第14讲解一元一次方程（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026秋《暑假自学课》7上数学（人教版）_探索新知

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第14 讲解一元一次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
题型2 解一元一次方程--去括号
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
题型5 一元一次方程的错解复原问题
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
题型7 一元一次方程整数解问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元一次方程、解方
程、移项、去分母、去
括号、化归、x=a。
1. 理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。
2. 掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1。
3. 能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。
4. 体会化归思想（将方程逐步转化为x=a 的形式），培养运算能力与严谨性。
学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。
学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为
负号），以及移项时变号的正确性。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含
有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
【易错提醒】
解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移
项要变号；系数化1 时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。
即时即练1．（25-26 七年级上·安徽合肥·期中）解方程：
(1)


4
6
2 3
1
x
x



；
(2) 2
1
5
1
1
3
6
x
x




【答案】(1)
2
x -
(2)
9
x 
【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行求解即可；
（2）先去分母，然后移项、合并同类项、系数化为1，进行求解即可．
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【详解】（1）解：


4
6
2 3
1
x
x



去括号，得4
6
6
2
x
x



，
移项，得4
6
2
6
x
x


，
合并同类项，得2
4
x

，
系数化为1，得
2
x ．
（2）解：2
1
5
1
1
3
6
x
x




去分母，得


2 2
1
5
1
6
x
x



，
去括号，得4
2
5
1
6
x
x


，
移项，得4
5
6 1 2
x
x


，
合并同类项，得
9
x
，
系数化为1，得
9
x 
．
2．（25-26 七年级上·重庆·期中）解方程
(1)4
5
20
x
x



(2) 



5
8
6 2
7
5
x
x




(3)
3
2
5
2
1
2
6
x
x
x





(4) 0.2
0.1
0.3
1
0.3
0.2
x
x




【答案】(1)
5
x 
(2)
11
x 
(3)
2
7
x 
(4)
1
26
x 
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．
（1）移项、合并同类项、系数化为1 即可；
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可；
（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 即可．
【详解】（1）解：4
5
20
x
x



移项，得4
20
5
x
x



，
合并同类项，得5
25
x 
，
系数化为1，得
5
x 
；
（2）解：



5
8
6 2
7
5
x
x




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去括号，得5
40
12
42
5
x
x




，
移项，得5
12
42
5
40
x
x




，
合并同类项，得7 =
77
x


，
系数化为1，得
11
x 
；
（3）解：
3
2
5
2
1
2
6
x
x
x





去分母，得




3
3
2
5
6 2
1
x
x
x





去括号，得3
9
2
5
12
6
x
x
x




，
移项，得3
2
12
6
9
5
x
x
x




，
合并同类项，得7
2
x


系数化为1，得
2
7
x 
；
（4）解：0.2
0.1
0.3
1
0.3
0.2
x
x




整理得，2
1
10
3 1
3
2
x
x



，
去分母，得



2 2
1
3 10
3
6
x
x




，
去括号，得4
2
30
9
6
x
x



，
移项，得4
30
9
6
2
x
x



，
合并同类项，得26
1
x


系数化为1，得
1
26
x 
．
知识点02 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得
到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【易错提醒】
同解方程易错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方
程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。
即时即练1．（24-25 七年级上·全国·课后作业）已知方程4
2
3
1
x
m
x


与2
2
3
1
x
m
x


的解相同，求m
的值．
【答案】
1
2
m 
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【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
先分别求出两方程的解，再根据两方程的解相同得到关于m 的方程，即可求解．
【详解】解：4
2
3
1
x
m
x


，
解得：
2
1
x
m

，
2
2
3
1
x
m
x


，
解得：
2
1
x
m

，
∵方程4
2
3
1
x
m
x


与2
2
3
1
x
m
x


的解相同，
∴2
1
2
1
m
m




，
解得：
1
2
m 
．
2．（24-25 七年级上·江苏南通·阶段练习）如果方程
4
2
2
3
2
x
x




的解与方程


4
3
5
6
2
1





x
a
x
a
的
解相同，求a 的值．
【答案】
2
a 
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法和同解方程的概念，考核学生的计算能力．
先求出方程
4
2
2
3
2
x
x




的解为
2
x ，再把
2
x 代入


4
3
5
6
2
1
x
a
x
a




，即可求解．
【详解】解：
4
2
2
3
2
x
x




，
去分母得：



2
4
12
3
2
x
x




，
去括号得：2
8 12
3
6
x
x


，
解得：
2
x ，
∵方程
4
2
2
3
2
x
x




的解与方程


4
3
5
6
2
1
x
a
x
a




的解相同，
∴





4
2
3
5
6
2
2
1
a
a





，
解得：
2
a 
．
3．（24-25 七年级上·云南楚雄·期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为
同解方程．例如：方程2
4

x
与方程5
10
0
x 

的解都为
2
x 
，所以它们为同解方程．
(1)若方程
1
2
1
2
3
x
x



与关于x 的方程


1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



是同解方程，求k 的值．
(2)若关于x 的方程

2
1
5
x
a
x


与
1
3
4
x
a
a
x



＋
是同解方程，求a 的值．
(3)若关于x 的两个方程
3
6
m
x
x
mn



与
2
4
m
n
mn
x
x




是同解方程，试求






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





的值．
【答案】(1)
3
k 
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(2)
2
a 
(3) 18

【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算．
（1）根据方程
1
2
1
2
3
x
x



与


1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



是同解方程，即可求出k 的值；
（2）根据方程

2
1
5
x
a
x


与
1
3
4
x
a
a
x



是同解方程，用含a 的式子表示x，即可求a 的值；
（3）根据方程
3
6
m
x
x
mn



与
2
4
m
n
mn
x
x




是同解方程，利用整体思想将得出的33
4
6
mn
m
n


，代
入






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





化简后的式子即可求值．
【详解】（1）解：解方程
1
2
1
2
3
x
x



，得
2
x ，
把
2
x 代入

1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



，得




5
3
2
1
1 4
2
3
7
k 







，
解得：
3
k 
；
（2）解：由方程

2
1
5
x
a
x


，得
6
2
x
a


，
解方程
1
3
4
x
a
a
x



，得
7
12
x
a


，
由题意，得6
2
7
12
a
a



，
解得
2
a 
；
（3）解：由
3
6
m
x
x
mn



，得
2
6
3
m
mn
x


，
解
2
4
m
n
mn
x
x




，得
2
2
5
mn
m
n
x



，
由题意，得2
6
2
2
3
5
m
mn
mn
m
n




，
整理，得：33
4
6
mn
m
n


，






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





18
54
12
9
18
36
n
mn
m
mn
mn






99
18
12
18
mn
n
m




，
因为33
4
6
mn
m
n


，
所以


99
3 4
6
12
18
mn
m
n
m
n




，
所以99
18
12
18
12
18
18
12
18
18
mn
n
m
m
n
n
m









，
所以






18
3
3 4
3
18 1
2
18
n
mn
m
mn
mn






．
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题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
【例1】解方程：
(1)3
1
2
x
x

；
(2)
1
2
3
2 x
x


．
【答案】(1)
1
x 
(2)
10
3
x 
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1 等．
（1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1；
（2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1．
【详解】（1）移项得3
2
1
x
x

，
合并同类项得
1
x ；
（2）移项得
1
3
2
2 x
x



，
合并同类项得
3
5
2 x

，
系数化为1 得
10
3
x 
．
【例2】解下列方程：
(1) 9
7
10
8
x
x


；
(2) 2.3
3.8
4.8
1.2
y
y



．
【答案】(1)
15
x 
(2)
2
y 
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念．
（1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：9
7
10
8
x
x


，
移项得：9
10
8
7
x
x


，
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合并同类项得：
15
x

，
系数化1 得：
15
x 
；
（2）解：2.3
3.8
4.8
1.2
y
y



，
移项得：2.3
4.8
1.2
3.8
y
y



，
合并同类项得：2.5
5
y

，
系数化1 得：
2
y ．
【技巧归纳】
移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并（ax=b
形式）。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并→系数化1。注意符号，
避免漏乘。检验代入原方程。
【变式1-1】解下列方程：
(1)32
2
3
7
x
x



；
(2) 2
0.3
3
0.4
x
x



；
(3) 5
1
0.7
0.5
4
4
x
x



；
(4)10
7
14
5
3
x
x
x




．
【答案】(1)
5
x 
(2)
10
x 
(3)
1.2
x 
(4)
12
x 
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：32
2
3
7
x
x



2
3
7
32
x
x




5
25
x


5
x 
（2）解：2
0.3
3
0.4
x
x



0.3
0.4
3
2
x
x




0.1
1
x 
9 / 36
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10
x 
（3）解：5
1
0.7
0.5
4
4
x
x



5
1
0.5
0.7
4
4
x
x



1.2
x 
（4）解：10
7
14
5
3
x
x
x




10
7
11
5
x
x



10
11
5
7
x
x


12
x

12
x 
【变式1-2】解下列方程：
(1) 2
1
3
2
x
x


；
(2)5
5
8
x
x



；
(3) 7
1
1
x
x

；
(4) 1
1
1
4
6
x
x

．
【答案】(1)
3
x 
(2)
1
2
x 
(3)
0
x 
(4)
12
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答．
（4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答．
【详解】（1）解：2
1
3
2
x
x


，
移项，得2
3
1
2
x
x


，
合并同类项，得
3
x

，
系数化1，得
3
x ；
（2）解：5
5
8
x
x



移项，得
5
8
5
x
x


，
合并同类项，得6
3
x


，
系数化1，得
1
2
x 
；
（3）解：7
1
1
x
x


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移项，得7
1 1
x
x


，
合并同类项，得6
0


x
，
系数化1，得
0
x 
；
（4）解：1
1
1
4
6
x
x


去分母，得3
2
12
x
x


移项，得3
2
12
x
x


，
合并同类项，得
12
x 
，
题型2 解一元一次方程--去括号
【例3】解方程
(1)3(
7)
5(
4)
15
x
x




；
(2) 2(
1)
2
5(
2)
x
x




；
(3)3(2
5)
2(4
3)
3
y
y




【答案】(1)
7
x 
；
(2)
6
7
x 
；
(3)
6
y 
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；
（1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1 计算即可．
（2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1 计算即可．
（3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1 计算即可．
【详解】（1）解：3(
7)
5(
4)
15
x
x




，
3
21 5
20
15
x
x




，
8
56
x 
，
7
x 
；
（2）解：2(
1)
2
5(
2)
x
x




，
2
2
2
5
10
x
x




，
2
5
2 10
2
x
x




，
7
6
x ，
6
7
x 
；
（3）解：3(2
5)
2(4
3)
3
y
y



，
11 / 36
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去括号得：6
15
8
6
3
y
y



，
移项得：6
8
6
3 15
y
y



，
合并得：2
12
y


，
化系数为1 得：
6
y 
．
【例4】解下列方程：
(1)5(
1)
3(
1)
x
x



(2)7
3(
1)
2(4
)




x
x
(3)
1
2
3(
1)
1
2 1
2










m
m
(4) 2
3[
2(
1)]
19




x
x
x
【答案】(1)
4
x 
(2)
4
x 
(3)
0
m 
(4)
5
x 
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系
数化为1，根据步骤求解各题即可．
【详解】（1）解：5(
1)
3(
1)
x
x



5
5
3
3
x
x



5
3
3
5
x
x



2
8
x 
4
x 
；
（2）解：7
3(
1)
2(4
)




x
x
7
3
3
8
2
x
x




3
2
8
7
3
x
x





4
x


4
x ；
（3）解：
1
2
3(
1)
1
2 1
2










m
m
2
3
3
1 2
m
m




3
1 2
2
3
m
m





2
0
m


0
m 
；
（4）解：2
3[
2(
1)]
19




x
x
x


2
3
2
2
19
x
x
x




12 / 36
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2
3
6
6
19
x
x
x




2
3
6
19
6
x
x
x




5
25
x 
5
x 
．
【技巧归纳】
去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“-”各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。
去括号后，移项合并。如3(x-2)=5→3x-6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确，可
代入验证。
【变式2-1】解下列方程：
(1)5(
4)
3
10



x
x
(2)7
9
3(
1)



x
x
(3) 4
3(2
)
5
x
x



(4) 2(
1)
6
(
4)
x
x




【答案】(1)
5
x 
(2)
3
x 
(3)
1
x 
(4)
4
x 
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1 的步骤解方程即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1 的步骤解方程即可；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1 的步骤解方程即可；
（4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1 的步骤解方程即可．
【详解】（1）5(
4)
3
10



x
x
去括号得，5
20
3
10
x
x



移项合并同类项得，2
10
x 
系数化为1 得，
5
x 
（2）7
9
3(
1)



x
x
去括号得，7
9
3
3
x
x



移项合并同类项得，4
12
x 
系数化为1 得，
3
x 
（3）4
3(2
)
5
x
x



13 / 36
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去括号得，4
6
3
5
x
x


移项合并同类项得，2
2
x


系数化为1 得，
1
x 
（4）2(
1)
6
(
4)
x
x




去括号得，2
2
6
4
x
x




移项合并同类项得，3
12
x 
系数化为1 得，
4
x 
【变式2-2】解方程：
(1)


3
1
2 4
x


(2) 

5
1
2
11
x
x



(3) 1 1 1
2
4
7
10
1
9 6 3
2
x























【答案】(1)
5
x 
(2)
16
3
x 
(3)
4
x 
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求解；
（2）去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求解；
（3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求解；
掌握解方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：3
1 8
2

x，
2
7
3
x 
，
2
10
x 
，

5
x ；
（2）解：5
5
2
11
x
x



，
5
2
11 5
x
x


，
3
6
x 
，
2
x


；
（3）解：1 1
2
4
7
10
9
6 3
2
x

















，
1 1
2
4
7
1
6 3
2
x
















，
14 / 36
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1
2
4
7
6
3
2
x 









，
1
2
4
1
3
2
x 








，
2
4
3
2
x 


，
2
1
2
x 
，
2
2
x 
，

4
x ．
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
【例5】解方程：
1
4
3
1
2
5
x
x




【答案】
7
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一
元一次方程，即可求解．
【详解】解：
1
4
3
1
2
5
x
x




去分母，



5
1
2 4
3
10
x
x




去括号，5
5
8
6
10
x
x



移项，合并同类项，3
21
x


化系数为1，
7
x ．
【例6】解方程∶
1
2
3
1
2
3
x
x



【答案】
13
9
x =
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1．
方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；
【详解】解：
1
2
3
1
2
3
x
x



去分母得，



3
1
6
2 2
3
x
x




15 / 36
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去括号得，3
3
6
4
6
x
x



移项，合并同类项得，9
13
x 
系数化为1 得，
13
9
x =
．
【技巧归纳】
去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是
多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如(x+1)/2 - x/3 = 1，乘以6 得3(x+1)-2x=6。检验分母不
为0。注意整数项同样乘LCM。
【变式3-1】解方程：
(1)
3
3
25
2
x
x



；
(2) 3
1
5
7
1
4
6
y
y



．
【答案】(1)
81
23
x 
(2)
1
y 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
3
3
25
2
x
x



，
去分母，得




2
3
25
3
x
x



，
去括号，得2
6
25
75
x
x



，
移项，得2
25
75
6
x
x



，
合并同类项，得
23
81
x


，
系数化为1，得
81
23
x 
；
（2）解：3
1
5
7
1
4
6
y
y



，
去分母，得



3 3
1
12
2 5
7
y
y




，
去括号，得9
3 12
10
14
y
y



，
移项，得9
10
12
3 14
y
y




，
合并同类项，得
1
y

，
系数化为1，得
1
y ．
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【变式3-2】（1）解方程：3
1
2
1
3
4
x
x



；
（2）解方程：3
7
1
2
1
4
6
3
x
x
x





．
【答案】（1）
2
3
x 
；（2）
5
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：（1）3
1
2
1
3
4
x
x



，
去分母得，



4 3
1
12
3
2
x
x




，
去括号得，12
4
12
3
6
x
x




，
移项得，12
3
12
6
4
x
x




，
合并同类项得，15
10
x 
，
化系数为1 得，
2
3
x 
；
（2）3
7
1
2
1
4
6
3
x
x
x





，
去分母得，





3 3
7
2
1
4 2
1
x
x
x





，
去括号得，9
21
2
2
8
4
x
x
x





，
移项得，9
2
8
21
2
4
x
x
x





，
合并同类项得，3
15
x 
，
化系数为1 得，
5
x 
．
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
【例7】解方程：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x


【答案】
42
29
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括
号，移项、合并同类项即可解决．
【详解】解：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x


，
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原方程化为：10
12
3
1
3
2
x
x


，
去分母，得：


20
6
3 12
3
x
x



，
去括号得：20
6
36
9
x
x



，
移项，得：20
9
6
36
x
x



，
合并同类项，得：29
42
x 
，
系数化为1，得
42
29
x 
．
【例8】解方程：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.


．
【答案】
0.2
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一
元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x
a

形式转化．先化
整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】解：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.


，
方程整理得：
3 15
5
1
2
x
x


，
去分母得：10
2
3 15
x
x



，
移项合并得：25
5
x 
，
解得：
0.2
x 
．
【技巧归纳】
先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100 变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10 的幂，
使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏项。如0.2x-0.3=0.5→乘以10 得2x-3=5。解后
检验。
【变式4-1】解方程：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x



；
【答案】
9
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的
关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可；
【详解】解：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x



，
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整理得：2
1
3
1
1
3
6
x
x



，
去分母得：


2 2
1
3
1
6
x
x




，
去括号得：4
2
3
1
6
x
x



，
∴4
3
6
2 1
x
x



，
解得：
9
x 
；
【变式4-2】解方程
(1) 5 3
:
6 4
0.4
x

(2) 2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x




【答案】(1)
4
9
x 
；
(2)
29
13
x 
．
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据比例的基本性质可得3
5
0.4
4
6
x 

，即可求解；
（2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1 即可．
【详解】（1）解：5 3
:
6 4
0.4
x

，
∴3
5
0.4
4
6
x 

，
∴3
4
1
3
x 
，
解得：
4
9
x 
；
（2）解：2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x




，
∴200
650
1400
300
0
3
3
2
x
x




，
∴


400
1300
3 1400
300
0
x
x




，
∴1300
2900
x 
，
解得：
29
13
x 
．
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题型5 一元一次方程的错解复原问题
【例9】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3
2
3
1
6
8
x
x



．




4
3
3 2
3
24
x
x




，（第一步）
4
12
6
9
24
x
x




，（第二步）
4
6
24
12
9
x
x




，（第三步）
2
45
x


，（第四步）
45
2
x 
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0 的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负
号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)
27
2
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案；
②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0 的数，等式仍然成立，
故答案为：等式两边同时乘以一个不为0 的数，等式仍然成立；
②第二步开始出现错误，
原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：
3
2
3
1
6
8
x
x




去分母，得：



4
3
3 2
3
24
x
x




，
去括号，得：4
12
6
9
24
x
x




，
移项，得：6
4
12
9
24
x
x



，
合并同类项，得：2
27
x 
，
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系数化1，得：
27
2
x 
．
【例10】以下是圆圆解方程
1
3
1
2
3
x
x



的解答过程．
解：去分母，得3(
1)
2(
3)
1
x
x




去括号，得3
1 2
3
1
x
x



移项，合并同类项，得
3
x ．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程
1
3
1
0.2
0.3
x
x



．
【答案】(1)有错误，见解析
(2)
42
5
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解
一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答．
（2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下：
1
3
1
2
3
x
x



，
去分母，得(
1)
2
3)
6
3
(
x
x




，
去括号，得3
3
2
6
6
x
x



，
移项，合并同类项，得
3
x ；
（2）解：
1
3
1
0.2
0.3
x
x



，
10(
3)
5(
1)
1
3
x
x



，
去分母得15(
1)
10(
3)
3
x
x




，
去括号得15
15
10
30
3
x
x




，
移项得15
10
3
15
30
x
x




，
合并同类项得5
42
x 
，
系数化1 得
42
5
x 
．
【技巧归纳】
从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏
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项）。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方程。
分析差异。
【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
2
1
2
6
x
x 


解：______，得


3
2
6
x
x



第一步
去括号，得3
2
6
x
x



第二步
移项，得3
6
2
x
x



第三步
合并同类项，得2
8
x 
第四步
方程两边同除以2，得
4
x 
第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母
(2)三
(3)见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
2
1
2
6
x
x 


两边同乘6 得：
¬
3
(
2)
£
6
x
x



，
去括号得：3
2
6
x
x



，
移项得：3
6
2
x
x



，
合并同类项得：2
4

x
，
两边同除以2，得
2
x 
．
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【变式5-2】以下是小明解方程
1
3
1
2
3
x
x



的解答过程．
解：去分母，得



3
1
2
3
1
x
x



第一步
去括号，得3
1 2
3
1
x
x


第二步
移项，得3
2
1 1
3
x
x


第三步
合并同类项，得
3
x 第四步
(1)以上过程中是从第______步开始出错的．
(2)第一问中出现错误的原因____________．
(3)写出这个方程的正确解答过程．
【答案】(1)一
(2)去分母的时候方程右边没有乘以6
(3)
3
x ，过程见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6；
（2）由（1）可得答案；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右
边没有乘以6；
故答案为：一；
（2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6，
故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6；
（3）解：
1
3
1
2
3
x
x




去分母得：



3
1
2
3
6
x
x




，
去括号得：3
3
2
6
6
x
x



，
移项得：3
2
6
3
6
x
x



，
合并同类项得：
3
x ．
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
【例11】已知方程
1
7
ax 
与方程2
6
10
x 

的解相同，则a 的值为
．
【答案】4
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
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【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一
元一次方程的一般步骤，可得2
6
10
x 

的解，把解代入方程
1
7
ax 
，解方程可得答案．
【详解】解：2
6
10
x 

解得：
2
x 
，
∵方程
1
7
ax 
与方程2
6
10
x 

的解相同，
∴把
2
x 
代入
1
7
ax 
得：2
1= 7
a 
，
解得：
4
a 
．
故答案为：4
【例12】若方程4
1
7
x 
与2
0
3
a
x



的解相同，则a 的值为
．
【答案】8
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查同解方程，先求出方程4
1
7
x 
的解，将其代入2
0
3
a
x



中，求出a 的值即可．
【详解】解：∵4
1
7
x 
，
∴
2
x 
，
把
2
x 
代入2
0
3
a
x



，得：
2
2
0
3
a 


，
解得：
8
a 
；
故答案为：8．
【技巧归纳】
两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x 的值。再将x 代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均
用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如ax+1=0 与2x+3=0 同解，先
解后者x=-1.5，代入前者求a。
【变式6-1】若关于x 的方程2
1
0
mx 
和3
1
2
1
x
x

有相同的解，则m 
．
【答案】
1
4

/ 0.25

【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于
字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．解方程3
1
2
1
x
x

，把方程的解代入2
1
0
mx 
即
可得到一个关于m 的方程，从而求得m 的值．
【详解】解：解方程3
1
2
1
x
x

得：
2
x 
，
把
2
x 
代入方程2
1
0
mx 
得：4
1
0
m 
，
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解得：
1
4
m 
．
故答案为：
1
4

．
【变式6-2】若方程
4
2
8
3
2
x
x




的解与关于x 的方程4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a




的解相同，则a 的值
为
．
【答案】4

【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可
求得a 的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
【详解】解：
4
2
8
3
2
x
x




，
去分母得



2
4
48
3
2
x
x




，
去括号2
8
48
3
6
x
x



，
移项合并得5
50
x 
，
解得得
10
x 
，
解4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a




，
移项合并得：2
5
x
a


，
解得
5
2
x
a

，
由题意得：
5 =10
2 a

，
解得
4
a ．
故答案为：4
．
题型7 一元一次方程整数解问题
【例13】若关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x


的解为正整数，整数a 的值是
．
【答案】2 或3 或4 或7
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】首先解方程表示出x 的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方
程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】解：2
(
1)
6
ax
a
x


，
移项得：2
(
1)
6
ax
a
x


，
合并同类项得：(
1)
6
a
x

，
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系数化为1 得：
6
1
x
a

，
关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x


的解为正整数，

6
1
x
a

为正整数，
1
1
a
或
1
2
a 
或
1
3
a 
或
1
6
a 
2
a


或
3
a 
或
4
a 
或
7
a 
．
故答案为：2 或3 或4 或7
【例14】若关于x 的方程
3
2
1
ax
x


的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值为
．
【答案】2
，0 和1
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x 的一元一
次方程，然后根据
0
x 
，即可得到答案．
【详解】解：
3
2
1
ax
x


，
4
2
x
a


，
0
x >
，
4
0
2
x
a



，
4
要为2
a

的倍数，
2
a

或0 或1．
故答案为：2
，0 和1．
【技巧归纳】
方程ax=b 有整数解，需a 整除b。若含参数，将解表示为x=b/a，再根据整除性求参数值。注意参数需使a
≠0。常利用因数分解，列出a 的因数。如(m-2)x=6 有整数解，则m-2 为6 的因数，可求m。检验解的正负。
【变式7-1】关于x 的一元一次方程
1
3
2
kx
x


的解为整数，则所有整数k 的和为
．
【答案】8
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把x 的系数化为1，表示出方程
的解，由方程的解为整数，确定出整数k 的值即可．
【详解】解：
1
3
2
kx
x


kx
x



1
6
2
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kx
x


2
5


k
x


2
5
x
k


5
2
解为整数，

3
k 
或
7
k 
或
3
k 或
1
k ，
则所有整数k 的和为




3
7
1
3
8，
故答案为：8 ．
【变式7-2】已知关于x 的方程
4
2
2
3
mx
x



的解是非负整数，则符合条件的所有整数m 的和是
．
【答案】6

【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m
的值，进而得出答案．
【详解】解：
4
2
2
3
mx
x



，
∴6
4
6
x
mx



，
∴6
4
6
x
mx



，
∴
10
6
x
m


，
方程
4
2
2
3
mx
x



的解是非负整数，
∴6
m

为1 或2 或5 或10，
m

的值为5
或4
或1
或4，
∴5
4 1
4
6


，
故答案为：6
．
一、单选题
1．解方程

2
1
3
4
x
x



，去括号正确的是（
）
A．2
1
3
4
x
x


B．2
2
3
4
x
x



C．2
1
3
4
x
x


D．2
2
3
4
x
x



【答案】B
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【详解】解：

2
1
3
4
x
x



，
去括号得：2
2
3
4
x
x



．
2．已知关于x 的一元一次方程


1
3
2
m x
x
m



的解是
2
x 
，则m 的值为（
）
A．2
B．3
C．6

D．0
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，将已知解
2
x 
代入原方程，得到关于m 的一元一次方程，求解即可得到m
的值．
【详解】解：∵一元一次方程


1
3
2
m x
x
m



的解为
2
x 
，
∴将
2
x 
代入原方程，得


2 1
3 2
2
m
m



，
化简得
6
2
m
m


，
移项合并同类项得͵써ݹ坐，
解得
2
m 
．
3．解方程
1
2
3
1
2
3
x
x




时，去分母正确的是（
）
A．



3
1
2 2
3
1
x
x




B．



3
1
2 2
3
6
x
x




C．3
1 4
3
1
x
x



D．3
1 4
3
6
x
x



【答案】B
【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号．
【详解】解：∵方程
1
2
3
1
2
3
x
x




的分母为2 和3，最小公倍数是6 ，
∴给方程两边同时乘6 去分母，得：



3
1
2 2
3
6
x
x




．
4．小明解方程2
1
1
5
2
x
x
a



时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的1
没有乘以10，由此求得的
解为
4
x 
，则方程2
1
1
5
2
x
x
a



正确的解是（
）
A．
4
x 
B．
7
x 
C．
10
x 
D．ݔݹ㌶͵
【答案】D
【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数a 的值，再将参数a 的值代入原方程
求解，即可解题．
【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的1
没有乘以10，
∴错误去分母得到的方程为：



2 2
1
5
1
x
x
a



，
将
4
x 
代入错误方程，得



2 2 4 1
5 4
1
a



，
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解得
1
a ，
将
1
a 代入原方程，得2
1
1 1
5
2
x
x



，
两边同乘10 正确去分母，得



2 2
1
5
1
10
x
x




，
展开得4
2
5
5 10
x
x



，
移项合并得
13
x

，
解得ݔݹ㌶͵，
∴方程正确的解为ݔݹ㌶͵．
5．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
b



的解为
3
x ，那么关于y 的一元一次方程




1
1
3
2
1
2026 y
y
b





的解为y （
）
A．1
B．1

C．3

D．4

【答案】D
【分析】通过变量代换，将关于y 的方程转化为关于x 的方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设
1
z
y

，
则方程




1
1
3
2
1
2026 y
y
b





化为
1
3
2
2026 z
z
b


，
此方程与已知方程
1
3
2
2026 x
x
b



同解，
已知解为
3
x ，
故
3
z ，
即
1
3
y ，
解得ݕݹെͶ．
二、填空题
6．若ݔᦙ䁪与
8
x 互为相反数，则x ________．
【答案】3
【详解】解：
2
x 
与
8
x 互为相反数，
2
8
0
x
x




，
解得
3
x 
．
7．已知关于x 的方程4
2
5
1
x
m
x


的解与方程3
6
1
x
x

的解相同，则m 的值为________．
【答案】
䁪
͵
【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x 的值，再将x 代入含参数的方
程，即可求出参数m 的值．
【详解】解：解方程3
6
1
x
x

，
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解得
1
3
x 
．
解方程4
2
5
1
x
m
x


，
解得
2
1
x
m

．
两个方程的解相同，
1
2
1
3
m



，解得
2
3
m 
．
8．小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a



时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x 
，则方程正确的解
x _____．
【答案】7
【分析】先根据小明错误的解法求出
1
a ，从而可得原方程为2
1
1 1
3
2
x
x



，再解一元一次方程即可得
出结果．
【详解】解：∵小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a



时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x 
，
∴



2 2
1
3
1
x
x
a



，
∴将
2
x 
代入



2 2
1
3
1
x
x
a



可得




2
2 2 1
3 2
1
a





，
解得：
1
a ，
∴原方程为2
1
1 1
3
2
x
x



，
去分母可得：



2 2
1
3
1
6
x
x




，
解得：
7
x 
．
9．对于任意实数m ，݊，定义一种运算：
1
m
n
mn
m
n




※
，例如3
( 2)
3 ( 2)
3
( 2)
1
0





※
．请
根据上述定义解决问题：若
( 3)
2
x


※
，则x 的值为________．
【答案】1
【分析】根据新定义的运算规则列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：由


3
2
x


※
，可得：


3
3
1
2
x
x




，
整理得：2
4
2
x



，
移项合并同类项得：2
2
x

，
系数化为1得：
1
x ．
10．若关于x 的方程
2
1
1
3
2
kx
x



的解是负整数，且k 也是整数，则满足条件的所有k 的值为_________．
【答案】1
，1
【分析】先解关于x 的一元一次方程，用含k 的代数式表示出x ，根据方程的解是负整数，k 为整数，可知
2
3
k 是5的负因数，进而求出所有满足条件的k 的值．
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【详解】解：
2
1
1
3
2
kx
x




去分母，得



2
2
3
1
6
kx
x




去括号，得2
4
3
3
6
kx
x




移项合并同类项，得

2
3
5
k
x


解得
5
2
3
x
k


方程的解x 是负整数，k 是整数
2
3
k


是5的负因数，即2
3
1
k 
或2
3
5
k 

当2
3
1
k 
时，
解得݇ݹ㌶，符合题意
当2
3
5
k 
时，
解得݇ݹെ㌶，符合题意
故满足条件的所有k 的值为1
，1．
三、解答题
11．解方程：
(1)2
5
3
1
x
x


；
(2) 



2
4
3
5
x
x



；
(3) 2
1
2
3
1
3
4
x
x



．
【答案】(1)
6
x 
(2)
23
x 
(3)
7
2
x 
【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可．
（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】（1）解：2
5
3
1
x
x


，
移项得：2
3
1 5
x
x


，
合并同类项得：
6
x
，
系数化为1得：
6
x 
；
（2）解：



2
4
3
5
x
x



，
去括号得：2
8
3
15
x
x



，
移项得：2
3
15
8
x
x



，
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合并同类项得：
23
x

，
系数化为1得：
23
x 
；
（3）解：2
1
2
3
1
3
4
x
x



，
去分母得：



4 2
1
3 2
3
12
x
x




，
去括号得：8
4
6
9
12
x
x




，
合并同类项得：2
5
12
x 

，
移项得：2
7
x 
，
系数化为1得：
7
2
x 
．
12．解下列方程．
(1) 3
1
5
7
1
4
6
y
y



；
(2) 5
4
1
5
5
2
3
4
12
y
y
y






；
(3) 4
11
8
3
3
2
x
x



；
(4)1
2
3
1
3
3
7
x
x



．
【答案】(1)
1
y


(2)
4
7
y 
(3)
2
3
x


(4)
67
23
x 
【详解】（1）解：3(3
1) 12
2(5
7)
y
y




9
3 12
10
14
y
y



9
10
14
3 12
y
y



1
y


1
y


（2）解：4(5
4)
3(
1)
24
(5
5)
y
y
y






20
16
3
3
24
5
5
y
y
y






23
13
29
5
y
y



28
16
y 
4
7
y 
（3）解：8
48
18
33
x
x



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48
33
18 8
x
x




15
10
x
-
=
2
3
x


（4）解：7(1
2 )
3(3
1)
63
x
x




7 14
9
3
63



x
x
14
9
3
63
7





x
x
23
67
x


67
23
x 
13．在解方程
1
5
0.3
0.4
x
x 


时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法：
淇淇的解法：
利用分数的性质，
得10
5
5
5
3
2
x
x 


，
……
利用等式的性质，
得
1
1
3
4
2
x
x 


，
……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将
1
0.4
x 的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等
式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
【答案】(1)
5；
㌶
㌶Ͳ；10
(2)
3
x 
【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果．
（2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
1
0.4
x
变形为5
5
2
x
，是将分子分母同时扩大为原来的5倍．
原方程
1
5
0.3
0.4
x
x


变形为
1
1
3
4
2
x
x


，是将等式两边同时乘
㌶
㌶Ͳ或0.1，也可同时除以10得到，
因此对应结果为5，
㌶
㌶Ͳ或0.1，10．
（2）解：选择嘉嘉的解法进行计算
原方程变形得：10
5
5
5
3
2
x
x


两边同乘6 去分母得：20
3(5
5)
30
x
x



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去括号得：20
15
15
30
x
x



移项合并同类项得：5
15
x 
系数化为1 得：
3
x 
若选择淇淇的解法，过程如下：
原方程变形得：
1
1
3
4
2
x
x


两边同乘12 去分母得：4
3(
1)
6
x
x



去括号得：4
3
3
6
x
x



移项合并同类项得：
3
x 
．
14．已知代数式
4
7
A
x


，


3 2
B
x
m


，解答下列问题：
(1)若
3
m 
，则x 为何值时，代数式A 与B 相等？
(2)若关于x 的方程

1
1
3
1
5
2
x
x


的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，求m 的值．
【答案】(1) x 的值为8 时，这两个代数式的值相等
(2)m 的值为9
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解；
（2）先解出关于x 的方程，再根据关于x 的方程的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，可得到关于
m 的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得



4
7
3 2
3
x
x



．
解这个方程，得ݔݹ䘑．
答：x 的值为8 时，这两个代数式的值相等．
（2）解：解方程

1
1
3
1
5
2
x
x


，得
2
x 
．
由代数式4
7
x 
和

3 2x
m

的值互为相反数，得：



4
7
3 2
0
x
x
m




．
将
2
x 
代入上式中，得



8
7
3 4
0
m




．
解这个方程，得
9
m 
．
答：m 的值为9．
15．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程䁪ݔͶݹ和3
6
0
x 

为“互逆方程”．
(1)方程2
4
1
x
x


与2
10
x


（填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x 的方程3
3
0
x 

与6
0
x
c


为“互逆方程”，求c 的值；
(3)若关于x 的方程2
3
2
0
x
m



和3
5
4
0
x
m



为“互逆方程”，求m 的值．
【答案】(1)是
(2)ܿݹ坐
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(3)
2
m 
【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断；
（2）求出方程3
3
0
x 

的解，然后根据定义得出方程6
0
x
c


的解，即可求出参数；
（3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解．
【详解】（1）解：方程2
4
1
x
x


与2
10
x


是“互逆方程”，理由如下：
解方程2
4
1
x
x


得，
5
x 
；
解方程2
10
x


得，
5
x


；
∵5和5
互为相反数，
∴方程2
4
1
x
x


与2
10
x


是“互逆方程”；
（2）解：3
3
0
x 

，
解得：ݔݹെ㌶；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴6
0
x
c


的解为
1
x ，代入方程可得6
0
c


，
∴ܿݹ坐；
（3）解：2
3
2
0
x
m



，
解得
3
2
2
m
x



；
3
5
4
0
x
m



，
解得
5
4
3
m
x


；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴
3
2
5
4
0
2
3
m
m





，
解得
2
m 
．
16．定义：若
1x ，
2x 分别是关于x 的方程P、方程Q 的解，且
1
2
x
x
n


（n 为非零常数），则称方程P 是
方程Q 的“n 阶伴生方程”．例如：方程
1
2
x 
的解是
1
3
x 
，方程
2
0
x 

的解是
2
2
x


，且


1
2
3
2
1
x
x



，则称方程
1
2
x 
是方程
2
0
x 

的“1 阶伴生方程”．
(1)下列方程中是
3
1
x 
的“2 阶伴生方程”的是________（填写序号即可）；
①2
4
0
x 

；②1
4
3
3
x
x


；③3
15
0
x 

；
(2)若方程
2
5
x 

是关于x 的方程3
6
x
k


的“4 阶伴生方程”，求k 的值；
(3)对任意满足4
1
0
k 
的k 值，关于x 的方程2
2
3
6
kx
a
x
bk




都是方程
2
1
6
2
x
x 

的“n 阶伴生方程”，
试判断8a
b

的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)①
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(2)݇ݹെ͵
(3)8a
b

的值是定值，定值为Ͷ䘑
【分析】（1）先求出方程
3
1
x 
的解，再根据“2 阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证；
（2）分别求出两个方程的解，再根据“4 阶伴生方程”的定义列方程求k 的值；
（3）分别求出两个方程的解，根据“n 阶伴生方程”的定义得到关于a、b 的等式，进而判断8a
b

是否为定
值．
【详解】（1）解：∵
3
1
x 
，
∴
4
x 
．
由“2 阶伴生方程”定义，得ݔ㌶ᦙݔ䁪ݹ䁪，则
2
2
4
2
x 

．
①解2
4
0
x 

2
4
x ，
2
x


，符合；
②1
4
3
3
x
x


2
4
3
3
x


，
2
x 
，不符合；
③3
15
0
x 

3
15
x 
，
5
x


，不符合．
故答案为：①；
（2）解：∵
2
5
x 

，
∴
3
x 
．
∵3
6
x
k


，3
6
x
k


，
∴
6
3
k
x


．
由“4 阶伴生方程”定义，得
6
3
4
3
k



，
解得݇ݹെ͵；
（3）解：
2
1
6
2
x
x 

，
去分母：
3(
2)
6
x
x



，
∴
3
x 
．
2
2
3
6
kx
a
x
bk




，
2(2
)
12
kx
a
x
bk




，
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4
2
12
kx
a
x
bk




，
(4
1)
12
2
k
x
bk
a




，
∵4
1
0
k 
，
∴
12
2
4
1
bk
a
x
k




．
由题意，
12
2
3
4
1
bk
a
n
k





（݊
为定值）
3(4
1) 12
2
(4
1)
k
bk
a
n
k






，
12
3 12
2
4
k
bk
a
nk
n





，
(12
)
(9
2 )
4
b k
a
nk
n




，
则
12
4
9
2
b
n
a
n






．
由9
2a
n


，得
2
9
n
a

，代入12
4
b
n


，
12
4(2
9)
b
a



，
12
8
36
b
a



，
8
48
a
b


，
故当任意满足4
1
0
k 
的k 值，8a
b

的值是定值，定值为Ͷ䘑．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群 
满
或
未
通
过
： 
请 
至 
左 
侧 
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