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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(11)
(指数式与指数函数)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知函数
，则
（ ）
A. 是奇函数，且在R 上是增函数
B. 是偶函数，且在R 上是增函数
C. 是奇函数，且在R 上是减函数
D. 是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，
因为
，所以函数
为奇函数，
又因为函数
在R 上都是减函数，
所以函数
在R 上是减函数.
故选：C.
2.函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，则
，
故选：A.
3.（2023·河北模考）已知函数
．若函数
的最大值为1，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，
则
，当
时，
，解得
.
故选：B
1
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4.（2023 秋·江苏南通·高三期初统考）已知函数
在区间
上是减函数，则
取值范
围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为函数
在区间
上是减函数，令
，则函数
在区间
是增函数，所以
，则
.
故选：B
5.若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则原问题转化为
在
恒成立，即
在
恒成
立，
又
当且仅当
时取等号，故实数
的取值范围是
，
故选：C
6.如果函数
(
，且
)在区间
上是增函数，那么实数
的取值范围
是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
，
∵函数
在区间
上是增函数，当
时，
，则有
，此时
不存在；当
时，
，则有
，
2
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即
或
，∴
，
故选：B.
7.若函数
在其定义域内存在实数
满足
，则称函数
为“局部奇函数”.知函数
是定义在
上的“局部奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据“局部奇函数”定义知：
有解，
即方程
有解，
则
即
有解；
设
，则
（当且仅当
时取等号），
方程等价于
在
时有解，
在
时有解；
在
上单调递增，
，
即实数
的取值范围为
.
故选D.
8.已知函数
为
上的奇函数，设函数
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
函数
是奇函数，
3
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，
即
，
整理可得，对于
，
解得：
.
，
设
，且
，
则
=
，
因为函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，又
，
所以
，故函数
在
上单调递增.
设
，
由题意可知，
，
在
时单调递增，
所以
即集合
，
又
，
，
4
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.
故选：C
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.若函数
的图像经过点
， 则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的最小值为
D．
的最大值为 81
【答案】AD
【解析】对于A:由题意得
， 得
,故A 正确;
对于B:令函数
， 则该函数在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
是减函数， 所以
在
上单调递增， 在
上单调递减， 故B 错误;
对于C、D:因为
在
上单调递增， 在
上单调递减,
所以
,
无最小值．故D 正确, C 错误;
故选:AD.
10.（2023·山东青岛·统考模拟改编）（多选）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，方程
只有1 个解
【答案】ACD
【解析】
在定义域内单调递增，
所以当
时，
，
即当
时，
，
所以
，故A 正确；
5
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当
时，要证明
，
只需证明
，
故考虑构造函数
，则
，
当
时，
，函数
在
单调递增，
所以当
时，
，即
，所以B 错误；
设
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，C 正确；
取
可得，方程
等价于
，解得
，
即
时，方程
只有一个解，D 错误.
故选：ACD.
11.设a，b，c 都是正数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】设
，则
，
，
，
所以
，
即
，所以
，所以
，故D 正确；
由
，所以
，故B 正确，A 错误；
因为
，
，
6
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又
，所以
，即
，故C 正确；
故选：BCD
12.（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知函数
，对于任意的
，
，
，关于
的方程
的解集可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令
，则方程
化为
，
由给定的选项知，方程
有实根，设其根为
，
函数
定义域为R，
，在
上递减，在
上递增，
且
的图象关于直线
对称，
，
当
时，方程
无解，
当
时，方程
有一解
，
当
时，方程
有两解且和为2，
对于A，当
时，方程
有两解且和为4，
与题意矛盾，故A 不符合要求；
对于B，当
时，方程
有两解且和为2，又
关于
对称，故B 符合
要求；
对于C，当
时，方程
有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C 不
符合要求；
对于D，当
时，方程
有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又
关于
对称，
关于
对称，故D 符合要求，
故选：BD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考改编）
=___________.
【答案】7
7
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【解析】
.
故答案为：7
14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：
，其中为时间（单位：
为环境温度，
为物体初始温度，
为冷却后温度．假设在室内温度为
的情况下，一杯饮料由
降低到
需要
，则此饮料从
降低到
需要___________min ．
【答案】60
【解析】由题设
，
所以
.
故答案为：60
15.（2023 秋·江苏镇江·高三期初统考）设函数
是定义域为R 的偶函数,则
p=______；若
在
上最小值为
，则k 的值为____________.
【答案】
【解析】函数
是定义域为
的偶函数，
可得
，即为
，
化为
，
由
，可得
，即
；
，
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设
，由
，
递增，可得
，
设
，对称轴为
，
当
时，
在
,
递增，可得
的最小值为
，
解得
，舍去；
当
时，
在
处取得最小值，且为
，
解得
舍去），
综上可得，
；
故答案为：
16.（2023 秋·江苏徐州沛县·高三期初模考）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
恒成立，则m 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为函数
是定义在R 上的奇函数，
所以
，即
，解得：
.
又
，所以
，解得：
.
所以
.
.
因为
在
上单增，所以
在
上单增，所以
在
上单减，
9
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所以
在
上单增，所以
.
所以要使
恒成立，只需
恒成立.
因为
在
上单增，所以
，所以
.
令
.
记
（当且仅当
，即
时2 等号成立），
所以
.
所以
.
即m 的取值范围为
.
故答案为：
10
