
解得：
或
，
故答案为：0 或
13．已知直线
与圆
相切，则
的值
为 ．
【答案】2
【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程即可求解
的值．
【详解】依题意得，直线
与圆
相切
所以
，即
，
解得：
，又
，
故答案为：2．
2
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三、解答题
14．求与圆
同心，且与直线
相切的圆
的方程.
【答案】
【分析】求出圆心坐标，再求出圆心到切线的距离即所求圆的半径，然后
求得所求圆的方程．
【详解】已知圆配方得
，圆心为
，
所求圆的半径
，
∴所求圆方程为
．
15．在直角坐标系
中，已知圆
与直线
相切，
（1）求实数
的值；
（2）过点
的直线与圆
交于
､
两点，如果
，求
.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）将圆
的化为标准方程,求出圆心
，半径
，其中
，
根据圆
与直线相切，再利用点到直线的距离公式可得
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，解得
；
（2）当直线
斜率不存在时，其方程为
，求得
，不合题意；但直线
斜率存在，设其方程为
，
根据圆心到直线
的距离
，以及垂径定理
即可求得
.
【详解】解:（1）圆
的方程可化为
，
圆心
，半径
，其中
，
因为圆
与直线相切，故圆心
到直线的距离等于半径，
即
，解得
；
（2）当直线
斜率不存在时，其方程为
，
此时圆心
到直线
的距离
，
由垂径定理，
，不合题意；
故直线
斜率存在，设其方程为
，
即
，
4
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圆心
到直线
的距离
，
由垂径定理，
，即
，
解得
，
故直线
的方程为
，
代入圆
的方程，整理得
，
解得
，
，
于是
，
，这里
，
)，
所以
.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及点到直线的
距离公式,考查分类讨论思想,是中档题.
5
