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第14 讲解一元一次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
题型2 解一元一次方程--去括号
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
题型5 一元一次方程的错解复原问题
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
题型7 一元一次方程整数解问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元一次方程、解方
程、移项、去分母、去
括号、化归、x=a。
1. 理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。
2. 掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1。
3. 能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。
4. 体会化归思想（将方程逐步转化为x=a 的形式），培养运算能力与严谨性。
学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。
学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为
负号），以及移项时变号的正确性。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含
有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
【易错提醒】
解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移
项要变号；系数化1 时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。
即时即练1．（25-26 七年级上·安徽合肥·期中）解方程：
(1)
4
6
2 3
1
x
x
；
(2) 2
1
5
1
1
3
6
x
x
2．（25-26 七年级上·重庆·期中）解方程
(1)4
5
20
x
x
(2)
5
8
6 2
7
5
x
x
(3)
3
2
5
2
1
2
6
x
x
x
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(4) 0.2
0.1
0.3
1
0.3
0.2
x
x
知识点02 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得
到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【易错提醒】
同解方程易错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方
程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。
即时即练1．（24-25 七年级上·全国·课后作业）已知方程4
2
3
1
x
m
x
与2
2
3
1
x
m
x
的解相同，求m
的值．
2．（24-25 七年级上·江苏南通·阶段练习）如果方程
4
2
2
3
2
x
x
的解与方程
4
3
5
6
2
1
x
a
x
a
的
解相同，求a 的值．
3．（24-25 七年级上·云南楚雄·期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为
同解方程．例如：方程2
4
x
与方程5
10
0
x
的解都为
2
x
，所以它们为同解方程．
(1)若方程
1
2
1
2
3
x
x
与关于x 的方程
1
5
3
1
4
3
7
k
x
x
是同解方程，求k 的值．
(2)若关于x 的方程
2
1
5
x
a
x
与
1
3
4
x
a
a
x
＋
是同解方程，求a 的值．
(3)若关于x 的两个方程
3
6
m
x
x
mn
与
2
4
m
n
mn
x
x
是同解方程，试求
18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn
的值．
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
【例1】解方程：
(1)3
1
2
x
x
；
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(2)
1
2
3
2 x
x
．
【例2】解下列方程：
(1) 9
7
10
8
x
x
；
(2) 2.3
3.8
4.8
1.2
y
y
．
【技巧归纳】
移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并（ax=b
形式）。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并→系数化1。注意符号，
避免漏乘。检验代入原方程。
【变式1-1】解下列方程：
(1)32
2
3
7
x
x
；
(2) 2
0.3
3
0.4
x
x
；
(3) 5
1
0.7
0.5
4
4
x
x
；
(4)10
7
14
5
3
x
x
x
．
【变式1-2】解下列方程：
(1) 2
1
3
2
x
x
；
(2)5
5
8
x
x
；
(3) 7
1
1
x
x
；
(4) 1
1
1
4
6
x
x
．
题型2 解一元一次方程--去括号
【例3】解方程
(1)3(
7)
5(
4)
15
x
x
；
(2) 2(
1)
2
5(
2)
x
x
；
(3)3(2
5)
2(4
3)
3
y
y
【例4】解下列方程：
(1)5(
1)
3(
1)
x
x
(2)7
3(
1)
2(4
)
x
x
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(3)
1
2
3(
1)
1
2 1
2
m
m
(4) 2
3[
2(
1)]
19
x
x
x
【技巧归纳】
去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“-”各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。
去括号后，移项合并。如3(x-2)=5→3x-6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确，可
代入验证。
【变式2-1】解下列方程：
(1)5(
4)
3
10
x
x
(2)7
9
3(
1)
x
x
(3) 4
3(2
)
5
x
x
(4) 2(
1)
6
(
4)
x
x
【变式2-2】解方程：
(1)
3
1
2 4
x
(2)
5
1
2
11
x
x
(3) 1 1 1
2
4
7
10
1
9 6 3
2
x
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
【例5】解方程：
1
4
3
1
2
5
x
x
【例6】解方程∶
1
2
3
1
2
3
x
x
【技巧归纳】
去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是
多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如(x+1)/2 - x/3 = 1，乘以6 得3(x+1)-2x=6。检验分母不
为0。注意整数项同样乘LCM。
【变式3-1】解方程：
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(1)
3
3
25
2
x
x
；
(2) 3
1
5
7
1
4
6
y
y
．
【变式3-2】（1）解方程：3
1
2
1
3
4
x
x
；
（2）解方程：3
7
1
2
1
4
6
3
x
x
x
．
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
【例7】解方程：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x
【例8】解方程：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.
．
【技巧归纳】
先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100 变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10 的幂，
使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏项。如0.2x-0.3=0.5→乘以10 得2x-3=5。解后
检验。
【变式4-1】解方程：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x
；
【变式4-2】解方程
(1) 5 3
:
6 4
0.4
x
(2) 2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x
题型5 一元一次方程的错解复原问题
【例9】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3
2
3
1
6
8
x
x
．
4
3
3 2
3
24
x
x
，（第一步）
4
12
6
9
24
x
x
，（第二步）
4
6
24
12
9
x
x
，（第三步）
2
45
x
，（第四步）
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45
2
x
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
【例10】以下是圆圆解方程
1
3
1
2
3
x
x
的解答过程．
解：去分母，得3(
1)
2(
3)
1
x
x
去括号，得3
1 2
3
1
x
x
移项，合并同类项，得
3
x ．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程
1
3
1
0.2
0.3
x
x
．
【技巧归纳】
从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏
项）。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方程。
分析差异。
【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
2
1
2
6
x
x
解：______，得
3
2
6
x
x
第一步
去括号，得3
2
6
x
x
第二步
移项，得3
6
2
x
x
第三步
合并同类项，得2
8
x
第四步
方程两边同除以2，得
4
x
第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【变式5-2】以下是小明解方程
1
3
1
2
3
x
x
的解答过程．
解：去分母，得
3
1
2
3
1
x
x
第一步
去括号，得3
1 2
3
1
x
x
第二步
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移项，得3
2
1 1
3
x
x
第三步
合并同类项，得
3
x 第四步
(1)以上过程中是从第______步开始出错的．
(2)第一问中出现错误的原因____________．
(3)写出这个方程的正确解答过程．
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
【例11】已知方程
1
7
ax
与方程2
6
10
x
的解相同，则a 的值为
．
【例12】若方程4
1
7
x
与2
0
3
a
x
的解相同，则a 的值为
．
【技巧归纳】
两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x 的值。再将x 代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均
用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如ax+1=0 与2x+3=0 同解，先
解后者x=-1.5，代入前者求a。
【变式6-1】若关于x 的方程2
1
0
mx
和3
1
2
1
x
x
有相同的解，则m
．
【变式6-2】若方程
4
2
8
3
2
x
x
的解与关于x 的方程4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a
的解相同，则a 的值
为
．
题型7 一元一次方程整数解问题
【例13】若关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x
的解为正整数，整数a 的值是
．
【例14】若关于x 的方程
3
2
1
ax
x
的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值为
．
【技巧归纳】
方程ax=b 有整数解，需a 整除b。若含参数，将解表示为x=b/a，再根据整除性求参数值。注意参数需使a
≠0。常利用因数分解，列出a 的因数。如(m-2)x=6 有整数解，则m-2 为6 的因数，可求m。检验解的正负。
【变式7-1】关于x 的一元一次方程
1
3
2
kx
x
的解为整数，则所有整数k 的和为
．
【变式7-2】已知关于x 的方程
4
2
2
3
mx
x
的解是非负整数，则符合条件的所有整数m 的和是
．
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一、单选题
1．解方程
2
1
3
4
x
x
，去括号正确的是（
）
A．2
1
3
4
x
x
B．2
2
3
4
x
x
C．2
1
3
4
x
x
D．2
2
3
4
x
x
2．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
m x
x
m
的解是
2
x
，则m 的值为（
）
A．2
B．3
C．6
D．0
3．解方程
1
2
3
1
2
3
x
x
时，去分母正确的是（
）
A．
3
1
2 2
3
1
x
x
B．
3
1
2 2
3
6
x
x
C．3
1 4
3
1
x
x
D．3
1 4
3
6
x
x
4．小明解方程2
1
1
5
2
x
x
a
时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的1
没有乘以10，由此求得的
解为
4
x
，则方程2
1
1
5
2
x
x
a
正确的解是（
）
A．
4
x
B．
7
x
C．
10
x
D．ݔ㽠Ӳ坐
5．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
b
的解为
3
x ，那么关于y 的一元一次方程
1
1
3
2
1
2026 y
y
b
的解为y （
）
A．1
B．1
C．3
D．4
二、填空题
6．若ݔᦙ䁪与
8
x 互为相反数，则x ________．
7．已知关于x 的方程4
2
5
1
x
m
x
的解与方程3
6
1
x
x
的解相同，则m 的值为________．
8．小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a
时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x
，则方程正确的解
x _____．
9．对于任意实数m ，݊，定义一种运算：
1
m
n
mn
m
n
※
，例如3
( 2)
3 ( 2)
3
( 2)
1
0
※
．请
根据上述定义解决问题：若
( 3)
2
x
※
，则x 的值为________．
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10．若关于x 的方程
2
1
1
3
2
kx
x
的解是负整数，且k 也是整数，则满足条件的所有k 的值为_________．
三、解答题
11．解方程：
(1)2
5
3
1
x
x
；
(2)
2
4
3
5
x
x
；
(3) 2
1
2
3
1
3
4
x
x
．
12．解下列方程．
(1) 3
1
5
7
1
4
6
y
y
；
(2) 5
4
1
5
5
2
3
4
12
y
y
y
；
(3) 4
11
8
3
3
2
x
x
；
(4)1
2
3
1
3
3
7
x
x
．
13．在解方程
1
5
0.3
0.4
x
x
时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法：
淇淇的解法：
利用分数的性质，
得10
5
5
5
3
2
x
x
，
……
利用等式的性质，
得
1
1
3
4
2
x
x
，
……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将
1
0.4
x 的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等
式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
14．已知代数式
4
7
A
x
，
3 2
B
x
m
，解答下列问题：
(1)若
3
m
，则x 为何值时，代数式A 与B 相等？
(2)若关于x 的方程
1
1
3
1
5
2
x
x
的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，求m 的值．
15．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程䁪ݔ㽠〮和3
6
0
x
为“互逆方程”．
(1)方程2
4
1
x
x
与2
10
x
（填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x 的方程3
3
0
x
与6
0
x
c
为“互逆方程”，求c 的值；
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(3)若关于x 的方程2
3
2
0
x
m
和3
5
4
0
x
m
为“互逆方程”，求m 的值．
16．定义：若
1x ，
2x 分别是关于x 的方程P、方程Q 的解，且
1
2
x
x
n
（n 为非零常数），则称方程P 是
方程Q 的“n 阶伴生方程”．例如：方程
1
2
x
的解是
1
3
x
，方程
2
0
x
的解是
2
2
x
，且
1
2
3
2
1
x
x
，则称方程
1
2
x
是方程
2
0
x
的“1 阶伴生方程”．
(1)下列方程中是
3
1
x
的“2 阶伴生方程”的是________（填写序号即可）；
①2
4
0
x
；②1
4
3
3
x
x
；③3
15
0
x
；
(2)若方程
2
5
x
是关于x 的方程3
6
x
k
的“4 阶伴生方程”，求k 的值；
(3)对任意满足4
1
0
k
的k 值，关于x 的方程2
2
3
6
kx
a
x
bk
都是方程
2
1
6
2
x
x
的“n 阶伴生方程”，
试判断8a
b
的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
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