第07讲一元二次方程的应用（知识点+10题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第07 讲一元二次方程的应用（知识点+10 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 传播问题
题型2 增长率问题
题型3 与图形有关的问题
题型4 数字问题
题型5 营销问题（中考最高频）
题型6 动态几何问题
题型7 工程问题
题型8 行程问题
题型9 图表信息题
题型10 握手、循环赛问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
列一元二次方程解应
用题的步骤增长率（下
降率）问题利润（销售）
问题几何图形面积问
1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能
规范书写解题过程。2. 能分析增长率（下降率）、商品销售利润、几何图形
面积、数字等常见实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出一元二次方
程。3. 能根据实际问题的背景和意义，检验一元二次方程的解是否合理，舍
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题数字问题动点问题
解的合理性检验
去不符合题意的解。4. 能解决简单的动点问题，体会用代数方法解决几何问
题的数形结合思想，感受一元二次方程在解决实际问题中的工具作用。
学习重点：列一元二次方程解应用题的一般步骤，增长率问题、利润问题、面积问题这三类核心实际
问题的解法。
学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，找出隐含的等量关系；根据实际意义正确检验方程
的解；动点问题中动态等量关系的建立。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
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步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲
1.
审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系
2.
设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位
3.
列：根据等量关系列出一元二次方程
4.
解：用合适的方法解所列的一元二次方程
5.
验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义
6.
答：写出完整的答案，注明单位
即时即练
1．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板
的钉子的长度后一次为前一次的݇
倍ሺͲ ൏݇
൏݇
ሻ．已知一个钉子受击͵ 次后恰好全部进入木板，且第一次
受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的
Ͷ
͹．设铁钉的长度为݇
，那么符合这一事实的方程是（
）
A．
Ͷ
͹ ሺ݇൅݇
ሻʹ ൌ݇
B．
Ͷ
͹݇
൅
Ͷ
͹݇
ʹ ൌ݇
C．
Ͷ
͹ ൅
Ͷ
͹݇
൅
Ͷ
͹݇
ʹ ൌ݇
D．
Ͷ
͹ ൅
Ͷ
͹ ሺ݇൅݇
ሻʹ ൌ݇
【答案】C
【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方
程即可．
【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为
Ͷ
͹，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的݇
倍，
∴第二次钉入木板的长度为
Ͷ
͹݇，第三次钉入木板的长度为
Ͷ
͹݇൉݇
ൌ
Ͷ
͹݇
ʹ，
又∵钉子受击͵ 次后恰好全部进入木板，总钉长为݇
，即三次钉入长度和为݇
，
∴列方程得
Ͷ
͹ ൅
Ͷ
͹݇
൅
Ͷ
͹݇
ʹ ൌ݇
．
【易错提醒】
最容易遗漏“验”的第二步，导致出现负数边长、负数人数、超过100%的下降率等不符合实际的答案
设未知数时不注明单位，或答句中遗漏单位
间接设未知数时，最后忘记将求出的未知数转化为题目要求的最终量
等量关系找错，尤其是隐含的等量关系，导致整个方程列错
知识点02
增长率/下降率问题（教材核心题型）
基本等量关系：
1.增长率：起始量×(1+平均增长率)
增长次数=终止量
下降率：起始量×(1-平均下降率)
下降次数=终止量
2.数学语言：
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设起始量为a，平均增长率/下降率为x，经过2 次变化后终止量为b，则
a(1±x)
2=b（增长用“+”，下降用“-”）
即时即练
2．某社区便民生活服务中心9 月份的服务收入为4 万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11
月份的服务收入达到5.76 万元．
(1)求该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率；
(2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12 月份的服务收入是多少万元？
【答案】(1)该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率为ʹͲ%
(2)该服务中心12 月份的收入是6.912 万元
【分析】（1）设该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率为ݔ，根据“服务中心9 月份的服务收入
为4 万元，11 月份的服务收入达到5.76 万元”列出方程，求解即可；
（2）根据（1）中计算的增长率，即可求解．
【详解】（1）解：设该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率为ݔ，
根据题意，得Ͷ݇
൅ݔʹ ൌͷǤ͹͸，
解得ݔ݇ൌͲǤʹ ൌʹͲ%ǡݔʹ ൌെʹǤʹ（舍去）．
答：该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率为ʹͲ%．
（2）解：由（1）可知该服务中心10 月、11 月服务收入的月平均增长率为ʹͲ%．
ͷǤ͹͸ ൈ݇
൅ʹͲ% ൌͷǤ͹͸ ൈ݇
Ǥʹ ൌ͸Ǥͻ݇ʹ（万元）．
答：该服务中心12 月份的收入是6.912 万元．
【易错提醒】
混淆“增长率”和“增长后的量”，如把“增长了20%”当成“增长到20%”
忘记平方，错误写成a(1+x)=b（仅适用于一次增长）
下降率问题中，出现1-x<0 的情况，不符合实际意义，必须舍去
连续两次增长率不同时，不能用此公式，需分步计算
知识点03
面积问题（教材高频题型）
基本等量关系：利用常见几何图形的面积公式列方程
教材经典模型：
矩形围栏问题：利用周长和面积的关系列方程
道路问题：通过平移法将不规则图形转化为规则矩形，避免重复计算交叉面积
边框问题：大矩形面积-小矩形面积=边框面积
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3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ܣܤ㿰ܦ），该实验
田两面靠墙（ܣܦ位置的墙最大可用27 米，ܣܤ位置的墙最大可用15 米），另外两边用栅栏围成，中间也
用栅栏隔开，分成两个场地及一个1 米宽的通道，两个场地分别留出一个1 米宽的门（门不用栅栏，ܪܩ处
使用栅栏），建成后栅栏总长为45 米，设实验田㿰ܦ的长为x 米．
(1)ܣܦ的长为米（用含x 的式子表示）；
(2)若实验田（矩形ܣܤ㿰ܦ）的面积为180 平方米，求x 的值；
(3)通过计算说明该实验田的面积能否为240 平方米．
【答案】(1) Ͷ͹ െ͵ݔ
(2)ݔൌͻ 或ݔൌ
ʹͲ
͵
(3)解：假设该实验田的面积能为240 平方米，
∴ݔͶ͹ െ͵ݔൌʹͶͲ，
∴͵ݔʹ െͶ͹ݔ൅ʹͶͲ ൌͲ，
∴Δ ൌെͶ͹ ʹ െͶ ൈ͵ ൈʹͶͲ ൏Ͳ，
方程没有实数根，假设不成立，
答：该实验田的面积不能为240 平方米．
【分析】（1）直接根据建造要求计算即可；
（2）根据“面积为180 平方米”求出x 的值，再根据墙长求出x 的取值范围，进而可知x 的值；
（3）假设该实验田的面积能为240 平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可．
【详解】（1）解：由题意得：ܣܦൌͶͷ െݔെʹ ݔെ݇
ൌͶ͹ െ͵ݔ米；
（2）解：由题意得：ݔͶ͹ െ͵ݔൌ݇
㜸Ͳ，
解得：ݔ݇ൌͻǡݔʹ ൌ
ʹͲ
͵ ，
又∵Ͷ͹ െ͵ݔ൑ʹ͹
ݔ൑݇
ͷ
，
∴
ʹͲ
͵ ൑ݔ൑݇
ͷ，
∴ݔൌͻ 或ݔൌ
ʹͲ
͵ ；
（3）略．
【易错提醒】
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道路问题中，未使用平移法导致重复减去交叉部分的面积
忽略图形的实际限制，如道路宽度不能超过矩形的长和宽
边框问题中，内外矩形的边长差是边框宽度的2 倍，容易误算为1 倍
三角形、梯形面积计算时忘记乘以݇ʹ
知识点04 销售利润问题
核心公式：
单件利润=售价-进价（成本）
总利润=单件利润×销售量
总销售额=售价×销售量
教材经典模型：售价每降低/提高1 元，销售量对应增加/减少固定数量
即时即练
4．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4 月份
到6 月份的销量，该品牌头盔4 月份销售500 个，6 月份销售720 个，且从4 月份到6 月份销售量的月增长
率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为40 元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50 元时，月销售量为500 个，在
此基础上售价每涨价1 元，则月销售量将减少10 个．为使月销售利润达到8000 元，而且尽可能让顾客得
到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为ʹͲ%
(2)该品牌头盔的实际售价应定为͸Ͳ 元
【分析】（1）设月增长率为ݔ，根据4 月和6 月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，
舍去不合题意的负根即可得到结果；
（2）设实际售价为ݕ元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠
的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为ݔ，
依题意得ͷͲͲሺ݇൅ݔሻʹ ൌ͹ʹͲ，
解得ݔ݇ൌͲǤʹ ൌʹͲ%，ݔʹ ൌെʹǤʹ（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为ʹͲ%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为ݕ元，
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依题意得ሺݕെͶͲሻ൭ͷͲͲ െ݇
ͲሺݕെͷͲሻ㘴ൌ㜸ͲͲͲ，
整理得ݕʹ െ݇
ͶͲݕ൅Ͷ㜸ͲͲ ൌͲ，
解得ݕ݇ൌ͸Ͳ，ݕʹ ൌ㜸Ͳ，
因为要尽可能让顾客得到实惠，
所以舍去ݕൌ㜸Ͳ，
所以ݕൌ͸Ͳ，
答：该品牌头盔的实际售价应定为͸Ͳ 元．
【易错提醒】
混淆“进价” “售价” “标价” “折扣”的概念，如把标价直接当成售价
销售量与售价的变化关系搞反，如售价降低时，销售量应该增加
计算总利润时错误用“总销售额-单件进价”，正确应为“(售价-进价)×销售量”
结果需根据实际情况取整，如商品数量必须为正整数
题型1 传播问题
【例1】
冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最
初有ʹ 人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有͵ʹ 人患流感，若设每轮传染中平
均一人传染了ݔ人，则根据题意，可列方程为（
）
A．ʹሺ݇൅ݔሻʹ ൌ͵ʹ
B．ʹ＋ʹݔ＋Ͷݔʹ＝͵ʹ
C．ʹ ൅ʹݔ൅ݔሺ݇൅ݔሻൌ͵ʹ
D．ݔ൅ݔሺʹ ൅ʹݔሻൌ͵ʹ
【答案】A
【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以ሺ݇൅ݔሻʹ，即可作答．
【详解】解：∵最初有ʹ 人患流感，
∴第一轮传染后，患病人数为ʹ ൅ʹݔ，
∴第二轮传染后，患病人数为ʹ ൅ʹݔ൅ݔሺʹ ൅ʹݔሻൌʹሺ݇൅ݔሻʹ
∵两轮传染后该班级共有32 人患流感，
∴可列方程为ʹሺ݇൅ݔሻʹ ൌ͵ʹ．
【技巧归纳】
通用公式：a(1+x)
n=b（a=初始传染源数，x=每轮每人传播人数，n=传播轮数，b=最终患病总数）
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两轮传播最常见：a(1+x)
2=b
特例：若初始1 人，两轮后患病1+x+x(1+x)=(1+x)
2人
【变式1-1】
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1 人获知一条政令，
经过两轮传播后，共有Ͷͻ 人知晓．若每轮平均1 人传播给x 人，则可列方程为（
）
A．ݔ൅݇
൅ݔൌͶͻ
B．ʹ݇
൅ݔൌͶͻ
C．݇൅ݔ൅ݔ݇
൅ݔൌͶͻ
D．݇൅ݔ൅ݔʹ ൌͶͻ
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的
总知晓人数，再据此列出方程．
【详解】解：∵初始有1 人知晓政令，每轮平均1 人传播给ݔ人，
∴第一轮传播结束后，总共有݇
൅ݔ人知晓，
第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给ݔ人，因此第二轮新增的知晓人数为ݔ݇
൅ݔ，
∵两轮传播后总共有49 人知晓，
∴可列方程为݇
൅ݔ൅ݔ݇
൅ݔൌͶͻ ，故选C．
【变式1-2】
2．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169 人患上流感．按这样的传染速度，若4
人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？
【答案】52 人
【分析】设每轮传染中平均每人传染ݔ人，根据题意列出一元二次方程求解．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染ݔ人，根据题意得，
ݔ൅݇
ʹ ൌ݇
͸ͻ
解得ݔ݇ൌ݇
ʹǡݔʹ ൌെ݇
Ͷ（舍去），
第一轮传染后患流感的人数共有Ͷ ൅Ͷ ൈ݇
ʹ ൌͷʹ（人），
答：第一轮传染后患流感的人数共有52 人．
题型2 增长率问题
【例2】根据中国民航局预测，2025 年我国低空经济规模将达1.5 万亿元，预计2035 年我国低空经济规模
有望突破3.5 万亿元．如果设2025~2035 年每年低空经济规模年平均增长率为ݔ，那么根据题意可列方程为
（
）．
A．݇Ǥͷ݇
൅ݔ݇Ͳ ൌ͵Ǥͷ
B．݇Ǥͷ݇
൅݇
Ͳݔൌ͵Ǥͷ
C．݇Ǥͷ݇
െݔ݇
Ͳ ൌ͵Ǥͷ
D．݇Ǥͷ݇
൅ݔ݇
Ͳ ൌ͵Ǥͷ
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【答案】D
【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程．
【详解】先计算2025 到2035 年的间隔年数，ʹͲ͵ͷ െʹͲʹͷ ൌ݇
Ͳ，即共增长10 年，
׶ 年平均增长率为ݔ，初始规模为݇
Ǥͷ 万亿元，
按照平均增长率规律，݊
年后规模为初始量ൈሺ݇൅ݔሻ݊，
∴10 年后规模为݇
Ǥͷ݇
൅ݔ݇
Ͳ，
又2035 年规模为͵Ǥͷ 万亿元，
∴可列方程为݇
Ǥͷ݇
൅ݔ݇
Ͳ ൌ͵Ǥͷ．
【技巧归纳】
增长公式：a(1+x)n=b；下降公式：a(1-x)n=b
a=基础量，x=平均增长率/下降率，n=增长/下降次数，b=最终量
两年增长/下降是中考高频考点，n=2
【变式2-1】
1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年͵ 月份产值为ͻ 万元，
ͷ 月份产值为݇
͸ 万元，设该企业͵ 月份至ͷ 月份产值平均每月的增长率为ܽ
，根据题意可列方程是（
）
A．ͻ݇
൅ܽ
൅ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
B．ͻ݇
൅ʹܽ
ൌ݇
͸
C．ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
D．ͻ ൅ͻ݇
൅ܽ
൅ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸
【答案】C
【分析】先利用增长率得到ͷ 月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程．
【详解】解：∵设平均每月增长率为ܽ
，͵ 月份产值为ͻ 万元，
∴Ͷ 月份产值为ͻ݇
൅ܽ
万元，
∴ͷ 月份产值为ͻ݇
൅ܽ
ڄ݇
൅ܽ
ൌͻ݇
൅ܽ
ʹ万元，
又∵已知ͷ 月份产值为݇
͸ 万元，
∴可列方程为ͻ݇
൅ܽ
ʹ ൌ݇
͸．
【变式2-2】
2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、
B 两种品牌头盔进行销售．
(1)该经销商统计了A 品牌头盔4 月份到6 月份的销量，A 品牌头盔4 月份销售64 个，6 月份销售100 个，
且从4 月份到6 月份销售量的月增长率相同，求A 品牌头盔销售量的月增长率；
(2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B 品牌头盔共100 个．已知A 品牌头盔的进价
为每个50 元，售价为每个70 元；B 品牌头盔的进价为每个100 元，售价为每个130 元．假设所购进的头
盔全部售完，为使利润不低于2600 元，该经销商购进A 品牌头盔不超过多少个？
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【答案】(1)ʹͷ%
(2)该经销商购进A 品牌头盔不超过ͶͲ 个
【分析】（1）设A 品牌头盔销售量的月增长率为ݔ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果；
（2）设该经销商购进A 品牌头盔݉
个，则该经销商购进B 品牌头盔݇
ͲͲ െ݉
个，根据题意列出一元一次
不等式，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：设A 品牌头盔销售量的月增长率为ݔ，
由题意可得͸Ͷ݇
൅ݔʹ ൌ݇
ͲͲ，
解得ݔ݇ൌͲǤʹͷ ൌʹͷ%，ݔʹ ൌെʹǤʹͷ（不符合题意，舍去），
∴A 品牌头盔销售量的月增长率为ʹͷ%，
（2）解：设该经销商购进A 品牌头盔݉
个，则该经销商购进B 品牌头盔݇
ͲͲ െ݉
个，
由题意可得͹Ͳ െͷͲ݉
൅݇
͵Ͳ െ݇
ͲͲ݇
ͲͲ െ݉
൒ʹ͸ͲͲ，
解得݉
൑ͶͲ，
∴该经销商购进A 品牌头盔不超过ͶͲ 个．
题型3 与图形有关的问题
【例3】为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的
“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园
景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为͹ʹ 平方米，从水池边到圆周，每边均相距͵ 米．设水池的
边长为ݔ米，则下列方程能正确表示数量关系的是（
）
A．π ݔ൅͵ ʹ െݔʹ ൌ͹ʹ
B．π
ݔ
ʹ ൅͵
ʹ
െݔʹ ൌ͹ʹ
C．π ݔ൅͵ ʹ െݔʹ ൌ͵͸
D．π
ݔ
ʹ ൅͵
ʹ
െݔʹ ൌ͵͸
【答案】B
【分析】设水池的边长为ݔ米，每边均相距͵ 米，则圆的半径为݇ʹ ݔ൅͵ 米，可种植绿植的面积为圆的面
积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为͹ʹ 平方米即可列出方程．
【详解】解：设水池的边长为ݔ米，每边均相距͵ 米，
则圆的半径为݇ʹ ݔ൅͵ 米，
׶可种植绿植的面积恰好为͹ʹ 平方米，
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∴ߨ݇ʹ ݔ൅͵
ʹ
െݔʹ ൌ͹ʹ．
【技巧归纳】
道路问题：平移法（将道路移到边缘，空白部分拼成规则矩形）
边框问题：设边框宽度为x，用含x 的式子表示内部图形的长和宽
直角三角形问题：利用勾股定理列方程
【变式3-1】
1．如图1，有一张长为͵Ͳcm、宽为݇
͸cm 的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，
折成图2 所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）．
(1)若剪去的正方形的边长为ʹcm，则纸盒底面长方形的长为___________cm；
(2)若纸盒的底面积为ʹͶͲcmʹ，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，
再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为
Ͷ݇ʹcmʹ，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】(1)26
(2)剪去正方形的边长为͵cm
(3)剪去的正方形的边长为ʹcm
【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）设剪去的正方形的边长为ݔcm，则纸盒底面长方形的长为͵Ͳ െʹݔcm，宽为݇
͸ െʹݔcm，根据题意
列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设剪去的正方形的边长为ܽ
cm，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：͵Ͳ െʹ ൈʹ ൌʹ͸ cm ，݇͸ െʹ ൈʹ ൌ݇
ʹ cm ，
纸盒底面长方形的长为ʹ͸cm；
（2）解：设剪去的正方形的边长为ݔcm，则纸盒底面长方形的长为͵Ͳ െʹݔcm，宽为݇
͸ െʹݔcm，
由题意得：͵Ͳ െʹݔ݇
͸ െʹݔൌʹͶͲ，
解得：ݔൌ͵ 或ݔൌʹͲ（舍去），
∴剪去正方形的边长为͵cm；
（3）解：设剪去的正方形的边长为ܽ
cm，
由题意得：ܽ݇
͸ െʹܽ
ൈʹ ൅ܽ
͵Ͳെʹܽ
ʹ
ൈʹ ൅݇
͸ െʹܽ
ൈ
͵Ͳെʹܽ
ʹ
ൈʹ ൌͶ݇ʹ，
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解得：ܽ
ൌʹ 或ܽ
ൌെ݇
͹（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为ʹcm．
【变式3-2】
2．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8 米的篱笆在两面互相垂直且足够长的
围墙边围出一块面积为15 平方米的矩形菜地，如图所示．
(1)求矩形菜地的长和宽．
(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买ܣ、ܤ两种化肥共20 千克．已知ܣ种化肥每千克8 元，每千克可
给1 平方米的菜地施肥；ܤ种化肥每千克6 元，每千克可给0.6 平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施ܣ
种化肥，另一部分施B 种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？
【答案】(1)矩形菜地的长为5 米，宽为3 米
(2)购买ܣ种化肥7.5 千克，ܤ种化肥12.5 千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少
【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15 平方米，列一元二次方程进行求解．
（2）设购买ܣ种化肥݉
千克，根据“要给15 平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定݉
的取值范围，再根
据“总花费=ܣ种化肥的花费+ܤ种化肥的花费”，列出总花费ݓ与݉
的函数关系式，最后确定购买方案．
【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为ݔ米ሺͲ ൏ݔ൑Ͷሻ，则长为ሺ㜸െݔሻ米，
由题意，得ݔሺ㜸െݔሻൌ݇
ͷ，
解得ݔ݇ൌ͵，ݔʹ ൌͷ（舍去），
㜸െݔൌ㜸െ͵ ൌͷ（米）．
答：矩形菜地的长为5 米，宽为3 米．
（2）解：设购买ܣ种化肥݉
千克，则购买ܤ种化肥ሺʹͲ െ݉
ሻ千克，总花费为ݓ元，
由题意，得݉
൅ͲǤ͸ሺʹͲ െ݉
ሻ൒݇
ͷ，
解得݉
൒͹Ǥͷ．
由题意，得ݓൌ㜸݉
൅͸ሺʹͲ െ݉
ሻൌʹ݉
൅݇
ʹͲ，
∵ʹ 㘠Ͳ，
∴ݓ随݉
的增大而增大，
∴当݉
取最小值，即݉
ൌ͹Ǥͷ 时，ݓ取最小值，
此时ʹͲ െ݉
ൌʹͲ െ͹Ǥͷ ൌ݇
ʹǤͷ．
答：购买ܣ种化肥7.5 千克，ܤ种化肥12.5 千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少．
题型4 数字问题
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【例4】【探究活动】如图，计算末位为5 的两位数的平方时，只需将十位上数字݊
与݊
൅݇
相乘，再乘以
100，然后加上25 即可．
【应用体验】已知݇
Ͳ݊൅ͷ ʹ ൌͷ͸ʹͷ݊
㘠Ͳ ，则݊
ൌ________．
【答案】7
【分析】根据探究活动中总结的末位为5 的两位数平方的计算规律，建立关于݊
的方程求解即可．
【详解】解：根据探究活动可知，݇
Ͳ݊൅ͷ ʹ ൌ݇
ͲͲ݊݊
൅݇
൅ʹͷ．
因为݇
Ͳ݊൅ͷ ʹ ൌͷ͸ʹͷ，
所以݇
ͲͲ݊݊
൅݇
൅ʹͷ ൌͷ͸ʹͷ，
移项，得݇
ͲͲ݊݊
൅݇
ൌͷ͸ͲͲ，
两边同时除以100，得݊݊
൅݇
ൌͷ͸，
∴݊
ʹ ൅݊
െͷ͸ ൌͲ，
解得݊݇
ൌ͹，݊
ʹ ൌെ㜸（舍去），
∴݊
ൌ͹．
【技巧归纳】
两位数表示：݇Ͳܽ൅ܾ（ܽ=十位数字，ܾ=个位数字）
三位数表示：݇ͲͲܽ൅݇
Ͳܾ൅ܿ
连续整数：设中间数为ݔ，则为ݔെ݇ǡݔǡݔ൅݇
连续偶数/奇数：设中间数为ݔ，则为ݔെʹǡݔǡݔ൅ʹ
【变式4-1】
1．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的
数字系统，有0～7 共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是͵ ൈ㜸͵ ൅͹ ൈ㜸ʹ ൅Ͷ ൈ㜸݇൅ͷ ൈ㜸Ͳ ൌ
ʹͲʹ݇，表示ICME−14 的举办年份．
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(1)八进制数123 换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个݊
进制数143，换算成十进制数是120，求݊
的值．
【答案】(1)83
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得：݇
ൈ㜸ʹ ൅ʹ ൈ㜸݇൅͵ ൈ㜸Ͳ ൌ㜸͵；
（2）解：根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程可得：݇
ൈ݊
͵െ݇൅Ͷ ൈ݊
͵െʹ ൅͵ ൈ݊
͵െ͵ ൌ݇
ʹͲ，
∴݊
ʹ ൅Ͷ݊
൅͵ ൌ݇
ʹͲ，
整理得：݊
ʹ ൅Ͷ݊
െ݇݇
͹ ൌͲ，
解得݊݇
ൌͻǡ݊
ʹ ൌെ݇
͵（不符合题意，舍去），
故n 的值为9．
【变式4-2】
2．如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，
10）．
(1)如图，若圈出的4 个数ܽ
、ܾ、ܿ、݀中，最小的数ܽ
ൌݔ，则ܾ
ൌݔ൅݇
，ܿൌ________，݀ൌ________．（用
含ݔ的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ܽ݀
െܾܿ
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
【答案】(1)ݔ൅͹，ݔ൅㜸；
(2)证明如下：
∵ܽ݀
െܾܿ
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ൌݔݔ൅㜸െݔ൅݇
ݔ൅͹
ൌݔʹ ൅㜸ݔെݔʹ െ㜸ݔെ͹
ൌെ͹，
∴ܽ݀
െܾܿ
的差恒为常数；
(3)7．
【分析】（1）直接根据日历表作答即可；
（2）直接计算ܽ݀
െܾܿ
的值即可；
（3）由（1）知最小的数ܽ
ൌݔ，最大的数݀
ൌݔ൅㜸，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x 的值
即可．
【详解】（1）解：根据日历表可知，ܿൌܽ
൅͹ ൌݔ൅͹，݀
ൌܾ
൅͹ ൌݔ൅㜸；
（2）略；
（3）解：由题意得：ݔݔ൅㜸ൌ݇
Ͳͷ，
变形整理得：ݔʹ ൅㜸ݔെ݇
Ͳͷ ൌͲ，
解得：ݔ݇ൌ͹，ݔʹ ൌെ݇
ͷ（舍去），
即这个最小的数是7．
题型5 营销问题
【例5】某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12 元，平均每天可售出80 枚．市场调研发
现：若每枚徽章降价1 元，则平均每天可多售出10 枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段
时间后发现，平均日盈利为910 元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x 元，依题意可列方
程（）
A．݇
ʹ െݔ
㜸Ͳ ൅݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
B．݇
ʹ ൅ݔ
㜸Ͳ ൅݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
C．݇
ʹ െݔ
㜸Ͳ െ݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
D．݇
ʹ ൅ݔ
㜸Ͳ െ݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”
的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程．
【详解】解：∵设每件商品降价ݔ元，
∴降价后每枚徽章的盈利为݇
ʹ െݔ元，
∵每降价݇
元平均每天可多售出݇
Ͳ 枚，
∴降价ݔ元后，每天的销售量为㜸Ͳ ൅݇
Ͳݔ枚，
又∵平均日盈利为ͻ݇Ͳ 元，
∴可列方程为݇
ʹ െݔ
㜸Ͳ ൅݇
Ͳݔൌͻ݇Ͳ．
【技巧归纳】
设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x 元
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单件利润=售价-进价=（原售价±x）-进价
销售量=原销量±（每涨/降1 元的销量变化量）×x
列方程：总利润=单件利润×销售量
【变式5-1】
1．为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件
20 元，日销售量ݕ（件）与每件售价ݔ（元）的函数关系如图所示．
(1)求ݕ与ݔ的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的
售价为多少元？
【答案】(1)ݕൌെݔ൅͹Ͳ
(2)该款文创产品每件的售价为35 元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可．
【详解】（1）解：设ݕ与ݔ的函数表达式为ݕൌ݇
ݔ൅ܾ，
将点͵ͲǡͶͲ 和点ͶͲǡ͵Ͳ 的代入得：͵Ͳ݇൅ܾ
ൌͶͲ
ͶͲ݇൅ܾ
ൌ͵Ͳ ，
解得：݇
ൌെܾ݇
ൌ͹Ͳ ，
∴ݕ与ݔ的函数表达式为ݕൌെݔ൅͹Ͳ；
（2）解：根据题意得：ݔെʹͲ
െݔ൅͹Ͳ ൌͷʹͷ，
整理得：ݔʹ െͻͲݔ൅݇
ͻʹͷ ൌͲ，
解得：ݔ݇ൌ͵ͷ，ݔʹ ൌͷͷ，
׶尽可能的让利于顾客，
∴ݔൌ͵ͷ，
即该款文创产品每件的售价为35 元．
【变式5-2】
2．为备战2026 靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的
团购优惠方案如下：若购买数量不超过30 个，则每个足球的售价为180 元；若购买数量超过30 个，则每
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增加1 个，每个足球的售价降低2 元，但每个足球的售价不得低于120 元．若该足球队共花费6750 元购买
该品牌足球，求该足球队购买足球的数量．
【答案】45 个
【分析】设该足球队购买了x 个足球，先判断ݔ㘠͵Ͳ，然后根据总花费6750 元，列出方程，解方程，然后
根据每个足球的售价不得低于120 元，再进行判断即可．
【详解】解：设该足球队购买了x 个足球，
若购买30 个，总价为͵Ͳ ൈ݇
㜸Ͳ ൌͷͶͲͲ（元），
∵͸͹ͷͲ 㘠ͷͶͲͲ，
∴ݔ㘠͵Ͳ，
则ݔ݇
㜸Ͳ െʹ ݔെ͵Ͳ
ൌ͸͹ͷͲ，
整理得：ݔʹ െ݇
ʹͲݔ൅͵͵͹ͷ ൌͲ，
∴ݔ݇ൌͶͷ，ݔʹ ൌ͹ͷ，
当ݔൌ͹ͷ 时，单价为݇
㜸Ͳ െʹ ൈ͹ͷ െ͵Ͳ ൌͻͲ（元），ͻͲ ൏݇
ʹͲ，不符合题意，舍去；
当ݔൌͶͷ 时，单价为݇
㜸Ͳ െʹ ൈͶͷ െ͵Ͳ ൌ݇
ͷͲ（元），݇ͷͲ 㘠݇
ʹͲ，符合题意．
答：该足球队购买了45 个足球．
题型6 动态几何问题
【例6】如图，在ᇞܣܤ㿰中，סܣ㿰ܤൌͻͲιǡܣ㿰ൌͶͲcm，ܤ㿰ൌ͵Ͳcm．点ܲ
在边ܣ㿰上，以Ͷcm/s 的速度由
点ܣ向点㿰运动，同时，点ܳ
在边㿰ܤ上，以ʹcm/s 的速度由点㿰向点ܤ运动，当一个点到达终点时，两
个点同时停止运动．设运动时间为ݐ s．
(1)当ݐൌͷ 时，求ᇞܲܳ
㿰的面积．
(2)当ᇞܲܳ
㿰的面积为͸Ͷcmʹ时，求ݐ的值．
(3)ᇞܲܳ
㿰的面积能否达到݇
ʹͲcmʹ？若能，求出ݐ的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)݇ͲͲcmʹ
(2)ݐ的值为2 或8 秒
(3)ᇞܲܳ
㿰的面积不能达到݇
ʹͲcmʹ，理由见解析
【分析】（1）根据ݐൌͷ，可得ܲ
㿰，㿰ܳ
的长，即可求解；
（2）由题意得，ܲ㿰ൌܣ㿰െܣܲ
ൌͶͲ െͶݐ，㿰ܳ
ൌʹݐ，则ܵᇞܲܳ
㿰ൌ݇ʹܲ
㿰ڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐൌ͸Ͷ，即可
求解；
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（3）由（2）可得ܵᇞܲܳ
㿰ൌ݇ʹܲ
㿰ڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐ，令݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐൌ݇
ʹͲ，进行判断即可．
【详解】（1）解：当ݐൌͷ 时，ܣܲ
ൌͶ ൈͷ ൌʹͲ  cm ǡ㿰ܳ
ൌʹ ൈͷ ൌ݇
Ͳ  cm ，
∴ܲ㿰ൌܣ㿰െܣܲ
ൌͶͲ െʹͲ ൌʹͲ cm ，
∴ܵᇞܲܳ
㿰ൌ݇ʹܲ
㿰ڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ൈʹͲ ൈ݇
Ͳ ൌ݇
ͲͲ cmʹ ．
（2）解：由题意得，ܲ㿰ൌܣ㿰െܣܲ
ൌͶͲ െͶݐ，㿰ܳ
ൌʹݐ，
∴ܵᇞܲܳ
㿰ൌ݇ʹܲ
㿰ڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐൌ͸Ͷ，
整理，得ݐʹ െ݇
Ͳݐ൅݇͸ ൌͲ，
解得ݐ݇ൌʹǡݐʹ ൌ㜸．
当ݐൌʹ 时，ͶͲ െͶݐൌͶͲ െͶ ൈʹ ൌ͵ʹ 㘠Ͳ，㿰ܳ
ൌʹ ൈʹ ൌͶ ൏͵Ͳ，符合题意；
当ݐൌ㜸时，ͶͲ െͶݐൌͶͲ െͶ ൈ㜸ൌ㜸㘠Ͳ，㿰ܳ
ൌʹ ൈ㜸ൌ݇
͸ ൏͵Ͳ，符合题意；∴
∴ݐ的值为2 或8 秒．
（3）解：不能．理由如下：
由（2）可知，ܵᇞܲܳ
㿰ൌ݇ʹܲ
㿰ڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐ，
令݇ʹ ൈͶͲ െͶݐൈʹݐൌ݇
ʹͲ，
整理，得ݐʹ െ݇
Ͳݐ൅͵Ͳ ൌͲ，
∵Δ ൌെ݇
Ͳ ʹ െͶ ൈ݇
ൈ͵Ͳ ൌെʹͲ ൏Ͳ，
∴ݐʹ െ݇
Ͳݐ൅͵Ͳ ൌͲ 无实数根，
∴ᇞܲܳ
㿰的面积不能达到݇
ʹͲ cmʹ．
【技巧归纳】
第一步：用含ݐ的代数式表示所有运动线段的长度
第二步：根据勾股定理、面积公式或相似三角形性质列方程
第三步：解出ݐ后，必须检验是否在运动时间范围内
【变式6-1】
1．在Rt ᇞܣܤ㿰中，ס㿰ൌͻͲι，ܣ㿰ൌ݇
㜸cm，ܤ㿰ൌ݇
͸cm，点P，Q 都从点C 出发，点P 以݇
cm/s 的速度
沿㿰ܣ向A运动，点Q从点C出发，以ʹcm/s 的速度沿㿰ܤ向B运动，两点同时出发，设运动时间为ݐs
Ͳ ൏ݐ൏
㜸．
(1)当ݐൌ݇
s 时，求ܲܳ
长．
(2)当ᇞܲ
㿰ܳ
的面积为͸cmʹ时，求t 的值．
(3)当ܲܳ
ൌ͵ ͷcm 时，求t 的值．
【答案】(1)ܲܳ
ൌ
ͷcm
(2)ݐൌ
͸s
(3)ݐൌ͵s
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【分析】（1）当ݐൌ݇
s 时，㿰ܲ
ൌ݇
cm，㿰ܳ
ൌʹcm，根据勾股定理求解即可；
（2）根据题意㿰ܲ
ൌݐcm，㿰ܳ
ൌʹݐcm，由ܵᇞܲ㿰ܳൌ͸cmʹ列方程求解即可；
（3）根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：当ݐൌ݇
s 时，㿰ܲ
ൌ݇
cm，㿰ܳ
ൌʹcm，
׶ ס㿰ൌͻͲι，
∴ܲܳ
ൌ
㿰ܲ
ʹ ൅㿰ܳ
ʹ ൌ݇
ʹ ൅ʹʹ ൌ
ͷ cm ；
（2）解：׶ 㿰ܲ
ൌݐcm，㿰ܳ
ൌʹݐcm，ܵᇞܲ㿰ܳൌ͸cmʹ，
∴݇ʹ ڄ ݐڄ ʹݐൌ͸
∴ݐ݇ൌ
͸，ݐʹ ൌെ
͸，
׶ ݐ㘠Ͳ，
∴ݐൌ
͸s；
（3）解：由勾股定理，可得ݐʹ ൅ʹݐʹ ൌ͵ ͷ
ʹ，
解得ݐൌ͵ 或ݐൌെ͵，
׶ ݐ㘠Ͳ，
∴ݐൌ͵s．
【变式6-2】
2．如图，在直角梯形ܣܤ㿰ܦ中，ܣܤצ 㿰ܦ，סܤ㿰ܦൌͻͲι，ܣܤൌܣܦൌ݇
Ͳcm，ܤ㿰ൌ㜸cm．点P 从点A 出发，
以每秒͵cm 的速度沿折线ܣܤ㿰方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段ܦ㿰方向向点C 运
动．已知动点P、Q 同时出发，当点P 运动到点C 时，P、Q 运动停止，设运动时间为t．
(1)求㿰ܦ的长；
(2)当四边形ܲ
ܤܳܦ为平行四边形时，求四边形ܲ
ܤܳܦ的周长；
(3)在点P、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得ᇞܤܲܳ
的面积为݇
ͷcmʹ？若存在，请求出所有满
足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16
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(2)㜸൅㜸݇
͵
(3)存在，满足条件的ݐ的值为
ʹͷ݇
ʹ秒或ͷ 秒
【分析】（1）过点ܣ作ܣܯ٣ 㿰ܦ于ܯ，根据题意证明四边形ܣܤ㿰ܯ是平行四边形，然后根据平行四边形
的性质以及勾股定理可得结果；
（2）当四边形ܲ
ܤܳܦ是平行四边形，则点ܲ
在ܣܤ上，点ܳ
在ܦ㿰上，则ܤܲ
ൌ݇
Ͳ െ͵ݐ，ܦܳ
ൌʹݐ，根据
平行四边形的性质可得݇
Ͳ െ͵ݐൌʹݐ，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当点ܲ
在线段ܣܤ上时；②当点ܲ
在线段ܤ㿰上时；根据三角形面积列方程
计算即可．
【详解】（1）解：如图݇
，过点ܣ作ܣܯ٣ 㿰ܦ于ܯ，
׶ ܣܯ٣ 㿰ܦ，סܤ㿰ܦൌͻͲι，
∴ܣܯצ㿰ܤ，
∵ܣܤצ㿰ܦ，
∴四边形ܣܤ㿰ܯ是平行四边形，
∴㿰ܯൌܣܤൌ݇
Ͳcm，ܣܯൌܤ㿰ൌ㜸cm
在Rt ᇞܣܦܯ中，ܣܦൌ݇
Ͳcm，
∴根据勾股定理得，ܦܯൌ
ܣܦʹ െܣܯʹ ൌ͸cm，
∴㿰ܦൌܦܯ൅㿰ܯൌ݇
͸cm；
（2）解：当四边形ܲ
ܤܳܦ是平行四边形，
则点ܲ
在ܣܤ上，点ܳ
在ܦ㿰上，
如图͵，
由运动知，ܤܲ
ൌ݇
Ͳ െ͵ݐ，ܦܳ
ൌʹݐ，
∴݇
Ͳ െ͵ݐൌʹݐ，
∴ݐൌʹ，
此时，ܤܲ
ൌܦܳ
ൌͶ，㿰ܳ
ൌ݇
ʹ，根据勾股定理得，ܤܳ
ൌ
ܤ㿰ʹ ൅㿰ܳ
ʹ ൌͶ݇
͵；
∴四边形ܲ
ܤܳܦ的周长为ʹ ܤܲ
൅ܤܳ
ൌ㜸൅㜸݇
͵；
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（3）解：①当点ܲ
在线段ܣܤ上时，即：Ͳ ൑ݐ൑݇
Ͳ
͵ 时，
如图ʹ，ܵ
ᇞܤܲܳ
ൌ݇ʹܲ
ܤڄ ܤ㿰ൌ݇ʹ݇
Ͳ െ͵ݐൈ㜸ൌ݇
ͷ，
∴ݐൌ
ʹͷ݇
ʹ；
②当点ܲ
在线段ܤ㿰上时，即：݇
Ͳ
͵ ൏ݐ൑͸ 时，
如图Ͷ，
ܤܲ
ൌ͵ݐെ݇Ͳ，㿰ܳ
ൌ݇
͸ െʹݐ，
∴ܵ
ᇞܤܲܳ
ൌ݇ʹܲ
ܤڄ 㿰ܳ
ൌ݇ʹ ͵ݐെ݇Ͳ݇
͸ െʹݐൌ݇
ͷ，
∴ݐൌͷ 或ݐൌ݇
ͻ
͵ （舍），
即：满足条件的ݐ的值为
ʹͷ݇
ʹ秒或ͷ 秒．
题型7 工程问题
【例7】列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉
礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20 人时，当天加
工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：݉
名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种
腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加݉
个，每名工人每天加工
甲种腊肉礼盒比以前增加ʹ݉
个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求݉
的值．
【答案】(1)360 个；240 个
(2)80
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：
（1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒ݔ个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒݇
Ǥͷݔ个，根据题意列分式
方程，解方程即可．
（2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，列一元
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二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每名工人日加工乙种腊肉礼盒ݔ个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒݇
Ǥͷݔ个．
根据题意，得݇
ͶͶͲͲ
ݔ
െ݇
ͶͶͲͲ݇
ǤͷݔൌʹͲ．
化为整式方程，得݇
ͶͶͲͲ ൈ݇
Ǥͷ െ݇
ͶͶͲͲ ൌʹͲ ൈ݇
Ǥͷݔ，
解方程，得ݔൌʹͶͲ．
经检验，ݔൌʹͶͲ 是原方程的解．
则݇
Ǥͷݔൌ͵͸Ͳ．
答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360 个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240 个．
（2）解：工人总数为：݇
ͶͶͲͲ
ʹͶͲ ൅݇
ͶͶͲͲ
͵͸Ͳ ൌ݇
ͲͲ（人）．
根据题意，得݇
ͲͲ െ݉
͵͸Ͳ ൅ʹ݉
൅݉
ʹͶͲ ൅݉
ൌ͵͸ͲͲͲ．
整理得݉
ʹ െ㜸Ͳ݉
ൌͲ．
解得݉݇
ൌ㜸Ͳ，݉
ʹ ൌͲ（舍去）．
答：݉
的值为80．
【技巧归纳】
甲单独完成需x 天，则甲的效率为݇ݔ
合作效率=各队效率之和
等量关系：各部分工作量之和=总工作量1
【变式7-1】
1．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔͵ʹͲͲ 盒月饼的订单，现决定由
甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工݇
Ͳ 天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天
加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多͵ͲͲ 盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了ͷͲͲ 盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而
乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工݇
ͲͲ 盒月饼，则甲、
乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、
乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
【答案】(1)甲组平均每天能加工ʹͲͲ 盒月饼，乙组平均每天能加工݇
ͷͲ 盒月饼
(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单
【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键．
（1）设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程
再求解即可；
（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合
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题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，
根据题意，得݇
Ͳݔ൅㜸ݕൌ͵ʹͲͲ
͵ݔെʹݕൌ͵ͲͲ ，
解得ݔൌʹͲͲ
ݕൌ݇
ͷͲ ，
答：甲组平均每天能加工ʹͲͲ 盒月饼，乙组平均每天能加工݇
ͷͲ 盒月饼；
（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意，得
ʹ ൈʹͲͲ ൅݇
ͷͲ ൅ʹͲͲ ൅݇
ͲͲܽ݇
Ͳ െʹ െܽ
൅݇
ͷͲ 㜸െʹ െܽ
ൌ͵ʹͲͲ ൅ͷͲͲ，
整理得ʹܽʹ െͻܽ൅݇
Ͳ ൌͲ，
解得ܽ݇
ൌʹ，ܽʹ ൌ
ͷ
ʹ（不符合题意，舍去），
答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单．
【变式7-2】
2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有ܣ，ܤ两条不同的粽子生产线，
ܣ生产线每小时加工粽子ͶͲͲ 个，ܤ生产线每小时加工粽子ͷͲͲ 个．
(1)若生产线ܣ，ܤ一共加工݇݇
小时，且生产粽子总数量不少于ͷͲͲͲ 个，则B 生产线至少加工多少小时？
(2)原计划ܣ，ܤ生产线每天均工作㜸小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，ܣ生产线每小时比原
计划多生产݇
ͲͲܽ
个（ܽ
㘠Ͳ），ܤ生产线每小时比原计划多生产݇
ͲͲ 个．若ܣ生产线每天比原计划少工作
ʹܽ
小时，ܤ生产线每天比原计划少工作ܽ
小时，这样一天恰好生产粽子͸ͲͲͲ 个，求ܽ
的值．
【答案】(1)B 生产线至少加工6 小时
(2)a 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所
给的数量关系列出不等式和方程求解．݇
设ܤ生产线加工ݔ小时，则ܣ生产线加工ሺ݇݇
െݔሻ小时，根据生产线ܣ，ܤ一共加工݇݇
小时，且生产粽
子总数量不少于ͷͲͲͲ 个，列不等式求解即可；
ʹ 根据一天恰好生产了͸ͲͲͲ 个粽子，可列关于ܽ
的一元二次方程，解方程即可求出ܽ
的值．
【详解】（1）解：设ܤ生产线加工ݔ小时，则ܣ生产线加工ሺ݇݇
െݔሻ小时，
根据题意可得：ͷͲͲݔ൅ͶͲͲሺ݇݇
െݔሻ൒ͷͲͲͲ，
解得：ݔ൒͸
答：ܤ生产线至少加工͸ 小时；
（2）解：由题意可得：ሺͶͲͲ ൅݇
ͲͲܽሻሺ㜸െʹܽሻ൅ሺͷͲͲ ൅݇
ͲͲሻሺ㜸െܽ
ሻൌ͸ͲͲͲ，
整理得：ܽ
ʹ ൅͵ܽെ݇
Ͳ ൌͲ，
解得ܽ݇
ൌʹ，ܽʹ ൌെͷ（不符合题意，舍去），
答：ܽ
的值为ʹ．
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题型8 行程问题
【例8】2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，
最终用时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为ʹͶkm/h，经过两次速
度调整后，速度提升至Ͷ㜸ǤͶkm/h．设这两次调整中，速度的平均增长率为ݔ．根据题意列出方程，正确的
是（
）．
A．ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶ㜸ǤͶ
B．Ͷ㜸ǤͶ݇
൅ݔʹ ൌʹͶ
C．ʹͶ݇
൅ݔ൅ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶ㜸ǤͶ
D．ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶ㜸ǤͶ
【答案】D
【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为Ͷ㜸ǤͶkm/h 即可列出
正确方程．
【详解】解：∵初始速度为ʹͶkm/h，两次调整的平均增长率为ݔ，
∴第一次调整后速度为ʹͶሺ݇൅ݔሻkm h，
第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长，
因此第二次调整后速度为ʹͶሺ݇൅ݔሻ൉ሺ݇൅ݔሻൌʹͶሺ݇൅ݔሻʹ km h，
又∵调整后最终速度为Ͷ㜸ǤͶkm/h，
∴可列方程ʹͶ݇
൅ݔʹ ൌͶ㜸ǤͶ．
【技巧归纳】
相遇问题：路程和=总路程
追及问题：路程差=初始距离
航行问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
一元二次方程常用于往返、变速或多次相遇问题
【变式8-1】
1．如图，一钢球从长Ͷm 的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加ʹm/s．（提
示：本题中，距离ܵ
ൌ平均速度ݒൈ时间t，ݒൌ
ݒͲ൅ݒݐ
ʹ ，其中ݒͲ是开始时的速度，ݒݐ是t 秒的速度）则钢球从
斜面顶端滚到底端的时间是（
）
A．݇s
B．ʹs
C．ʹs
D．Ͷs
【答案】C
【详解】解：由题可知ݒͲ ൌͲ m/s ，ݒݐൌʹݐm/s ，
则ܵ
ൌ
Ͳ൅ʹݐ
ʹ
ڄ ݐൌݐʹ ൌͶ，
解得ݐൌʹ（负值舍去）．
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【变式8-2】
2．一个小球以ͷm/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，Ͷs 后小球停止滚动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动ͷm 用了多少秒（结果保留根号）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度ݒ（初速度与末速度的算术平均数）与路程ݏ，时间
ݐ的关系为ݏൌݒതݐ．）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
ͷ
Ͷ m/s；
(2)小球滚动到ͷm 用了Ͷ െʹ ʹ 秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间；
（2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为ݔs，根据题意列出方程：
ͷ൅ͷെͷ
Ͷݔ
ʹ
ڄ ݔൌͷ 求解即可．
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即ͷ ൊͶ ൌ
ͷ
Ͷ，
故小球的滚动速度平均每秒减少
ͷ
Ͷ m/s；
（2）解：设小球滚动到ͷm 用了ݔs，
即
ͷ൅ͷെͷ
Ͷݔ
ʹ
ڄ ݔൌͷ，
解得ݔ݇ൌͶ ൅ʹ ʹ（舍），ݔʹ ൌͶ െʹ ʹ．
答：小球滚动到ͷm 用了Ͷ െʹ ʹ 秒．
题型9 图表信息题
【例9】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30
元电费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按ܽ݇ͲͲ元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电݇
ͷͲ 度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量（度）
缴电费总数（元）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
【答案】(1)ܽ݇ͲͲ݇
ͷͲ െܽ
元
(2)㜸Ͳ
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
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（1）由题意列出代数式即可得出结论；
（2）由3 月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，超过a 度的电费为ܽ݇ͲͲ݇
ͷͲ െܽ
元；
（2）由表格可知3 月份的用电量超过a 度，故：͵Ͳ ൅ܽ݇
ͲͲ݇
ʹͲ െܽ
ൌ͸ʹ，
整理得：ܽ
ʹ െ݇
ʹͲܽ൅͵ʹͲͲ ൌͲ，
解得：ܽ݇
ൌͶͲ，ܽʹ ൌ㜸Ͳ，
∵4 月份用电量͸ͷ 度，交费͵Ͳ 元，
∴ܽ
൒͸ͷ，
∴ܽ
ൌͶͲ 不符合题意，舍去，
∴ܽ
ൌ㜸Ͳ，
答：电厂规定的a 的值为㜸Ͳ．
【技巧归纳】
先看表头、横纵坐标含义，明确两个变量是什么
提取关键数据点（如起点、终点、转折点）
若为线性关系，先求出一次函数解析式，再结合利润等公式列方程
【变式9-1】
1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024 年10 月份的日历．我们任意选择其
中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例
如：ͻ ൈ݇݇
െ͵ ൈ݇
͹ ൌͶ㜸，݇͵ ൈ݇
ͷ െ͹ ൈʹ݇
ൌͶ㜸．不难发现，结果都是48．
(1)请证明发现的规律；
(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5 个数中的最大
数．
【答案】(1)见解析
(2)这5 个数中最大数为29．
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4 个数可以用a 的式子表示出来，即可列出算式进行证明；
（2）设最大数为为x，则最小数为ݔെ݇
Ͷ ，列出一元二次方程解答即可．
【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4 个数分别为ܽ
െ͹ ，ܽ
െ݇
，ܽ
൅݇
，ܽ
൅͹ ，
∴ܽ
െ݇ܽ
൅݇
െܽ
െ͹ܽ
൅͹ ൌܽ
ʹ െ݇
െܽ
ʹ െͶͻ ൌͶ㜸；
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（2）解：设这5 个数中最大数为x，则最小数为ݔെ݇
Ͷ ，
依题意，得：ݔݔെ݇
Ͷ ൌͶ͵ͷ，
解得：ݔ݇ൌʹͻ，ݔʹ ൌെ݇
ͷ（不合题意，舍去）．
答：这5 个数中最大数为29．
【变式9-2】
2．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种
方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．
表（1）
算法
一
女性理想体重
身高ൈ身高ൈʹʹ
男性理想体重
身高ൈ身高ൈʹʹ
算法
二݇
ͲͲ ൈ身高െ͹Ͳ ൈͲǤ͸݇
ͲͲ ൈ身高െ㜸Ͳ ൈͲǤ͹
算法
三݇
ͲͲ ൈ身高െ݇
ͷ㜸ൈͲǤͷ
൅ͷʹ݇
ͲͲ ൈ身高െ݇
͹Ͳ ൈͲǤ͸
൅͸ʹ
表（2）
实际体重
类
别
大于理想体重的݇
ʹͲ%
肥
胖
介于理想体重的݇݇
Ͳ%̱݇
ʹͲ%
过
重
介于理想体重的
ͻͲ%̱݇݇
Ͳ%
正
常
介于理想体重的
㜸Ͳ%̱ ͻͲ%
过
轻
小于理想体重的㜸Ͳ%
消
瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为݄
米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70 公斤，直接写出݄
的取值范围________．
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②小王的父亲身高1.75 米，体重为73 公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪
一种类别？
【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析
(2)①݄
൒݇
Ǥ㜸；②过重
【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握
表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为x 米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h 的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出
小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得．
【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x 米，
根据题意，得ʹʹݔʹ ൌ݇
ͲͲݔെ͹Ͳ ൈͲǤ͸，
整理，得݇݇
ݔʹ െ͵Ͳݔ൅ʹ݇
ൌͲ，
∵Δ ൌെ͵Ͳ ʹ െͶ ൈ݇݇
ൈʹ݇
ൌെʹͶ ൏Ͳ，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
（2）解：①由题意可知：ሺ݇ͲͲ݄െ㜸ͲሻൈͲǤ͹ ൒͹Ͳ，
解得݄
൒݇
Ǥ㜸，
故答案为：݄
൒݇
Ǥ㜸；
②小王父亲的理想体重݇
ͲͲ ൈ݇
Ǥ͹ͷ െ݇
͹Ͳ ൈͲǤ͸ ൅͸ʹ ൌͷ ൈͲǤ͸ ൅͸ʹ ൌ͸ͷ（公斤），
实际体重占比
͹͵
͸ͷ ൈ݇
ͲͲ% ൎ݇݇
ʹ%，
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
题型10 握手、循环赛问题
【例10】
2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中
心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他
所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（
）支
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是ݔ支，根据单循环赛制可得一共会举办݇ʹ ݔݔെ݇
场
比赛，据此建立方程，解方程即可．
【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是ݔ支，
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由题意得：݇ʹ ݔݔെ݇
ൌͷͷ，
解得ݔൌ݇݇
或ݔൌെ݇
Ͳ ൏Ͳ（不符合题意，舍去），
所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11 支．
【技巧归纳】
1.单循环（每两人/队只进行一次）：݊
ሺ݊െ݇ሻ
ʹ
（适用：握手、单循环赛、互赠照片等）
2.双循环（每两人/队进行两次）：n(n-1)
（适用：主客场赛、互发消息等）
3.n 为总人数/总队数
【变式10-1】
1．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运
动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场
比赛），共比赛28 场，则参加比赛的球队数量是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求
解，舍去不合题意的负根即可求出答案．
【详解】׶单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28 场，
设参加比赛的球队数量是݊
，列方程݊݊
െ݇
ʹ
ൌʹ㜸，
整理得݊
ʹ െ݊
െͷ͸ ൌͲ，
因式分解得݊
െ㜸݊
൅͹ ൌͲ，
解得݊݇
ൌ㜸，݊
ʹ ൌെ͹．
׶球队数量为正整数，
∴݊
ʹ ൌെ͹（舍去），
∴݊
ൌ㜸．
∴参加比赛的球队数量是8．
【变式10-2】
2．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B 两
个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A 组、B 组队伍数一
样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B 组比A 组队伍数多1 个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组
内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2 名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2
分，负一场得0 分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：
(1)已知该校八年级共有10 个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112 分．求本次比赛参赛队伍个
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数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分吗？若能，请求出此时参
赛的队伍数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)40
(2)本次比赛参赛队伍个数为16 队
(3)能，参赛的队伍数为19 队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分
【分析】（1）先求出A 组、B 组队伍数同为5 个班级，且每个小组内场次为
ͷൈͷെ݇
ʹ
ൌ݇
Ͳ 场，进而求出结
论；
（2）设A 组、B 组队伍数均为x 队，列方程求解即可；
（3）设A 组有y 队，则B 组有ݕ൅݇
队，列方程求解即可；
【详解】（1）解：∵该校八年级共有10 个班级参加比赛，
∴A 组、B 组队伍数一样多，同为5 个班级，
∴每个小组内场次为
ͷൈͷെ݇
ʹ
ൌ݇
Ͳ 场，
∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共݇
Ͳ ൈʹ ൈʹ ൌͶͲ 分；
（2）解：因为参赛队伍总数为偶数个，
所以A 组，B 组队伍数一样多．
所以设A 组、B 组队伍数均为x 队．则
ݔݔെ݇
ʹ
ൈʹ ൈʹ ൌ݇݇
ʹ，
解得ݔ݇ൌ㜸，ݔʹ ൌെ͹（不符合题意，舍去），
则㜸൅㜸ൌ݇
͸ 队，
答：本次比赛参赛队伍个数为16 队；
（3）解：能，理由如下：
因为参赛队伍总数为奇数，所以设A 组有y 队，则B 组有ݕ൅݇
队．
所以
ݕݕെ݇
ʹ
ൈʹ ൅
ݕ൅݇
ݕ
ʹ
ൈʹ ൌ݇
͸ʹ，
解得ݕ݇ൌͻ，ݕʹ ൌെͻ（不符合题意，舍去），
所以ݕ൅݇
ൌ݇
Ͳ，
则ͻ ൅݇
Ͳ ൌ݇
ͻ 队，
答：参赛的队伍数为19 队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分．
一、单选题
1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两
次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的ݔ倍，最终能量密度达到㜸ܽ，则可列方程为（
）
A．ܽ݇
൅ݔʹ ൌ㜸ܽ
B．ܽݔʹ ൌ㜸ܽ
C．ʹܽݔൌ㜸ܽ
D．ܽ൅ݔʹ ൌ㜸ܽ
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【答案】B
【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可．
【详解】解：∵原电极材料的能量密度为ܽ
，每次升级后的能量密度是升级前的ݔ倍，
∴第一次升级后的能量密度为ܽ
ݔ，
∴第二次升级后的能量密度为ܽ
ݔڄ ݔൌܽ
ݔʹ，
又∵最终能量密度达到㜸ܽ，
∴可列方程为ܽ
ݔʹ ൌ㜸ܽ．
2．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进入决赛阶段，共比赛72 场，
根据题意可列关于x 的方程为（
）
A．݇ʹ ݔݔെ݇
ൌ͹ʹ
B．ݔݔെ݇
ൌ͹ʹ
C．ݔݔ൅݇
ൌ͹ʹ
D．݇ʹ ݔݔ൅݇
ൌ͹ʹ
【答案】B
【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程．
【详解】解：∵共有ݔ支球队，每支球队需要和除自身外的ሺݔെ݇
ሻ支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数
∴总比赛场数为ݔሺݔെ݇
ሻ，已知总比赛场数为͹ʹ 场，
∴可列方程ݔݔെ݇
ൌ͹ʹ．
3．某商品原价为100 元，经过两次降价后售价为81 元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率
为（
）
A．ͻ%
B．݇Ͳ%
C．݇݇
%
D．݇ʹ%
【答案】B
【分析】设每次降价的百分率为ݔ，根据商品原价为100 元，经过两次降价后售价为81 元，列出方程，解
方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为ݔ，根据题意得：݇
ͲͲ݇
െݔʹ ൌ㜸݇，
解得：ݔ݇ൌͲǤ݇ൌ݇
Ͳ%，ݔʹ ൌ݇
Ǥͻ（舍去），
即每次降价的百分率为݇
Ͳ%．
4．某科技公司在2024 年投入研发资金为300 万元，2026 年投入研发资金363 万元，若这两年投入研发资
金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（
）
A．͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
B．͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
C．͵ͲͲ ൅͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
D．͵ͲͲ݇
൅ʹݔൌ͵͸͵
【答案】A
【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程
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【详解】解：∵设年平均增长率为ݔ，2024 年投入研发资金为͵ͲͲ 万元，
∴2025 年投入研发资金为͵ͲͲሺ݇൅ݔሻ万元，
∴2026 年投入研发资金为͵ͲͲሺ݇൅ݔሻሺ݇൅ݔሻൌ͵ͲͲ݇
൅ݔʹ万元，
又∵2026 年投入研发资金为͵͸͵ 万元，
∴列方程得͵ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ͵͸͵
5．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排9 天，每天安排4 场比赛，设比赛组织者应邀请ݔ个队参赛，则可列方程为（
）
A．ݔݔ൅݇
ൌ͵͸
B．ݔݔെ݇
ൌ͵͸
C．ݔݔ൅݇
ൌ݇
㜸
D．݇ʹ ݔݔെ݇
ൌ͵͸
【答案】D
【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程．
【详解】解：∵赛程计划安排9 天，每天安排4 场比赛，
∴总比赛场次为ͻ ൈͶ ൌ͵͸(场)，
设邀请ݔ个队参赛，每个队要与其余ሺݔെ݇
ሻ个队各赛1 场，
又∵每两个队之间只比赛1 场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为݇ʹ ݔሺݔെ݇
ሻ，
∴可列方程为݇ʹ ݔݔെ݇
ൌ͵͸．
6．已知某服装店将进价为120 元/件的新款时装以200 元/件出售时，每天能卖出20 件．经调研发现，每件
时装每降价1 元，每天可多卖出2 件．若每件时装降价x 元，每天将盈利1400 元，则可列方程（
）
A．ʹͲͲ െݔ
ʹͲ ൅ݔൌ݇
ͶͲͲ
B．ʹͲͲ െ݇
ʹͲ െݔ
ʹͲ ൅ʹݔൌ݇
ͶͲͲ
C．ʹͲͲ െݔ
ʹͲ ൅ʹݔൌ݇
ͶͲͲ
D．ʹͲͲ െ݇
ʹͲ െݔ
ʹͲ ൅ݔൌ݇
ͶͲͲ
【答案】B
【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程．
【详解】解：∵每件进价为120 元，原售价为200 元，每件降价ݔ元，
∴降价后每件的利润为ʹͲͲ െ݇
ʹͲ െݔ元，
∵原每天售出20 件，每降价1 元每天多售出2 件，降价ݔ元后每天多售出ʹݔ件，
∴降价后每天的销售量为ʹͲ ൅ʹݔ件，
∵每天总盈利为1400 元，
∴可列方程为ʹͲͲ െ݇
ʹͲ െݔ
ʹͲ ൅ʹݔൌ݇
ͶͲͲ．
7．小明把一张长㜸cm、宽͸cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长
方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为ʹͶcmʹ，设剪去的正方形边长为ݔcm，那么x
满足的方程是（
）
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A．Ͷ㜸െ͵ݔʹ ൌʹͶ
B．ሺ㜸െݔሻሺ͸ െݔሻൌʹͶ
C．Ͷ㜸െʹሺ㜸ݔ൅͸ݔሻൌʹͶ
D．ሺ㜸െʹݔሻሺ͸ െʹݔሻൌʹͶ
【答案】D
【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x 的正方形，所
以底面长为ሺ㜸െʹݔሻcm．
确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为͸cm，上下各剪去一个边长为x 的正方形，所以底面宽
为ሺ͸ െʹݔሻcm．
利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为ʹͶcm;，所以可列关于x 的方程．
【详解】设剪去的正方形边长为ݔcm，由题意，得㜸െʹݔ
͸ െʹݔൌʹͶ．
8．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10 米的防腐木
围栏围出一块面积为21 平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为ݔ米，下列
方程符合题意的是（
）
A．ݔ݇
Ͳ െݔൌʹ݇
B．ݔ݇
Ͳ ൅ݔൌʹ݇
C．ʹݔ݇
Ͳ െݔൌʹ݇
D．ݔ݇
Ͳ െ
ʹݔൌʹ݇
【答案】A
【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形
的一边长为ݔ米，根据围栏总长为10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可．
【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为10 米，
∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽），
设矩形的一边长为ݔ米，则另一边长为ሺ݇Ͳ െݔሻ米，
∵矩形区域的面积为21 平方米，
∴根据矩形面积公式可得方程：ݔሺ݇Ͳ െݔሻൌʹ݇
．
9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔
不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864 平方步，宽比长小12 步，问：
这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x 步，则下列所列方程中，正确的是（
）
A．ݔʹ െ݇
ʹݔെ㜸͸Ͷ ൌͲ
B．ݔʹ െ݇
ʹݔ൅㜸͸Ͷ ൌͲ
C．ݔʹ ൅݇
ʹݔെ㜸͸Ͷ ൌͲ
D．ݔʹ ൅݇
ʹݔ൅㜸͸Ͷ ൌͲ
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【答案】A
【分析】结合长宽的数量关系列方程，整理后对比选项即可得到正确结果．
【详解】解：∵设长为ݔ步，宽比长小݇
ʹ 步，
∴宽为ݔെ݇
ʹ 步，
∵长方形面积等于长乘宽，这块田地面积为㜸͸Ͷ 平方步，
∴列方程得ݔݔെ݇
ʹ ൌ㜸͸Ͷ，
整理得ݔʹ െ݇
ʹݔെ㜸͸Ͷ ൌͲ．
10．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干
分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可
以列方程为（
）
A．݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
B．݇൅ݔ൅ݔʹ ൌʹ݇
C．݇൅ݔ൅݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
D．݇൅݇
൅ݔ൅݇
൅ݔʹ ൌʹ݇
【答案】B
【分析】设主干长出ݔ支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21 列方程即可．
【详解】解：∵主干只有1 根，设主干长出ݔ支支干，
∴支干的总数量为ݔ，
∵每根支干又分出ݔ支小分支，
∴小分支的总数量为ݔ൉ݔൌݔʹ，
∵主干、支干和小分支总数是21，
∴可列方程为݇
൅ݔ൅ݔʹ ൌʹ݇．
11．如图，在宽为ʹͲm，长为͵ʹm 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，
要使草坪的面积为ͷͶͲmʹ．设道路的宽为ݔm，则下列方程正确的是（
）
A．ʹͲ ͵ʹ െݔൌͷͶͲ
B．͵ʹ െݔ
ʹͲ െݔൌͷͶͲ
C．͵ʹ ʹͲ െݔൌͷͶͲ
D．͵ʹ െʹݔ
ʹͲ െʹݔൌͷͶͲ
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为͵ʹ െݔm，宽为ʹͲ െݔm，据此列出方程
即可．
【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为͵ʹ െݔm，宽为ʹͲ െݔm，
则可列方程为͵ʹ െݔ
ʹͲ െݔൌͷͶͲ．
12．把一张矩形纸片按照如图ᬅ所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图ᬆ或
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ᬇ所示的正方形．若矩形纸片的长为݉
，宽为݊
，四边形ܧ边ܩܪ的面积等于四边形ܣܤ㿰ܦ面积的ʹ 倍，则݉݊
ൌ
（
）
A．
ʹ൅͵
ʹ
B．݇
൅͵
ʹ
C．
ʹെ͵
ʹ
D．݇
െ͵
ʹ
【答案】A
【分析】首先表示出四边形ܧ边ܩܪ的面积和四边形ܣܤ㿰ܦ面积，然后根据四边形ܧ边ܩܪ的面积等于四边形
ܣܤ㿰ܦ面积的ʹ 倍列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形ܧ边ܩܪ的面积ൌ݉
ʹ ൅݊
ʹ
ʹ
ൌ݉
ʹ ൅݊
ʹ
Ͷ ，
四边形ܣܤ㿰ܦ面积ൌ݉
െ݊ʹ
ʹ
ൌ݉
ʹ െ݉݊
൅݊
ʹ
Ͷ ，
׶四边形ܧ边ܩܪ的面积等于四边形ܣܤ㿰ܦ面积的ʹ 倍，
∴݉
ʹ ൅݊
ʹ
Ͷ ൌʹ݉
ʹ െ݉݊
൅݊
ʹ
Ͷ ，
整理得Ͷ݉
ʹ െ㜸݉݊
൅݊
ʹ ൌͲ
∴Ͷ݉݊
ʹ
െ㜸ڄ݉݊
൅݇
ൌͲ
设݉݊
ൌݐ，
∴Ͷݐʹ െ㜸ݐ൅݇
ൌͲ，
解得ݐൌ
ʹ൅͵
ʹ 或ݐൌ
ʹെ͵
ʹ （舍去），
∴݉݊
ൌ
ʹ൅͵
ʹ ．
13．如图，在平行四边形ܣܤ㿰ܦ中，סܤൌ͸Ͳι，ܣܤൌ͸cm，ܤ㿰ൌ݇
ʹcm．点P 从点A 出发，以݇
cm/s 的
速度沿ܣ՜ ܦ运动，同时点Q 从点C 出发，以͵cm/s 的速度沿㿰՜ ܤ运动．设点P 的运动时间为t，在此
运动过程中，当ܲܳ
ൌ㿰ܦ时，t 的值为（
）
A．1.5
B．3
C．1.5 或3
D．3 或4
【答案】C
【分析】由题意易得ܣܲ
ൌݐcmǡ㿰ܳ
ൌ͵ݐcm，㿰ܦൌܣܤൌ͸cm，ܣܦൌܤ㿰ൌ݇
ʹcm，ܣܦצ ܤ㿰，则有ܲ
ܦൌܣܦെ
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ܣܲ
ൌ݇
ʹ െݐcm，ܤܳ
ൌܤ㿰െ㿰ܳ
ൌ݇
ʹ െ͵ݐcm，由题意可分当ܲ
ܦൌ㿰ܳ
时，当ܲ
ܦ്
㿰ܳ
时，且满足ܲܳ
ൌ
㿰ܦൌ͸cm，然后分类画出图形进行求解即可．
【详解】解：由题意得：ܣܲ
ൌݐcmǡ㿰ܳ
ൌ͵ݐcm，
∵四边形ܣܤ㿰ܦ是平行四边形，ܣܤൌ͸cm，ܤ㿰ൌ݇
ʹcm，
∴㿰ܦൌܣܤൌ͸cm，ܣܦൌܤ㿰ൌ݇
ʹcm，ܣܦצ ܤ㿰，
∴ܲܦൌܣܦെܣܲ
ൌ݇
ʹ െݐcm，ܤܳ
ൌܤ㿰െ㿰ܳ
ൌ݇
ʹ െ͵ݐcm，
由题意可分：
当ܲ
ܦൌ㿰ܳ
时，且ܲ
ܦצ 㿰ܳ，
∴四边形㿰ܦܲܳ
是平行四边形，
∴ܲܳ
ൌ㿰ܦ，
此时݇
ʹ െݐൌ͵ݐ，解得：ݐൌ͵；
当ܲ
ܦ്
㿰ܳ
时，且满足ܲܳ
ൌ㿰ܦൌ͸cm，分别过点A、P 作ܣܧ٣ ܤ㿰ǡܲ边٣ ܣ㿰，
∴四边形ܣܧ边ܲ
是矩形，
∴ܣܧൌܲ
边ǡܣܲ
ൌܧ边ൌݐcm，
∵סܤൌ͸Ͳι，
∴סܤܣܧൌ͵Ͳι，
∴ܤܧൌ݇ʹ ܣܤൌ͵cmǡܣܧൌ
ܣܤʹ െܤܧʹ ൌ͵ ͵cm ൌܲ
边，
∴ܳ边ൌܤܳ
െܤܧെܧ边ൌͻ െͶݐcm，
∴在Rt ᇞܲ
边ܳ
中，由勾股定理可得ͻ െͶݐʹ ൅͵ ͵
ʹ ൌ͸ʹ，
解得：ݐ݇ൌ݇
Ǥͷǡݐʹ ൌ͵（不符合题意，舍去），
综上所述：t 的值为1.5 或3．
二、填空题
1．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段ܣܤ，腹部看作线段ܤ㿰，且满足
ܤ㿰
ܣܤൌ
ܣ㿰
ܤ㿰．若蜻蜓的全身长ܣܤ为㜸cm，
则蜻蜓的腹部长ܤ㿰为________cm．（结果保留根号）
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【答案】Ͷ ͷ െͶ
【分析】设ܤ㿰的长为ݔcm，根据线段的和差关系表示出ܣ㿰的长，再根据已知比例式列出关于ݔ的一元二
次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答．
【详解】设ܤ㿰ൌݔcm，
׶ ܣܤൌ㜸cm，点㿰在线段ܣܤ上，
∴ܣ㿰ൌܣܤെܤ㿰ൌሺ㜸െݔሻcm，
∵
ܤ㿰
ܣܤൌ
ܣ㿰
ܤ㿰．
∴ܤ㿰ൈܤ㿰ൌܣ㿰ൈܣܤ，
∴ݔʹ ൌ㜸㜸െݔ，
整理得ݔʹ ൅㜸ݔെ͸Ͷ ൌͲ，
∴Δ ൌ㜸ʹ െͶ ൈ݇
ൈሺെ͸Ͷሻൌ͵ʹͲ，
∴ݔൌ
െ㜸േ͵ʹͲ
ʹ
ൌ
െ㜸േ㜸ͷ
ʹ
ൌെͶ േͶ ͷ，
∴ݔ݇ൌെͶ ൅Ͷ ͷǡݔʹ ൌെͶ െͶ ͷ ൏Ͳ（舍去），
∴ܤ㿰的长为Ͷ ͷ െͶ cm．
2．如图，在矩形ܣܤ㿰ܦ中，ܣܤൌ㜸，ܤ㿰ൌ͸，点E 是BC 边上的点，㿰ܧൌʹ，点P 是ܣܤ边上的动点，若
ᇞܲ
ܦܧ是等腰三角形时，则ܣܲ
ൌ________．
【答案】Ͷ ʹ或݇݇Ͷ 或㜸െʹ݇
͵．
【分析】设ܣܲ
ൌݔ，则ܲ
ܤൌܣܤെܲ
ܣൌ㜸െݔ，根据勾股定理结合矩形的性质用ݔ表示出ܲ
ܦ、ܲܧ的长，
根据ᇞܲ
ܦܧ是等腰三角形时，分腰长的不同情况列方程求解即可.
【详解】解：设ܣܲ
ൌݔ，则ܲ
ܤൌܣܤെܲ
ܣൌ㜸െݔ，
∵在矩形ܣܤ㿰ܦ中，
∴ܣܤൌ㿰ܦൌ㜸，ܣܦൌܤ㿰ൌ͸，
סܣൌסܤൌס㿰ൌͻͲι，
又∵㿰ܧൌʹ，
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∴ܤܧൌ͸ െʹ ൌͶ，
∴ܦܧʹ ൌ㿰ܦʹ ൅㿰ܧʹ ൌ㜸ʹ ൅ʹʹ ൌ͸㜸，ܲ
ܦʹ ൌܣܦʹ ൅ܣܲ
ʹ ൌ͵͸ ൅ݔʹ，ܲ
ܧʹ ൌܲ
ܤʹ ൅ܤܧʹ ൌሺ㜸െݔሻʹ ൅Ͷʹ ൌ㜸Ͳ െ݇
͸ݔ൅ݔʹ，
若ᇞܲ
ܦܧ是等腰三角形，
①当ܲ
ܦൌܦܧ时，͵͸ ൅ݔʹ ൌ͸㜸，解得：ݔൌͶ ʹ（负值已经舍去），
②当ܲ
ܦൌܲ
ܧ时，͵͸ ൅ݔʹ ൌ㜸Ͳ െ݇
͸ݔ൅ݔʹ，解得：ݔൌ݇݇Ͷ ，
③当ܦܧൌܲ
ܧ时，͸㜸ൌ㜸Ͳ െ݇
͸ݔ൅ݔʹ，解得：ݔ݇ൌ㜸െʹ݇
͵，ݔʹ ൌ㜸൅ʹ݇
͵（不合题意舍去）
综上所述：ܣܲ
ൌͶ ʹ或݇݇Ͷ 或㜸െʹ݇
͵．
3．2025 年某公司一月份的销售额是100 万元，要使三月份的销售额达到144 万元，平均每月销售额增长的
百分率为_________．
【答案】ʹͲ%
【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到
结果．
【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为ݔ，
根据题意得：݇ͲͲ݇
൅ݔʹ ൌ݇
ͶͶ，
解得：ݔ݇ൌͲǤʹ ൌʹͲ%，ݔʹ ൌെʹǤʹ，
因为增长率不能为负数，所以舍去ݔʹ ൌെʹǤʹ，
即平均每月销售额增长的百分率为ʹͲ%．
4．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5 元．当售价为15 元/杯时，平均每天能售出300 杯．市场调
查发现，售价每降价1 元，平均每天就能多售出50 杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售
利润仍保持在3000 元，则每杯奶茶应降价____________元．
【答案】Ͷ
【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润ൌ每杯利润ൈ
销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可.
【详解】解：设每杯奶茶应降价ݔ元，
由题意得：ሺ݇ͷ െݔെͷሻሺ͵ͲͲ ൅ͷͲݔሻൌ͵ͲͲͲ，
解得ݔ݇ൌͲ，ݔʹ ൌͶ；
∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高，
∴舍去ݔൌͲ，取ݔൌͶ，
答：每杯奶茶应降价Ͷ 元.
5．一件原价为100 元的衣服经过两次降价后的价格为81 元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为
______．
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【答案】݇ͲͲሺ݇െݔሻʹ ൌ㜸݇
【详解】解：设每次降价的百分率都是ݔ，由题意可列方程为݇
ͲͲሺ݇െݔሻʹ ൌ㜸݇．
6．一个矩形内放入两个边长分别为͵cm 和Ͷcm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为㜸cmʹ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆
盖的部分的面积为݇݇
cmʹ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为________．
【答案】͹cmʹ
【分析】设矩形的长为ݔcm，宽为ݕcm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，
即可得出关于ݔ、ݕ的方程组，利用ᬆെᬅൊ͵ 可得出ݔൌݕ൅݇
③，将③代入②中可得出关于ݕ的一元
二次方程，解之取其正值，即可得到ݕ值，进而得出ݔ的值，再利用矩形面积公式得出图3 摆放位置时未
覆盖的面积即可得出答案．
【详解】解:设矩形的长为ݔcm，宽为ݕcm，
由题意可得：
ݔݕൌ݇
͸ ൅͵ ݔെͶ ൅㜸ᬅ
ݔݕൌ݇
͸ ൅͵ ݕെͶ ൅݇݇
ᬆ
ሺᬆെᬅሻൊ͵ 得：ݔൌݕ൅݇
③，
将③代入②，得：ݕݕ൅݇
ൌ݇
͸ ൅͵ ݕെͶ ൅݇݇
，
整理，得ݕʹ െʹݕെ݇
ͷ ൌͲ，
解得：ݕ݇ൌͷ，ݕʹ ൌെ͵（舍去），
所以ݔൌ͸，
所以按图3 放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：ሺݔെͶሻሺݕെ͵ሻ൅ሺݔെ͵ሻሺݕെ
Ͷሻൌʹ ൈʹ ൅͵ ൈ݇
ൌ͹．
7．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为݇
͸m，סܣൌ͵Ͳι，则中柱ܤ㿰（㿰为底边ܣܦ的中点）
的长为______m．
【答案】
㜸͵
͵ /
㜸
͵
͵
【分析】由等腰三角形的性质求得ܣ㿰的长，由含30 度的直角三角形的性质得到ܣܤൌʹܤ㿰，再根据勾股定
理列式计算即可求解．
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【详解】解：由题意得ܣܤൌܤܦ，ܣܦ٣ ܤ㿰，
∴ܣ㿰ൌ㿰ܦൌ݇ʹ ܣܦൌ㜸m，
׶ סܣൌ͵Ͳι，
∴ܣܤൌʹܤ㿰，
׶ ܣܤʹ ൌܣ㿰ʹ ൅ܤ㿰ʹ，即ʹܤ㿰ʹ ൌ㜸ʹ ൅ܤ㿰ʹ
解得ܤ㿰ൌ
㜸͵
͵ m．
8．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这种
手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若该网
店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
【答案】8
【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润
乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．
【详解】解：设每个手办的单价提高ݔ元，则定价为ሺ͹ ൅ݔሻ元/个，单个手办的利润为ሺ͹ ൅ݔെͷሻൌሺʹ ൅ݔሻ
元，每天的销售量为ሺ݇͸Ͳ െʹͲݔሻ个，
根据题意，可得：ሺʹ ൅ݔሻሺ݇͸Ͳ െʹͲݔሻൌͶʹͲ，
整理得：ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ ൌͲ，
因式分解得：ሺݔെ݇
ሻሺݔെͷሻൌͲ，
解得：ݔ݇ൌ݇
，ݔʹ ൌͷ，
当ݔൌ݇
时，定价为͹ ൅݇
ൌ㜸元/个，
当ݔൌͷ 时，定价为͹ ൅ͷ ൌ݇
ʹ 元/个，
因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价㜸元/个．
9．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共
进行了݇
͵ʹ 场比赛，参加比赛的足球队有_____支．
【答案】݇ʹ
【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，
求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键．
【详解】解：设参加比赛的足球队有ݔ支.
根据题意得：ݔሺݔെ݇
ሻൌ݇
͵ʹ，
整理得：ݔʹ െݔെ݇
͵ʹ ൌͲ，
因式分解得：ሺݔെ݇
ʹሻሺݔ൅݇݇
ሻൌͲ，
解得：ݔ݇ൌ݇
ʹ，ݔʹ ൌെ݇݇
（不符合实际意义，舍去），
∴参加比赛的足球队有݇
ʹ 支．
10．如图，在Rt ᇞܣ香ܤ中，סܣ香ܤൌͻͲι，香ܣൌ͸Ͳcm，香ܤൌ㜸Ͳcm，香㿰٣ ܣܤ，垂足为㿰．甲虫由点ܣ以
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͵cm/s 的速度沿ܣܤ向点ܤ爬行，同时乙虫由点㿰以ʹcm/s 的速度沿㿰香向点香爬行，当乙虫到达目的地
点香时，甲乙两虫停止爬行．
（1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形是等腰三角形．
（2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形的面积等于݇
Ͳͷcmʹ．
【答案】
͹Ǥʹ
5 或7 或6+ ͹݇
【分析】
（1）设运动x 秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得ܣܲ
ൌ͵ݔcm，㿰ܳ
ൌʹݔcm，
根据题意，分Ͳ ൑ݔ൑݇
ʹ 和݇
ʹ൏ݔ൑ʹͶ 时，两种情况求解即可．
（2）利用分类思想，解方程计算即可．
【详解】（1）解：∵סܣ香ܤൌͻͲι，香ܣൌ͸Ͳcm，香ܤൌ㜸Ͳcm，香㿰٣ ܣܤ，
∴ܣܤൌ
香ܣʹ ൅香ܤʹ ൌ݇
ͲͲ cm ，
∵香㿰٣ ܣܤ，
∴ܵᇞܣ香ܤൌ݇ʹ ܣܤڄ 香㿰ൌ݇ʹ 香ܣڄ 香ܤ，
∴香㿰ൌ
香ܣڄ香ܤ
ܣܤ
ൌͶ㜸cm ，
∴ܣ㿰ൌ
ܣ香ʹ െ香㿰ʹ ൌ͵͸ cm ，
∴ܤ㿰ൌܣܤെܣ㿰ൌ݇
ͲͲ െ͵͸ ൌ͸Ͷ cm ．
设运动x 秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，
根据题意，得ܣܲ
ൌ͵ݔcm，㿰ܳ
ൌʹݔcm，
当Ͳ ൑ݔ൑
͵͸
͵ 即Ͳ ൑ݔ൑݇
ʹ 时，点P 在线段ܣ㿰上，连接ܲܳ
，
此时㿰ܲ
ൌܣ㿰െܣܲ
ൌ͵͸ െ͵ݔcm ，
∵甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形是等腰三角形，
∴㿰ܲ
ൌ㿰ܳ，
∴͵͸ െ͵ݔൌʹݔ，
解得ݔൌ͹Ǥʹ；
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当݇
ʹ൏ݔ൑
Ͷ㜸
ʹ 即݇
ʹ൏ݔ൑ʹͶ 时，此时点P 在线段ܤ㿰上，
∴㿰ܲ
ൌܣܲ
െܣ㿰ൌ͵ݔെ͵͸ cm ，
∵甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形是等腰三角形，
∴㿰ܲ
ൌ㿰ܳ，
∴͵ݔെ͵͸ ൌʹݔ，
解得ݔൌ͵͸；不满足范围݇
ʹ൏ݔ൑݇
ͲͲ
͵ ，舍去，
综上所述，在͹Ǥʹ 秒时，甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形是等腰三角形．
（2）设运动x 秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得ܣܲ
ൌ͵ݔcm，㿰ܳ
ൌʹݔcm，
当点P 在ܣ㿰上时，此时㿰ܲ
ൌܣ㿰െܣܲ
ൌ͵͸ െ͵ݔcm ，
根据题意，得݇ʹ 㿰ܲ
ڄ 㿰ܳ
ൌ݇
Ͳͷ，
即ݔ͵͸ െ͵ݔൌ݇Ͳͷ ，
解得ݔ݇ൌͷ，ݔʹ ൌ͹；
当点P 在ܤ㿰上时，此时㿰ܲ
ൌܣܲ
െܣ㿰ൌ͵ݔെ͵͸ cm ，
根据题意，得݇ʹ 㿰ܲ
ڄ 㿰ܳ
ൌ݇
Ͳͷ，
即ݔ͵ݔെ͵͸ ൌ݇Ͳͷ ，
整理，得ݔʹ െ݇
ʹݔെ͵ͷ ൌͲ，
解得ݔൌ݇
ʹേ݇
ʹʹെͶൈ݇ൈെ͵ͷ
ʹ
ൌ݇
ʹേʹ ͹݇
ʹ
，
故ݔ݇ൌ͸ ൅
͹݇，ݔʹ ൌ͸ െ
͹݇（时间不能为负，舍去）；
此时ݔൌ͸ ൅
͹݇，
综上所述，在5 秒或7 秒或͸ ൅
͹݇
秒时，甲、乙两虫所在位置与点㿰组成的三角形的面积等于݇
Ͳͷcmʹ．
11．如图，将边长为12 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ᇞܣܤ㿰沿着AD 方向平移，得到ᇞܣ̵ ܤ̵ 㿰̵ ，
当两个三角形重叠部分的图形面积为36 时，它移动的距离ܣܣ̵ 等于_________．
【答案】6
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【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设ܣܣ̵ ൌݔ，根据题意阴影部分的面积为ݔ݇
ʹ െݔൌ͵͸，
解方程即可求解．
【详解】解：设ܣܣ̵ ൌݔ，ܣ㿰与ܣ̵ ܤ̵ 相交于点ܩ，
∵ᇞܣ㿰ܦ是正方形ܣܤ㿰ܦ剪开得到的，
∴ᇞܣ㿰ܦ是等腰直角三角形，
∴סܣൌͶͷι，
∴ᇞܣܣ̵ܩ是等腰直角三角形，
∴ܣ̵ ܩൌܣܣ̵ ൌݔ，
ܣ̵ ܦൌܣܦെܣܣ̵ ൌ݇
ʹ െݔ，
∵两个三角形重叠部分的面积为͵͸，
∴ݔ݇
ʹ െݔൌ͵͸，
解得ݔ݇ൌݔʹ ൌ͸，
即移动的距离ܣܣ̵ 为͸．
12．容器内盛满60 升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14 升的溶液，再用水加满．这
时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升．
【答案】10
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．
设第一次倒出酒精x 升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30 升，建立一元二次方程求解．
【详解】解：设第一次倒出了酒精x 升，则第二次倒出溶液ݔ൅݇
Ͷ 升，根据题意得，
第一次倒出后，剩余纯酒精͸Ͳ െݔ升，用水加满后浓度为
͸Ͳെݔ
͸Ͳ ；
第二次倒出的纯酒精为
͸Ͳെݔ
͸Ͳ ൈݔ൅݇
Ͷ 升，
倒出第二次后剩余纯酒精量为͸Ͳ െݔെ
͸Ͳെݔ
͸Ͳ ൈݔ൅݇
Ͷ ൌ͵Ͳ．
整理得ݔʹ െ݇
Ͳ͸ݔ൅ͻ͸Ͳ ൌͲ，
解得ݔ݇ൌͻ͸ǡݔʹ ൌ݇
Ͳ，
∵ͻ͸ 㘠͸Ͳ，
∴ݔ݇ൌͻ͸，不符合题意，舍去，
故答案为：10．
三、解答题
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1．红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3 元/kg，当购买红薯的质量超过ʹͷͲkg 时，每多购买
ʹͷkg，红薯的单价降低0.2 元/kg，但要求红薯的单价不低于2 元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了
͵ͲͲkg，且支付农户的费用为770 元，求该零售商购买红薯的质量．
【答案】该零售商购买红薯的质量为͵ͷͲkg
【分析】设该零售商购买红薯的质量为ʹͷͲ ൅ݕkg，根据题意建立一元二次方程求解即可．
【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为ʹͷͲ ൅ݕkg．
根据题意，得ʹͷͲ ൅ݕ
͵ െ
ݕ
ʹͷ ൈͲǤʹ ൌ͹͹Ͳ．
解得ݕ݇ൌʹͷǡݕʹ ൌ݇
ͲͲ．
当ݕൌʹͷ 时，ʹͷͲ ൅ݕൌʹ͹ͷ ൏͵ͲͲ，舍去．
当ݕൌ݇
ͲͲ 时，ʹͷͲ ൅ݕൌ͵ͷͲ 㘠͵ͲͲ，且͵ െ
ݕ
ʹͷ ൈͲǤʹ ൌʹǤʹ 㘠ʹ．
答：该零售商购买红薯的质量为͵ͷͲkg．
2．阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰
品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件݇
ʹ̱ ʹͲ 元（含݇
ʹ 元，ʹͲ 元）
的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量ݕ（件）关于销售单价ݔ（元）满足一次函数关系：
ݕൌെ݇
ͲͲݔ൅ʹͶͲͲ，当售价为݇
͵ 元时，线下月利润为͵͵ͲͲ 元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上
月销量为ͷͲͲ 件，线上每件饰品商家需多付ʹ 元快递费．
(1)求出每件饰品的成本；
(2)三月份线上、线下的月利润共可达到͸ͲͲͲ 元，求三月份每件饰品的售价．
【答案】(1)每件产品的成本为݇
Ͳ 元
(2)三月份每件饰品的售价为݇
ͷ 元
【分析】（1）首先求出当售价为݇
͵ 元时，线下月销量为݇݇
ͲͲ 件，设每件产品的成本为݉
元，根据线下
月利润为͵͵ͲͲ 元，列方程求解即可；
（2）设三月份每件产品的售价为ݔ元，用含ݔ的代数式表示出三月份的线上利润和线下利润，根据三月份
的总利润为͸ͲͲͲ 元，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当售价为݇
͵ 元时，线下月销量ݕൌെ݇
ͲͲ ൈ݇
͵ ൅ʹͶͲͲ ൌ݇݇
ͲͲ（件），
设每件产品的成本为݉
元，
则݇
͵ െ݉
ൈ݇݇
ͲͲ ൌ͵͵ͲͲ，
解得：݉
ൌ݇
Ͳ，
答：每件产品的成本为݇
Ͳ 元；
（2）解：设三月份每件产品的售价为ݔ元，
则线下月销量为：ݕൌെ݇
ͲͲݔ൅ʹͶͲͲ（件），
则线下月利润为：ݔെ݇
Ͳ
െ݇
ͲͲݔ൅ʹͶͲͲ ൌെ݇
ͲͲݔʹ ൅͵ͶͲͲݔെʹͶͲͲͲ（元），
线上月利润为ݔെ݇
Ͳ െʹ ൈͷͲͲ ൌͷͲͲݔെ͸ͲͲͲ（元），
可得：െ݇
ͲͲݔʹ ൅͵ͶͲͲݔെʹͶͲͲͲ ൅ͷͲͲݔെ͸ͲͲͲ ൌ͸ͲͲͲ，
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解得：ݔൌ݇
ͷ 或ݔൌʹͶ，
׶݇
ʹ ൑ݔ൑ʹͲ，
∴ݔൌʹͶ（舍去），
答：三月份每件饰品的售价为݇
ͷ 元．
3．列方程（组）解应用题
端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒
进价ͷͲ 元，售价͸ͷ 元，每天可售出͵ͲͲ 盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒
售价每降价݇
元，每天销量将增加݇
Ͳ 盒，若要实现每天销售利润͵ͷͲͲ 元，则每盒应降价多少元销售？
【答案】每盒应降价ͷ 元销售
【分析】设每盒降价ݔ元，则每盒利润为ሺ݇ͷ െݔሻ元，每天销量为ሺ͵ͲͲ ൅݇
Ͳݔሻ盒．根据“每天销售利润=单
盒利润ൈ日销量”列方程求解，注意检验解的合理性．
【详解】解：设每盒降价ݔ元，则每盒售价为ሺ͸ͷ െݔሻ元，每盒利润为ሺ͸ͷ െݔሻെͷͲ ൌሺ݇ͷ െݔሻ元，每天销
量为ሺ͵ͲͲ ൅݇
Ͳݔሻ盒，
由题意得：ሺ݇ͷ െݔሻሺ͵ͲͲ ൅݇
Ͳݔሻൌ͵ͷͲͲ，
解得：ݔ݇ൌͷ，ݔʹ ൌെʹͲ，
׶ ݔ为降价金额，ݔ൒Ͳ，
∴ݔʹ ൌെʹͲ 不合题意，舍去，
∴ݔൌͷ，
答：每盒应降价ͷ 元销售．
4．王大爷想以墙为一边，另三边用长为͵͵m 的竹篱笆围成一个面积为݇
͵Ͳmʹ的长方形花坛，已知墙长为݇
ͷm，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？
【答案】长为݇
͵m，宽为݇
Ͳm
【分析】设在长方形花坛中，平行于墙的边长为ݔm，则垂直于墙的边长为
͵͵െݔ
ʹ
m，根据长方形的面积公式
建立方程，解方程可得ݔ的值，再结合Ͳ ൏ݔ൑݇
ͷ 解答即可．
【详解】解：设在长方形花坛中，平行于墙的边长为ݔm，则垂直于墙的边长为
͵͵െݔ
ʹ
m，
由题意得：
͵͵െݔ
ʹ
ڄ ݔൌ݇
͵Ͳ，
解得ݔൌ݇
͵ 或ݔൌʹͲ 㘠݇
ͷ（不符合题意，舍去），
则
͵͵െݔ
ʹ
ൌ
͵͵െ݇͵
ʹ
ൌ݇
Ͳ ൏݇
͵，
答：花坛的长为݇
͵m，宽为݇
Ͳm 时，才能使竹篱笆正好合适．
5．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，
B 两种冰箱贴，已知每个A 款冰箱贴的售价是每个B 款冰箱贴售价的
͸
ͷ倍，顾客用150 元购买A 款冰箱贴的
数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个．
(1)求每个B 款冰箱贴的售价为多少元？
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(2)经过统计，该超市每月卖出A 款冰箱贴100 个，每个A 款冰箱贴的利润为16 元．为了尽快减少库存，
该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A 款冰箱贴的售价每降低2 元，则平均每月可以多售出
20 个，如果该超市想要每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元，每个A 款冰箱贴应降价多少元？
【答案】(1)每个B 款冰箱贴的售价为25 元
(2)每个A 款冰箱贴应降价10 元
【分析】（1）设每个B 款冰箱贴的售价为x 元，则每个A 款冰箱贴的售价为
͸
ͷ ݔ元，根据“用150 元购买A
款冰箱贴的数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个”列分式方程求解；
（2）设每个A 款冰箱贴应降价y 元，根据“每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元”列出一元二次方程求
解．
【详解】（1）解：设每个B 款冰箱贴的售价为x 元，则每个A 款冰箱贴的售价为
͸
ͷ ݔ元，
根据题意得݇
ͷͲ
ݔെ݇
ͷͲ
͸
ͷݔൌ݇
，
解得ݔൌʹͷ，
经检验，ݔൌʹͷ 是原方程的解，且符合题意，
∴每个B 款冰箱贴的售价为25 元；
（2）解：设每个A 款冰箱贴应降价y 元，
根据题意得݇
͸ െݕ݇
ͲͲ ൅
ݕ
ʹ ൈʹͲ ൌ݇
ʹͲͲ，
整理得ݕʹ െ͸ݕെͶͲ ൌͲ，
解得ݕ݇ൌ݇
Ͳ，ݕʹ ൌെͶ（舍去），
∴每个A 款冰箱贴应降价10 元．
6．【动手实践】如图1，小明将一张长为݇
ʹcm，宽为͸cm 的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将
4 块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）．
【观察发现】
(1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）．
【探索应用】
(2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为ʹ͹cmʹ，求此时ܦܪ的长．
【答案】(1)乙
(2)݇Ǥͷ
【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4 块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连
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成一条直线，据此判断即可；
（2）先根据新图形的面积列出方程，求出ݔ的值，再利用新图形是一个中心对称图形进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4 块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不
会连成一条直线，
因此，拼成的新图形是乙；
（2）解：根据题意得：͸ െݔ݇
ʹ െݔൌʹ͹，
解得：ݔ݇ൌ͵，ݔʹ ൌ݇
ͷ（舍去），
由于新图形是一个中心对称图形，
7．某旅游景区2025 年第一季度游客人数达100 万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降݇
Ͳ%，随
着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6 万人次．
(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；
(2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数．
【答案】(1)20%
(2)Ͷʹ͹Ǥ͸ 万人次
【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可；
（2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可．
【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x．
由题意得，݇ͲͲ݇
െ݇
Ͳ%݇
൅ݔʹ ൌ݇
ʹͻǤ͸，
解得ݔ݇ൌͲǤʹ ൌʹͲ%，ݔʹ ൌെʹǤʹ（不合题意，舍去），
答：第三、四季度游客人数的平均增长率为ʹͲ%；
（2）解：∵第一季度游客人数为100 万人次，
∴第二季度游客人数为݇
ͲͲ݇
െ݇
Ͳ% ൌͻͲ（万人次），
第三季度游客人数为ͻͲ݇
൅ʹͲ% ൌ݇
Ͳ㜸（万人次）．
∵第四季度游客人数为129.6 万人次，
∴该旅游景区一年接待游客的总人数为݇
ͲͲ ൅ͻͲ ൅݇
Ͳ㜸൅݇
ʹͻǤ͸ ൌͶʹ͹Ǥ͸（万人次）．
8．某商场销售一批服装，已知进价为150 元/件，若以162 元/件销售时，平均每天可销售100 件．为了减
少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1 元，每天可多售出20 件．
(1)若以158 元/件销售，平均每天可销售多少件？
(2)如果每天盈利1400 元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？
(3)如果每天想盈利2000 元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由．
【答案】(1)平均每天可销售180 件
(2)单价应降低5 元
(3)不能做到，理由如下：
由（2）可得：݇
͸ʹ െݔെ݇
ͷͲ݇
ͲͲ ൅ʹͲݔൌʹͲͲͲ，
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整理得：ݔʹ െ͹ݔ൅ͶͲ ൌͲ，
∴Δ ൌͶͻ െͶ ൈ݇
ൈͶͲ ൌെ݇݇݇
൏Ͳ，
∴方程无解，
即不能每天盈利2000 元
【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解；
（2）设单价应降低ݔ元，由题意得݇
͸ʹ െݔെ݇
ͷͲ݇
ͲͲ ൅ʹͲݔൌ݇
ͶͲͲ，然后进行求解即可；
（3）由（2）可得：݇
͸ʹ െݔെ݇
ͷͲ݇
ͲͲ ൅ʹͲݔൌʹͲͲͲ，然后根据根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：݇ͲͲ ൅ʹͲ ൈ݇
͸ʹ െ݇
ͷ㜸ൌ݇
ͲͲ ൅㜸Ͳ ൌ݇
㜸Ͳ（件）；
答：以158 元/件销售，平均每天可销售180 件．
（2）解：设单价应降低ݔ元，由题意得：݇
͸ʹ െݔെ݇
ͷͲ݇
ͲͲ ൅ʹͲݔൌ݇
ͶͲͲ，
整理得：ݔʹ െ͹ݔ൅݇
Ͳ ൌͲ，
解得：ݔ݇ൌʹǡݔʹ ൌͷ，
∵尽可能让消费者得到优惠，
∴ݔൌͷ；
答：单价应降低5 元．
（3）略
9．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐
观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为ͷ㐠ʹ，其中乘坐游船的人数为ͲǤ㜸万人，
乘坐观光车人数为݇
万人，游船票与观光车票销售总额为͸Ͳ 万元．
(1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？
(2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础
上降低ͲǤʹܽ%ܽ
㘠Ͳ ，观光车票价比四月份降低݇Ͷܽ
元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车
登岛的人数比四月增加了ܽ
%，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了ͲǤʹͷͷܽ万元，求ܽ
的值．
【答案】(1)四月份游船票价每张50 元，观光车票价每张20 元；
(2)ܽ
ൌͷͲ．
【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解；
（2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合ܽ
㘠Ͳ 的根
得到结果．
【详解】（1）解：设四月份游船票价为ͷݔ元，观光车票价为ʹݔ元. 将单位统一为元，0.8 万人ൌ㜸ͲͲͲ 人，
1 万人ൌ݇
ͲͲͲͲ 人，60 万元ൌ͸ͲͲͲͲͲ 元．
根据题意列方程得：㜸ͲͲͲ ൈͷݔ൅݇
ͲͲͲͲ ൈʹݔൌ͸ͲͲͲͲͲ，
解得ݔൌ݇
Ͳ，
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因此ͷݔൌͷͲ，ʹݔൌʹͲ．
答：四月份游船票价每张50 元，观光车票价每张20 元；
（2）解：根据题意，五月份游船票价为ͷͲ݇
െͲǤʹܽ% 元，乘坐游船人数为0.8 万人，观光车票价为ʹͲ െ݇Ͷܽ
元，乘坐观光车人数为݇
൅ܽ
% 万人，总销售额为
͸Ͳ െͲǤʹͷͷܽ
万元，单位统一为万元，
列方程得：ͲǤ㜸ൈͷͲ݇
െͲǤʹܽ% ൅݇
൅ܽ
%
ʹͲ െ݇Ͷܽ
ൌ͸Ͳ െͲǤʹͷͷܽ，
化简得：ͶͲ െͲǤͲ㜸ܽ൅ʹͲ െͲǤͲͷܽെͲǤͲͲʹͷܽʹ ൌ͸Ͳ െͲǤʹͷͷܽ，
整理得：ͲǤͲͲʹͷܽʹ െͲǤ݇ʹͷܽ
ൌͲ，
解得ܽ݇
ൌͷͲ，ܽʹ ൌͲ（舍去）．
答：a 的值为50．
10．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个
三角粽比一个牛角粽贵͵ 元，小杭曾在此食品店花ʹͲͲ 元购买牛角粽的个数比花ʹͶͲ 元购买三角粽的个数
多݇
Ͳ 个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打ݔ折出售．已知按原价出售，每天售出
ͶͲ 个三角粽，每降价݇
元，每天多售出ʹͲ 个．
(1)求牛角粽的单价；
(2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含ݔ的代数式表示）；
(3)若现该食品店一天实际销售额为Ͷ㜸Ͳ 元，求ݔ．
【答案】(1)5 元
(2) ʹͲͲ െ݇
͸ݔ个
(3)5 或͹Ǥͷ
【分析】（1）设购买一个牛角粽需ݕ元，则购买一个三角粽需ݕ൅͵ 元，根据小杭曾在此食品店花ʹͲͲ
元购买牛角粽的个数比花ʹͶͲ 元购买三角粽的个数多݇
Ͳ 个，再建立方程求解即可．
（2）表示降价量为㜸െͲǤ㜸ݔ元，进一步列代数式即可．
（3）结合（2）可列方程ͲǤ㜸ݔʹͲͲ െ݇
͸ݔൌͶ㜸Ͳ，再解方程可得答案．
【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需ݕ元，则购买一个三角粽需ݕ൅͵ 元，
由题意得
ʹͲͲ
ݕൌ
ʹͶͲ
ݕ൅͵ ൅݇
Ͳ，
解得ݕ݇ൌെ݇
ʹ（舍去），ݕʹ ൌͷ，
经检验，ݕൌͷ 是原方程的解，且符合题意，
答：购买一个牛角粽需ͷ 元．
（2）解：׶打ݔ折时，每个三角粽售价为㜸ൈͲǤ݇ݔൌͲǤ㜸ݔ元，
∴降价量为㜸െͲǤ㜸ݔ元，
∴多售出ʹͲ 㜸െͲǤ㜸ݔൌ݇
͸Ͳ െ݇
͸ݔ个，
∴总共售出ͶͲ ൅݇
͸Ͳ െ݇
͸ݔൌʹͲͲ െ݇
͸ݔ个．
（3）解：由（2）可列方程ͲǤ㜸ݔʹͲͲ െ݇
͸ݔൌͶ㜸Ͳ，
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解得ݔ݇ൌͷ，ݔʹ ൌ͹Ǥͷ，
经检验ݔ݇ൌͷ，ݔʹ ൌ͹Ǥͷ 是原方程的解，且符合题意，
答：ݔൌͷ 或͹Ǥͷ．
11．
综合与实践数学与交通
情
境
材
料
司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机
发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间
内汽车行驶的距离叫反应距离݀݇
；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离݀
ʹ；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车
距离ൌ反应距离൅制动距离．
实
验
数
据
①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 关
系如下：
ݒkm/h
40
50
60
70
80
反应距离݀݇݉
8
10݇
ʹ݇
ͶǤʹ
16
②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离݀
ʹ݉
与行驶速度ݒkm/h 的
关系为∶݀
΍ ൌ
͵
ͷͲͲ ݒ;
交
通
规
则
《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》
第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规
定开启危险报警闪光灯，并在车后50 米至100 米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示
廓灯和后位灯；
第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100 千米时，应当与同车道前车保持
100 米以上的距离，车速低于每小时100 千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小
距离不得少于50 米．
《中华人民共和国道路交通安全法》
第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150 米
以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警．
(1)请写出反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关系式及停车距离݀݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关
系式．
(2)某司机在高速公路以݇
ʹͲkm/h 行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，
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才能安全停车？并结合法规分析150 米的安全距离是否足够．
(3)某司机发现正前方80 米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结
合计算结果，给司机朋友提出1 条安全驾驶建议．
【答案】(1)݀݇
ൌ݇ͷ ݒ，݀
ൌ
͵
ͷͲͲ ݒʹ ൅݇ͷ ݒݒ൒Ͳ
(2)至少需要݇݇
ͲǤͶ 米，݇ͷͲ 米的安全距离足够
(3)车速不超过݇
ͲͲkm/h 时，可避免事故；安全驾驶建议：在高速公路行驶时，若前方有故障或警示标志，
应提前减速，车速不超过݇
ͲͲkm/h，并与前车保持足够安全距离，避免急刹追尾
【分析】（1）由表格数据可知，反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 成正比例关系，利用待定系数法求解
即可；再根据停车距离ൌ反应距离൅制动距离，制动距离݀
ʹ݉
与行驶速度ݒkm/h 的关系求解即可；
（2）将ݒൌ݇
ʹͲ 代入݀
ൌ
͵
ͷͲͲ ݒʹ ൅݇ͷ ݒ即可求得至少需与故障车辆保持的距离；再与150 米比较即可判断安
全距离是否足够；
（3）令݀
ൌ㜸Ͳ，则㜸Ͳ ൌ
͵
ͷͲͲ ݒʹ ൅݇ͷ ݒ，即可求得不得超过的速度；再根据安全需要提建议即可．
【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 成正比例关系．
设݀݇
ൌ݇
ݒ，将ͶͲǡ㜸代入得∶㜸ൌͶͲ݇，解得݇
ൌ݇ͷ，
∴反应距离݀݇݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关系式为݀݇
ൌ݇ͷ ݒ，
∵停车距离ൌ反应距离൅制动距离，制动距离݀
ʹ݉
与行驶速度ݒkm/h 的关系为：݀
ʹ ൌ
͵
ͷͲͲ ݒ;，
∴停车距离݀݉
与行驶速度ݒkm/h 的函数关系式݀
ൌ
͵
ͷͲͲݒʹ ൅݇ͷ ݒݒ൒Ͳ ．
（2）解：当ݒൌ݇
ʹͲ 时，݀
ൌ
͵
ͷͲͲ ൈ݇
ʹͲʹ ൅݇ͷ ൈ݇
ʹͲ ൌ
͵
ͷͲͲ ൈ݇
ͶͶͲͲ ൅ʹͶ ൌ㜸͸ǤͶ ൅ʹͶ ൌ݇݇
ͲǤͶ m ；
根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150 米以外．
∵1݇ͲǤͶ ൏݇
ͷͲ，
∴150 米的安全距离足够．
答：至少需与故障车辆保持110.4 米的距离才能安全停车；150 米的安全距离足够．
（3）解：根据题意，令݀
ൌ㜸Ͳ，得∶㜸Ͳ ൌ
͵
ͷͲͲ ݒʹ ൅݇ͷ ݒ，
整理得∶͵ݒʹ ൅݇
ͲͲݒെͶͲͲͲͲ ൌͲ，解得：ݒ݇ൌ݇
ͲͲ 或ݒʹ ൌെ
ͶͲͲ
͵ (不合题意，舍去)．
所以车速不超过݇
ͲͲkm/h．
建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安
全．
12．综合实践：
“耕读园”劳动实践基地设计方案
项目主题：“耕读园”花圃设计
项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50 米，宽为40 米的矩形花圃设计项目．以下为项
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目学习小组对花圃设计的研究过程．
活动任务一
请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种
典型方案．
驱动问题一
(1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？
①直观猜想：我认为；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）
②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1 米，则甲、乙方案中小路的面积分别为和．
③一般验证：若小路宽为ݔ米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为和．
活动任务二
为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824 平方米．
驱动问题二
(2)请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三
为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100 平方米
的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为ݔ米，平行于墙的边长
为ݕ米．
驱动问题三
(3)若篱笆总长为30 米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩
形宽ܣܤൌݔ，长ܤ㿰ൌݕǤ
①若30 米长的篱笆，请用两种不同的函数表示ݕ关于ݔ的函数关系．
②数学之星小明提出一个问题：若ܽ
米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽
边两种围法）都可以围出面积为100 平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15 米．甲
同学说“篱笆的长可以是28 米”，乙同学说“篱笆的长可以是32 米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
【答案】(1)①四种方案中小路面积相等；②89 平方米；89 平方米；③ͻͲݔെݔʹ；ͻͲݔെݔʹ；
(2)两条小路的宽度是ʹ 米；
(3)①ݕൌ݇
ͲͲ
ݔ或ݕൌ͵Ͳ െʹݔ；
②甲，乙都错误，理由如下：
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由题意得：ݔܽ
െʹݔൌ݇
ͲͲ，
∴ʹݔʹ െܽ
ݔ൅݇
ͲͲ ൌͲ，
设方程的两个根为ݔ݇ǡݔʹ，则ݔ݇൅ݔʹ ൏݇
ͷ，且Δ 㘠Ͳ，
∴Δ ൌെܽ
ʹ െͶ ൈʹ ൈ݇
ͲͲ ൌܽ
ʹ െ㜸ͲͲ 㘠Ͳ，ܽʹ ൏݇
ͷ
∴ܽ
㘠ʹͲ ʹ ൎʹ㜸Ǥʹ㜸，ܽ
൏͵Ͳ，
∴ʹ㜸Ǥʹ㜸൏ܽ
൏͵Ͳ，
∴甲，乙说法都错误．
【分析】（1）①根据题意直接得出猜想；
②分别用两种不同的方法求解即可；
③分别用两种不同的方法表示即可；
（2）先得出小路的面积，列出方程求解即可；
（3）①分别用两种不同的方法表示即可；
②由题意得到ݔܽ
െʹݔൌ݇
ͲͲ，设方程的两个根为ݔ݇ǡݔʹ，则ݔ݇൅ݔʹ ൏݇
ͷ，且Δ 㘠Ͳ，求得ܽ
的取值范围，
可得结论．
【详解】（1）解：①我认为四种方案中小路面积相等；
②甲方案小路面积：݇ൈͷͲ ൅݇
ൈͶͲ െ݇
ʹ ൌ㜸ͻ（平方米），
乙方案小路面积：ͷͲ ൈͶͲ െͷͲ െ݇
ൈͶͲ െ݇
ൌ㜸ͻ（平方米）；
③若小路宽为ݔ米，
甲方案小路面积为：ͷͲݔ൅ͶͲݔെݔʹ ൌͻͲݔെݔʹ，
甲方案小路面积为：ͷͲ ൈͶͲ െͷͲ െݔൈͶͲ െݔൌͻͲݔെݔʹ；
（2）解：∵草坪面积1824 平方米，
∴小路面积为：ͷͲ ൈͶͲ െ݇
㜸ʹͶ ൌ݇
͹͸（平方米），
∴ͻͲݔെݔʹ ൌ݇
͹͸，
解得：ݔൌʹ，
∴两条小路的宽度是ʹ 米；
（3）解：①方法1：
∵面积为100 平方米，
∴ݔݕൌ݇
ͲͲ，
∴ݕൌ݇
ͲͲ
ݔ；
方法2：∵篱笆总长为30 米，宽ܣܤൌݔ，长ܤ㿰ൌݕ，
∴ʹݔ൅ݕൌ͵Ͳ，
∴ݕൌ͵Ͳ െʹݔ；
②略
13．综合与实践：图形规律探究
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【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED 灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一
定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究．
【项目准备】
1．观察现象
不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光．
2．规律猜想
小组初步猜想：用不同方式来观察第n 个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达．
【项目分析】
1．统一符号：设第݊
个图的灯珠总数为ܵ݊
．
2．任务分解：
任务一：通过每行来数的方式写出݊
ൌ͵ 和݊
ൌͶ 的算式，并归纳ܵ݊
的表达式．
任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出ܵ݊
．
任务三：建立第݊
个图灯珠总数的通用公式．
【项目实施】
问题一：按“行”来统计数量
1．请补全下表：
图形݊
ൌ݇݊
ൌʹ݊
ൌ͵݊
ൌͶ
算式ܵ݇
ൌʹ ൈʹ ൅݇
ൌʹʹ ൅݇
ʹܵ
ʹ
ൌ͵ ൈ͵ ൅ʹ
ൈʹ ൌ͵ʹ ൅ʹʹܵ
͵ ൌ①_______ܵ
Ͷ ൌ②_______
2．根据规律，写出第݊
个图的算式：ܵ݊
ൌ③_______．（写出最终结果）
问题二：按“斜线”来统计数量
请补全下表：
图形݊
ൌ݇݊
ൌʹ݊
ൌ͵݊
ൌͶ
算式ܵ݇
ൌ݇
൅͵ ൅݇ܵ
ʹ ൌ݇
൅͵ ൅
ͷ ൅͵ ൅݇ܵ
͵ ൌ④_______ܵ
Ͷ ൌ⑤_______
问题三：建立通用公式
根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n 个图形中的规律：⑥_______．
根据以上信息，完成下面内容：
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(1)将上面的空白内容补充完整：
①_______；②________；③________；
④_______；⑤_______；⑥________．
(2)若某个信号灯的灯珠的ܵ݊
ൌ͹͸݇
，求n 的值．
【答案】(1)
①Ͷ ൈͶ ൅͵ ൈ͵ ൌͶʹ ൅͵ʹ；②ͷ ൈͷ ൅Ͷ ൈͶ ൌͷʹ ൅Ͷʹ；③ሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ；④݇൅͵ ൅ͷ ൅͹ ൅ͷ ൅͵ ൅݇
；⑤݇൅
͵ ൅ͷ ൅͹ ൅ͻ ൅͹ ൅ͷ ൅͵ ൅݇
⑥ܵ݊
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ
(2)19
【分析】（1）从“按行”和“按斜线”两种视角观察图形，归纳出第݊
个图形灯珠总数的通项公式ܵ݊
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ；（2）建立方程ሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ ൌ͹͸݇，求解并舍去负根即可．
【详解】（1）解：①：ܵ͵ ൌͶ ൈͶ ൅͵ ൈ͵
ൌͶʹ ൅͵ʹ
②：ܵͶ ൌͷ ൈͷ ൅Ͷ ൈͶ
ൌͷʹ ൅Ͷʹ
③：根据规律可得：ܵ݊
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ
④：ܵ͵ ൌ݇
൅͵ ൅ͷ ൅͹ ൅ͷ ൅͵ ൅݇
⑤：ܵͶ ൌ݇
൅͵ ൅ͷ ൅͹ ൅ͻ ൅͹ ൅ͷ ൅͵ ൅݇
⑥：问题一中的规律为：ܵ݊
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ，问题二中的规律为：ܵ݊
ൌ݇
൅͵ ൅ͷ ൅ڮ ൅ሺʹ݊െ݇
ሻ൅ሺʹ݊൅݇
ሻ൅ሺʹ݊െ݇
ሻ൅ڮ ൅ͷ ൅͵ ൅݇
ൌሺ݇൅ʹ݊
൅݇
ሻሺ݊൅݇
ሻ
ʹ
൅ሺʹ݊െ݇
൅݇
ሻ݊
ʹ
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ
第n 个图形中的规律：ܵ݊
ൌሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ
（2）解：׶ܵ݊
ൌ͹͸݇
∴ሺ݊൅݇
ሻʹ ൅݊
ʹ ൌ͹͸݇
ʹ݊
ʹ ൅ʹ݊
ൌ͹͸Ͳ݊
ʹ ൅݊
ൌ͵㜸Ͳ݊
ʹ ൅݊
െ͵㜸Ͳ ൌͲ
ሺ݊൅ʹͲሻሺ݊െ݇
ͻሻൌͲ݊݇
ൌെʹͲ
(舍去)，݊
ʹ ൌ݇
ͻ
∴݊
ൌ݇
ͻ