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第15 讲实际问题与一元一次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
实际问题、一元一次方
程、等量关系、建模、
行程问题、配套问题、
检验。
1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世
界的有效模型。
2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。
3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。
4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，
培养分析问题、解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。
学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问
题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 实际问题与一元一次方程
1.列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
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【易错提醒】
列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如
人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。
即时即练1．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米
三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50 斗谷子能出
30 斗米，即出米率为3
5 ．今有米在容量为10 斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成
米，共得米7 斗．问原来有多少斗米？（不计损耗）
【答案】原来有5
2 斗米
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x 斗米，则后加入
10
x
斗谷子，由题意列出方
程，解方程即可．
【详解】解：设原来有x 斗米，则后加入
10
x
斗谷子，
根据题意，得
3 (10
)
7
5
x
x
，
解得
5
2
x
，
答：原来有5
2 斗米．
2．（23-24 七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000 元的资金购进A，B 两种商品共400 件，并在“双十二”
期间销售，两种商品的进价和售价如表所示：
进价（元）
售价（元）
A
40
60
B
20
30
(1)求A 商品购进的数量．
(2) A 商品售出1 ,
4 B 商品售出1
3 后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件A 商品送一件B 商品，单独购买
B 商品优惠m 元”的促销活动．一段时间后，A，B 两种商品全部售完．已知剩余的A 商品都参加了促销活
动，销售A，B 两种商品共获利2125 元，求m 的值．
【答案】(1)购进A 商品的数量为100 件
(2)
5
m
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
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（1）设购进A 商品的数量为x 件，则购进B 商品的数量为
400
x
件，根据400 件商品的花的费用为10000
元，列出方程，解方程即可；
（2）根据销售A，B 两种商品共获利2125 元，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进A 商品的数量为x 件，则购进B 商品的数量为
400
x
件，
依题意得
40
20 400
10000
x
x
，
解得：
100
x
，
400
300
x
（件），
答：购进A 商品的数量为100 件，则购进B 商品的数量为300 件；
（2）解：A 商品售出1
4 ，即
1
100
25
4
（件），剩余100
25
75
（件），
B 商品售出1
3 ，即1
300
0
3
1 0
（件），剩余300 100
200
（件），
剩余的A 商品都参加了促销活动，即促销活动卖出A 商品75 件，赠送B 商品75 件，再剩下的125 件B 商品
以优惠全部卖出，
依题意得：
100
60
40
125 (30
20) 100
30
20
75
0
20
2125
m
，
整理得
100 20 125
10
100 10 1500
2125
m
，
即2000
1250 125
1000 1500
2125
m
，
解得
5
m
．
3．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头
盔的安全意识不断提高．某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售．于是商店老板联系了批发商，他
们之间的对话如下：
你好！请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是A 型100元/ 个；B 型120元/ 个；C 型150元/ 个
．如果你买的多的话还有下面的优惠方案：
①一次性累计购买50个及以上九五折优惠
②一次性累计购买100个及以上九折优惠
(1)若该商店计划一次性购进A 型安全头盔30个和B 型安全头盔20 个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用9900 元一次性购进两种不同型号的安全头盔100个，请你研究一下该商店的进货方案有
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哪几种？
【答案】(1)共需要5130元
(2)该商店的进货方案有2 种，方案1：购进50个A 型安全头盔，50个B 型安全头盔；方案2 ：购进80 个A 型
安全头盔，20 个C 型安全头盔．
【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是
解题的关键．
（1）根据题意列出算式得
100 30 120 20
95%
，即可求解；
（2）购进A ，B 两种不同型号的安全头盔，购进A ，C 两种不同型号的安全头盔，购进B ，C 两种不同型
号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
100 30 120 20
95%
3000
2400
95%
5400 95%
5130(
元) ．
答：共需要5130元；
（2）解：当购进A ，B 两种不同型号的安全头盔时，设购进a 个A 型安全头盔，则购进
100
a
个B 型安
全头盔，
根据题意得：
100
120 100
90%
9900
a
a
，
解得：
50
a
，
100
100
50
50(
a
个) ；
当购进A ，C 两种不同型号的安全头盔时，设购进b 个A 型安全头盔，则购进
100
b
个C 型安全头盔，
根据题意得：
100
150 100
90%
9900
b
b
，
解得：
80
b
，
100
100
80
20(
b
个) ；
当购进B ，C 两种不同型号的安全头盔时，设购进c 个B 型安全头盔，则购进
100
c
个C 型安全头盔，
根据题意得：
120
150 100
90%
9900
c
c
，
解得：
4000 (
3
c
不符合题意，舍去) ．
该商店的进货方案有2 种，
方案1：购进50个A 型安全头盔，50个B 型安全头盔；
方案2 ：购进80 个A 型安全头盔，20 个C 型安全头盔．
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题型1 一元一次方程的应用之古代问题
【例1】列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车
空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3 人，空出来2 车；每车坐2 人，9 人没车坐，
问车有多少辆？”
【答案】15 辆
【分析】本题考查一元一次方程的应用，能根据题意找出等量关系，并根据等量关系列出方程是解决此题
的关键．设车有x 辆，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x 的一元一次方程，
解方程即可得解．
【详解】解：设车为x 辆，根据题意，得
3
2
2
9
x
x
解得，
15
x
答：车有15 辆．
【例2】《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：
有多少户人家？大意为：有100 头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3 户分一头，
恰好分完，问共有多少户人家？
【答案】共有75 户人家
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设共有x 户人家，根据“有100 头
鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3 户分一头，恰好分完”，可列出关于x 的一元一
次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设共有x 户人家，
100
3
x
x
，
解得
75
x ，
答：共有75 户人家．
【技巧归纳】
用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三
三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否
符合题意。通常为一次方程。
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【变式1-1】相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2 是洛书的数字表示．这也
就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9 个数填入3 3
的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角
线上的数字之和都相等，图3，图4 的幻方均满足此规律．
(1)请填出图3 幻方空格中的数．
(2)求图4 幻方中x 的值．
【答案】(1)见解析
(2) 4
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类．
（1）由第3 列上的3 个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方
格中的数，将其填入图3 中即可；
（2）由对角线及第1 列上的3 个数之和相等，可求出第2 行第1 个方格中的数，利用两对角线上的3 个数
之和相等，可求出第1 行第3 个方格中的数，再结合对角线及第1 列上的3 个数之和相等，可列出关于x
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵第3 列上的3 个数之和为3
4
1
6
，
∴第1 行第2 个方格中的数为
6
5
3
2
，
第2 行第1 个方格中的数为
6
5
1
0
，
第2 行第2 个方格中的数为
6
0
4
2
，
第3 行第2 个方格中的数为
6
1
1
6
，
将图3 中的数据补充完整，如图所示；
（2）解：第2 行第1 个方格中的数为3
2
4
9
，
第1 行第3 个方格中的数为
9
3
2
10
，
根据题意得：
9
4
10
3
4
x
，
解答：
4
x ．
答：图4 幻方中x 的值为4
．
【变式1-2】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日
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减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”
译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，
最后一天仅织了一尺布，30 天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题．
【答案】一共织了90尺布
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设每天减少x 尺布，根据题意得出5
29
1
x
，解方程得出
4
29
x
，
进而根据题意根据列出算式进行计算即可求解．
【详解】解：设每天减少x 尺布，
∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30 天完工，
∴5
29
1
x
，解得
4
29
x
，
∴
1 28
28
4
4
4
5
5
5
2
1
5 29 1
90
29
29
29
2
（尺）．
答：一共织了90尺布．
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
【例3】随着3D 打印技术越来越成熟，家用3D 打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、
乙两种型号的家用3D 打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元．
(1)设每台乙型打印机为x 元，则每台甲型打印机为元(用x 表示)．
(2)若购买3台甲型打印机和2 台乙型打印机共花费18000 元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？
【答案】(1)
1000
x
(2)每台甲型、乙型打印机的进价各是4000 元，3000元
【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，写出每台甲型打印机的进价、掌握一元一次方程的解
法是解题的关键．
（1）根据“每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元”计算即可；
（2）根据题意，列关于x 的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：每台甲型打印机为
1000
x
元．
故答案为：
1000
x
．
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（2）根据题意，得
3
1000
2
18000
x
x
，
解得
3000
x
，
3000
1000
4000(
元) ．
答：每台甲型打印机的进价为4000 元，每台乙型打印机的进价为3000元．
【例4】试根据图中信息，解答下列问题：
(1)购买5 根跳绳需_____元，购买15 根跳绳需_____元．
(2)小红比小明多买3 根，付款时小红反而比小明少9 元，请求出小红购买跳绳的根数．
【答案】(1)75，157.5
(2)小红购买跳绳12 根
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
（1）根据题意列出算式即可；
（2）设小红购买跳绳x 根，根据题意列出方程进而求解．
【详解】（1）解：∵5 15
75
（元），15 15 0.7
157.5
（元），
∴购买5 根跳绳需75 元，购买15 根跳绳需157.5元；
故答案为：75，157.5；
（2）解：设小红购买跳绳x 根，则小明购买跳绳
3
x
根，
根据题意得：
15
0.7
9
15
3
x
x
，
解得：
12
x
．
答：小红购买跳绳12 根．
【技巧归纳】
关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根
据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解
后检验合理性。
【变式2-1】小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4 折出售
将亏40 元，而按标价的8 折出售将赚40 元．
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(1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？
(2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500 件，若标价不变，按标价销售了300 件后，剩下的进行大
甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2 万元，请你告诉小张最低能打几折？
【答案】(1)每双皮鞋的标价为200 元，进价为120 元
(2)小张最低能打5 折
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设每双皮鞋的标价为x 元，则每双皮鞋的进价为
0.4
40
x
元，根据题意列出方程，求出x 的值，即
可解答；
（2）设小张最低能打y 折，根据题意列出方程，求出y 的值即可解答．
【详解】（1）解：设每双皮鞋的标价为x 元，则每双皮鞋的进价为
0.4
40
x
元，
由题意得，
0.8
0.4
40
40
x
x
，
解得：
200
x
，
则0.4
40
0.4 200
40
120
x
，
答：每双皮鞋的标价为200 元，进价为120 元．
（2）解：设小张最低能打y 折，
由题意得，
300
200 120
500
300
200
120
20000
10
y
，
解得：
5
y
，
答：小张最低能打5 折．
【变式2-2】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯，若购买60 只甲型号节能灯和40 只乙型号节能灯共需2400
元．其中甲、乙两种型号的节能灯的进价、售价如下表：
型号
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
m
25
乙型
10
m
40
(1)求甲、乙两种型号的节能灯的进价各是多少？
(2)第一次该商店购进甲、乙两种型号的节能灯共200 个，全部售完后总利润（利润售价进价）为1400元，
求该商店甲、乙两种型号的节能灯分别购进多少只？
(3)第二次该商店购进了与第一次一样多的甲、乙两种型号的节能灯，由于两种节能灯的进价都比第一次优
惠了10% ，该商店准备对乙型节能灯进行打折销售，让利于客户，甲型节能灯售价不变，全部售完后总利
润比第一次还多赚160元，求乙型节能灯打了几折？
【答案】(1)甲型节能灯的进价是20 元/ 只，乙型节能灯的进价是30元/只
(2)该商店购进甲型节能灯120只，购进乙型节能灯80只
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(3)9折
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用；
（1）根据表格数据，结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯(200
)
x
只，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可
求解；
（3）设乙型节能灯打了a 折，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得60
40(
10)
2400
m
m
，
解得
20
m
，
10
30
m
，
答：甲型节能灯的进价是20 元/只，乙型节能灯的进价是30 元/只；
（2）设购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯(200
)
x
只，根据题意，得
(25
20)
(40
30)(200
)
1400
x
x
，
解得
120
x
，
200
80
x
．
答：该商店购进甲型节能灯120 只，购进乙型节能灯80 只；
（3）设乙型节能灯打了a 折，根据题意，得
200 只节能灯的进价为(120
20
80 30)(1 10%)
4320
（元），
200 只节能灯的售价为120
25
80
40
(320
3000)
10
a
a
（元），
全部售完200 只节能灯的总利润为320
3000
4320
1400 160
a
，
解得
9
a
．
答：乙型节能灯打了9 折．
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
【例5】按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排
球120 元/个，跳绳20 元/根．某体育用品商店提供A、B 两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：
A 方案：买一个排球送一根跳绳；
B 方案：排球和跳绳都按定价的90%付款．
(1)若学校要购买排球50 个，跳绳100 根，则选择________方案更优惠
若学校要购买排球50 个，跳绳300 根，则选择________方案更优惠；
(2)若学校要购买排球50 个，跳绳x 根（
50
x
），请问购买多少根跳绳时，A、B 两种方案所需要的钱数
一样多？
【答案】(1)A，B
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(2)购买200 根跳绳时，A、B 两种方案所需要的钱数一样多
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
（1）利用总价单价数量，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得
出结论；
（2）根据选择A、B 两种方案所需要的钱数一样多，可列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）若学校要购买排球50 个，跳绳100 根，
选择A 方案所需费用为
120 50
20
100
50
7000
（元）；
选择B 方案所需费用为120 90% 50
20 90% 100
7200
（元），
∵7000
7200
，
∴此时选择A 方案更优惠；
若学校要购买排球50 个，跳绳300 根，
选择A 方案所需费用为
120 50
20
300
50
11000
（元）；
选择B 方案所需费用为120 90% 50
20 90% 300
10800
（元），
∵11000
10800
，
∴此时选择B 方案更优惠．
故答案为：A，B；
（2）根据题意得：
120 50
20
50
120 90% 50
20 90%
x
x
，
解得：
200
x
．
答：购买200 根跳绳时，A、B 两种方案所需要的钱数一样多．
【例6】“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家5A级旅游景区，寒假期间拟定门
票价格为50 元/张，团队票可选择两种购票优惠方案：
方案一：全体人员打八折．
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打九折．
(1)若某团队有100人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？
(2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？
【答案】(1)该团队应该选择方案一
(2)该团队共有45 人
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题．
（1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可；
（2）设团队有x 人，根据题意，可以列出方程
50 0.8
5
0.9 50
x
x
，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
方案一的花费为：100 50 0.8
4000
（元）
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方案二的花费为：(100
5)
50
0.9
4275
（元）
∵4275
4000
，
∴该团队应该选择方案一．
（2）解：该团队共有x 人．
根据题意，得
50 0.8
5
0.9 50
x
x
，
解得
45
x
答：该团队共有45 人．
【技巧归纳】
将两种方案费用表示为含x 的一次式，令相等得临界值。根据x 的范围选择最优方案。若比较大小，列不
等式。注意分类讨论：如x 为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅
助决策。解后验证端点值。
【变式3-1】学校10 月19 日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆
珠笔共1000 支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2 元，买5
支双色圆珠笔和8 支单色圆珠笔共需要6.2 元．
三色圆珠笔级别
球珠直径0.7mm
球珠直径0.5mm
单价
1 元
1.5 元
(1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
(2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校
用880 元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆
珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
【答案】(1)双色圆珠笔的单价为0.6 元，单色圆珠笔的单价为0.4 元
(2)应该选择球珠直径0.5mm 的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是
400 支，购买双色圆珠笔数量为200 支
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设双色圆珠笔的单价为x 元，则单色圆珠笔的单价为
0.2
x
元，根据买5 支双色圆珠笔和8 支单色
圆珠笔共需要6.2 元列出方程解出x 的值可得答案；
（2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m 支，分两种情况：若购买球珠直径0.7mm 的三色笔，
与购买球珠直径0.5mm 的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案．
【详解】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x 元，则单色圆珠笔的单价为
0.2
x
元，
根据题意得：
5
8
0.2
6.2
x
x
，
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解得：
0.6
x
，
0.2
0.6
0.2
0.4
x
，
双色圆珠笔的单价为0.6 元，单色圆珠笔的单价为0.4 元；
（2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m 支，则购买双色圆珠笔数量为
1000
2m
支，
若购买球珠直径0.7mm 的三色笔，
则
0.4
0.6 1000
2
880
m
m
m
，
解得
1400
1000
m
，
∴这种情况不符合题意；
若购买球珠直径0.5mm 的三色笔，
则
1.5
0.4
0.6 1000
2
880
m
m
m
，
解得
400
m
，
1000
2
1000
2 400
200
m
，
应该选择球珠直径0.5mm 的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400
支，购买双色圆珠笔数量为200 支．
【变式3-2】2025 年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B 两种款式出售．B
种款式每个售价比A 种款式贵10 元；购买20 个A 种蛇年吉祥物和30 个B 种蛇年吉祥物共需花费2300 元．
(1)A，B 两种款式吉祥物每件售价各是多少？
(2)复兴中学计划购买B 种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50
个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的7 折优惠；
方案二：前50 个按原售价8 折优惠，超过50 个的部分每个按半价出售．
复兴中学选择哪种方案购买更合算？
(3)年货节期间，A 款吉祥物按原售价9 折出售，B 款吉祥物按原售价的8.8 折出售，打折后一周内两款吉祥
物共售出100 个，若A 款吉祥物进价25 元/个，B 款吉祥物进价30 元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则
A、B 两款吉祥物这周内各售出多少个？
【答案】(1) A 种款式吉祥物每件售价40 元，B 种款式吉祥物每件售价50 元；
(2)见详解
(3)A、B 两款吉祥物这周内分别售出56个，44 个
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【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A 种款式吉祥物每件售价a 元，则B 种款式吉祥物每件售价(
10)
a
元，根据题意列方程并求解即可；
（2）设购买B 种款式吉祥物为x 个，按方案一购买需要
1y 元，按方案二购买需要
2y 元，分别写出
1y 、
2y 关
于x 的表达式，再比较二者大小即可；
（3）设购买A 种款式吉祥物m 个，则购买B 种款式吉祥物(100
)
m
个，根据题意列关于m 的一元一次方程，
再进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设A 种款式吉祥物每件售价a 元，则B 种款式吉祥物每件售价(
10)
a
元．
根据题意，得20
30(
10)
2300
a
a
，
解得
40
a
，
∴40
10
50
（元），
A
种款式吉祥物每件售价40 元，B 种款式吉祥物每件售价50 元；
（2）解：设购买B 种款式吉祥物为
50
x x
个，按方案一购买需要
1y 元，按方案二购买需要
2y 元．
根据题意，
1
0.7
50
35
y
x
x
，
2
50 50 0.8
0.5 50
50
25
750
y
x
x
．
当
1
2
y
y
时，则35
25
750
x
x
，
解得
75
x
；
当
1
2
y
y
时，则35
25
750
x
x
，
解得
75
x
；
当
1
2
y
y
时，则35
25
750
x
x
，
解得
75
x
；
∴50
75
x
∴当购买B 种款式吉祥物大于75个时，选择方案二合算；
当购买B 种款式吉祥物等于75个时，选择方案一和方案二一样合算；
当购买B 种款式吉祥物大于50个且小于75个时，选择方案一合算；
（3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100 个，
∴设购买A 种款式吉祥物m 个，则购买B 种款式吉祥物(100
)
m
个，
∵A 款吉祥物按原售价9 折出售，B 款吉祥物按原售价的8.8 折出售，且A 款吉祥物进价25 元/个，B 款吉
祥物进价30 元/个，
∴
40 0.9
25
50 0.88
30 100
m
m
，
解得
56
m
．
∴100
100
56
44
m
则A、B 两款吉祥物这周内分别售出56个，44 个．
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题型4 一元一次方程的应用之配套问题
【例7】一台仪器由1 个A 部件和3 个B 部件构成．用
3
1m 钢材可以做40 个A 部件或240 个B 部件．现要
用
3
6m 钢材制作这种仪器，应用多少
3
m 钢材做A 部件，多少
3
m 钢材做B 部件，才能制作尽可能多的仪器？
最多能制成多少台仪器？
【答案】用
3
4m 钢材做A 部件，
3
2m 钢材做B 部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器．
【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B 部件的配套关系（1 个A 部件和3 个B 部件构成一台仪器），
设用
3
m
x
钢材做A 部件，
3
6
m
x
钢材做B 部件，通过部件数量的配套比例列方程求解．本题主要考查一
元一次方程在配套问题中的应用，熟练掌握根据部件配套比例建立方程是解题的关键．
【详解】解：设用
3
m
x
钢材做A 部件，则用
3
6
m
x
钢材做B 部件．则，
3 40
240 6
x
x
解得
4
x
，
∴做B 部件的钢材为
3
6
4
2 m
，做A 部件数量：40 4
160
（个），做B 部件数量：240 2
480
（个），
可制作仪器数量：480
3
160
台（此时A 部件和B 部件数量恰好配套），
答：用
3
4m 钢材做A 部件，
3
2m 钢材做B 部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器．
【例8】今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯
笼需要用2 个底面和4 个侧面．现共有120 张卡纸，已知一张卡纸可以制作10 个底面或者20 个侧面，为
了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？
【答案】用60 张卡纸做底面
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用x 张卡纸做底面，用(120
)
x 张卡纸做侧面．根据题意
列出方程求解即可．
【详解】解：设用x 张卡纸做底面，用(120
)
x 张卡纸做侧面．
根据题意，得
2 10
20
120
x
x
解得
60
x
答：用60 张卡纸做底面．
【技巧归纳】
设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2 配套，设生产螺栓x 个，则螺母2x 个。
注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，
解出后验证是否符合题中比例。
【变式4-1】某车间每天能制作500 个甲种零件，或250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），
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甲、乙两种零件各1 个配成1 套产品．现要用30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
【答案】甲种零件应制作10 天，则乙种零件应制作20 天．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系式，列出方程．
设甲种零件应制作x 天，则乙种零件应制作
30
x
天，根据生产的两种零件数量相等，列出方程，解方程
即可．
【详解】解：设甲种零件应制作x 天，则乙种零件应制作
30
x
天，
根据题意得：
500
250 30
x
x
，
解得：
10
x
，
∴30
30 10
20
x
，
答：甲种零件应制作10 天，则乙种零件应制作20 天．
【变式4-2】某车间为提高生产总量，在原有14 名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的
总人数比新调入工人人数的2 倍多6 人．
(1)求新调入多少名工人？
(2)若该车间每名工人每天可以生产240 个螺栓或400 个螺母，若1 个螺栓需要2 个螺母．在新调入工人后，
应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
【答案】(1)新调入8 名工人
(2)应该安排10 名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键．
（1）设调入x 名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2 倍多6 人”列方程，解方程即可得到
答案；
（2）先求出工人总人数，设y 名工人生产螺栓，则
22
y
名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生
产240 个螺栓或400 个螺母，1 个螺栓需要2 个螺母”列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设调入x 名工人，由题意可得：
14
2
6
x
x
，
解得
8
x
，
答：新调入8 名工人；
（2）解：由（1）得工人总人数为
14
22
x
（名），
设y 名工人生产螺栓，则
22
y
名工人生产螺母，
由题意可得，
2 240
400 22
y
y
，
解得：
10
y
，
答：应该安排10 名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
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题型5 一元一次方程的应用之工程问题
【例9】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30 天完成，乙单独做20 天完成，合同规定15 天完成，
否则每超过1 天罚款1000 元．
(1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？
(2)现两人合作了这项工程的75% ，因别处有急事，必须调走1 人．调走谁更合适？
【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程
(2)调走甲更合适
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题．
（1）设甲乙合作需要x 天完成，建立方程求出合作时间，再与15 进行比较可以得出结论；
（2）先求出完成75% 需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后
与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x 天．
则
1
30
20
x
x
，解得
12
x
．
因为12
15
，
所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程；
（2）解：设两人合作a 天完成工程的75% ．
则
3
30
20
4
a
a
解得
9
a
．
若调走甲，则乙还需1
1
5
4
20
（天）；
若调走乙，侧甲还需1
1
7.5
4
30
（天）．
因为9
5
14
（天）
15
天，
9
7.5
16.5
（天）
15
天，
所以调走甲更合适．
【例10】一项工程，甲队单独做需18 天，乙队单独做需24 天，如果两队合作8 天后，余下的工程再由甲
队单独完成．
(1)甲队还需多少天才能完成这项工程？
(2)若甲队每天的酬劳为2000 元，乙队每天的酬劳为1500 元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？
【答案】(1)4 天
(2)36000 元
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【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的
关键．
（1）设这项工程为“1”，设甲队还需x 天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可．
（2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为1
18 ，1
24 ，
设甲队还需x 天才能完成这项工程，
根据题意，得
1
1
8
8
1
18
24
x
，
解得
4
x
，
答：甲队还需4 天才能完成这项工程；
（2）解：
8
4
2000
8
1500
24000
12000
36000
（元），
答：完成这项工程共需支付两队36000 元．
【技巧归纳】
将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲
单独x 天，乙单独y 天，合作t 天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否
为正。
【变式5-1】某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单
独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少5 天，并且甲工程队单独完
成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25 天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲先单独修5 天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15 天，乙工程队单独完成此项工程需要10 天．
(2)甲、乙还需合作4 天才能完成此项工程．
【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；
再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程，
（2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系．
【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要x 天，则甲工程队单独完成此项工程需要(2
5)
x
天，
根据题意得：
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(2
5)
25
x
x
，解得
10
x
，
甲单独完成需要的天数为2 10
5
15
（天）
答：甲工程队单独完成此项工程需要15 天，乙工程队单独完成此项工程需要10 天．
（2）设甲、乙还需合作y 天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为
ͳ
ͳͷ，乙每天
工作效率为1
10 ，根据题意得：
1
1
(
5)
1
15
10
y
y
，解得ݕ괰．
答：甲、乙还需合作4 天才能完成此项工程．
【变式5-2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两
车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20 天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，然后
甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)10天
(2) 4700 元
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；
（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送1
20 ，乙车效率为每天运送1
30 ，据此设甲、乙两车合作还
需要x 天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；
（2）根据甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，计算求解即可；
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要x 天运完垃圾，
根据题意得：5
1
30
20
30
x
x
，
解得：
10
x
，
答：甲、乙两车合作还需要10天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了15天，甲队一共工作了10天，
170
30
15 170 10
4700
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金4700 元．
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
【例11】小明、小杰两人在400 米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280 米，小杰每分钟跑220 米．若
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小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
【答案】经过0.8分钟以后小明，小杰第一次相遇
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设x 分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求
出x ，即可求解．
【详解】解：设x 分钟以后小明，小杰第一次相遇，
由题意可得，
220
280
400
x
，
解得
0.8
x
，
答：经过0.8分钟以后小明，小杰第一次相遇．
【例12】A、B 两地间相距30km ，甲从A 地出发匀速前往B 地，甲的速度为4 千米/时，乙的速度为3 千米
/时，甲出发30 分钟后，乙从B 地出发，沿同一条公路匀速前往A 地，问：乙出发多长时间两人相遇？
【答案】4 小时
【详解】解：设乙出发x 小时后两人相遇，由题意得：
1
3
4
30
4
2
x
，
解得：
4
x
；
答：乙出发4 小时后两人相遇．
【技巧归纳】
基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速
度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检
验是否满足实际。
【变式6-1】甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km / h ，一列快车从乙站开出，速度
为90km / h ．
(1)若两车相向而行，慢车先开30min ，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km ？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km （快车在慢车的后面）？
【答案】(1)快车开出9.8h 后两车相遇
(2) 2h 后两车相距1800km
(3)10h 后两车相距1200km
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题
的关键．
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（1）设快车开出h
x 后两车相遇，根据两车行驶路程和为1500km，列出方程式即可解题；
（2）设h
y 后两车相距1800km ，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为1800km ，列出方程式即可解
题；
（3）设h
z 后两车相距1200km ，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多1500 1200
300km
，即可列出
方程式，即可解题．
【详解】（1）解：设快车开出h
x 后两车相遇．
30min
0.5h
．
由题意，得60(
0.5)
90
1500
x
x
，
解得
9.8
x
．
答：快车开出9.8h 后两车相遇．
（2）解：设h
y 后两车相距1800km ．
由题意，得60
90
1500
1800
y
y
，
解得
2
y
．
答：2h 后两车相距1800km ．
（3）解：设h
z 后两车相距1200km ．
由题意，得90z-60z=1500-1200，
解得
10
z
．
答：10h 后两车相距1200km ．
【变式6-2】已知在数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．动点P 从点A
出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从B 点向右运动，速度为每秒2 个单位，PQ
同时出发，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P 和点Q 运动多少秒时，点P 和点Q 第一次相遇？
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度？
【答案】(1) 6
，1
(2)①7
3 秒；②4
3 秒或10
3 秒
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB 表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P 的运动距离加上动点Q 的运动距离等于A，B 两点间的距离，
列方程即可求解；
②根据点P 与点Q 相遇前和相遇后之间的距离为6 个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
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【详解】（1）解∶∵数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．
∴点B 表示的数为8 14
6
，
当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是6
8
1
2
，
故答案为∶6
，1；
（2）解∶①点P 和点Q 运动t 秒时，点P 和点Q 第一次相遇，
则2
4
14
t
t
，
解得
7
3
t
，
即点P 和点Q 运动7
3 秒时，点P 和点Q 第一次相遇；
②设点P 运动t 秒
根据题意得：
当点P 与点Q 相遇前，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
8
4
6
2
6
t
t
，
解得
4
3
t
；
当点P 与点Q 相遇后，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
6
2
8
4
6
t
t
，
解得
10
3
t
，
∴当点P 运动4
3 秒或10
3 秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度．
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是
99，原两位数是
．
【答案】63
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两
位数的个位数字为x ，则十位数字为2x ，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列
出关于x 的一元一次方程，解之可求出x 的值，再将其代入10 2x
x
中，即可求出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为x ，则十位数字为2x ，
根据题意得：10
2
10
2
99
x
x
x
x
，
解得：
3
x
，
10
2
10
2
3
3
63
x
x
，
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原两位数是63．
故答案为：63．
【例14】一个三位数，已知十位数字是Ͳ，个位数字是百位数字的3倍．现将这个三位数的个位数字与百位
数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是1212．设原三位数的百位数字是ݔ．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x 的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
【答案】(1)103x；301x
(2)309
【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位100
十位10
个位），结合已知的个位与百位数字的
倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式；
（2）根据“两数之和为1212”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字ݔ的值，再代入原数的代数式计算
出原三位数即可．
【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是ݔ，则原三位数的个位数字是͵ݔ，新三位数的百位数字是͵ݔ，
个位数字是ݔ，
∴原三位数为100
10 0 1 3
103
x
x
x
；
调换位置后的三位数为100 3
10 0 1
301
x
x
x
；
（2）解：根据题意，得103
301
1212
x
x
，
解得
3
x
，
∴103
309
x
，
答：原三位数是309．
【技巧归纳】
设个位或十位数字为x，用10a+b 表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限
制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。
方程组思想。
【变式7-1】将奇数1至2025 按照顺序排成下表：
记
mn
P 表示第m 行第n 个数，如
23
P 表示第2 行第3个数是17 ．
(1)
43
P ；
(2)将表格中的4 个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4 个数之和能否等于100．若能，求出4 个数中
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的最大数；若不能，请说明理由；
(3)用m 、n 的式子表示
mn
P
；
(4)若
2021
mn
P
，求m 、n 的值．
【答案】(1) 41
(2)不能，理由见解析
(3)12
2
13
m
n
(4)
169
m
，
3
n
【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，
（1）根据题意可知
43
P 表示第4 行第3个数，每行都有6 个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应
的值；
（2）先判断，然后设4 个阴影格子中的数分别为2
3
n 、2
1
n 、2
1
n + 、2
11
n
，即可列出相应的方程，
然后求解即可说明理由；
（3）根据表格中的数据和发现，可以用含m 、n 的代数式表示出
mn
P ．
（4）根据题意，可以得到2
2
13
2021
m
n
1
，然后m 、n 为整数，1
6
n
，即可得到m 、n 的值；
解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
43
2
6 3
3
1
41
P
，
故答案为：41；
（2）所覆盖的4 个数之和不能等于100．
理由：设4 个阴影格子中的数分别为2
3
n 、2
1
n 、2
1
n + 、2
11
n
，
由题意得：
2
3
2
1
2
1
2
11
100
n
n
n
n
，
解得：
11.5
n
，
∵n 为整数，
∴所覆盖的4 个数之和不能等于100；
（3）由题意可得，
2 6
1
1
12
2
13
mn
P
m
n
m
n
，
故答案为：12
2
13
m
n
；
（4）∵
2021
mn
P
，
∴12
2
13
2021
m
n
，
∴
1017
3
169
6
6
n
n
m
，
∵m 、n 为整数，1
6
n
，
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∴
169
m
，
3
n
．
【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1 个至第4 个台阶上依次标着5
，2
，
1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
(1)前4 个台阶上的数的和是多少？
(2)第5 个台阶上的数x 是多少？
(3)试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】(1)3
(2) 5
(3) 4
1
k
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的
应用)
【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数
字每4 个一循环．
（1）将前4 个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可；
（3）根据“台阶上的数是每4 个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为4
1
k ．
【详解】（1）解：由题意，得5
2
1
9
3
．
故前4 个台阶上的数的和是3．
（2）由题意，得2
1
9
3
x
，
所以
5
x ，
故第5 个台阶上的数x 是5
．
（3）由题意知，台阶上的数每4 个一循环，5
，െʹ，1，9，5
，െʹ，1，9，…
数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .，
所以数“1”所在的台阶数为4
1
k ．
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
【例15】“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18 班的第一组6 名同学，自行组织知识竞赛，共设20
道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5 名同学的得分情况：
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参赛者
A
B
C
D
E
答对题数
20
19
18
14
10
答错题数
0
1
2
6
10
得分
100
94
88
64
40
(1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)第6 名同学F 得了82 分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【答案】(1)5，1
(2)17
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用；
（1）根据表格中参赛者A 的成绩和参赛者B 的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分；
（2）设答对了x 道题，则答错了
20
x
道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论．
【详解】（1）解：由表格中参赛者A 的成绩可知：每答对一道题得100
20
5
分，
由表格中参赛者B 的成绩可知：每答错一道题扣
19
5
94
1
1
分，
故答案为：5，1
；
（2）解：设答对了x 道题，则答错了
20
x
道题，
根据题意，得
5
20
82
x
x
，
解得
17
x
，
答：答对了17 道题．
【例16】在2022 年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3: 2 逆转韩国女足，时隔16 年再夺亚洲杯冠军！某学
校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11 场保持不败，共积25 分，按照比赛规则，胜一场
积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分，求该班获胜的场数．
【答案】九（1）班获胜7 场
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设九（1）班获胜x 场，则平
11
x
场，根据九（1）班开局11 场共积25 分，即可得出关于x 的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设九（1）班获胜x 场，则平
11
x
场，
根据题意得：
3
11
25
x
x
，
解得：
7
x
．
答：九（1）班获胜7 场．
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【技巧归纳】
积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x 场，平y 场，负z 场，根据总场数列x+y+z=N，
再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。
常见于循环赛。
【变式8-1】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行
动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设
20 道题，答对一题得5 分，答错或不答一题扣5 分．小明最终得分90 分，他答对了几道题？
【答案】
他答对了19 道题
【分析】设他答对了ݔ道题，根据答对一题得5 分，答错或不答一题扣5 分，由此列式求解即可．
【详解】解：设他答对了ݔ道题，
依题意得：
5
5 20
90
x
x
，
解得
19
x
．
答：他答对了19 道题．
【变式8-2】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记
录了其中4 个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
18
2
88
C
64
D
10
10
40
(1)参赛者E 说他错了10 个题，得分为50 分，请你判断可能吗？并说明理由：
(2)参赛者C 答对了几道题？请你通过计算说明．
【答案】(1)不可能，详见解析
(2)14
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5 分、答错一道扣1 分成为解答
本题的关键．
（1）由参赛者A 可得答对1 题得5 分，设答错1 题扣x 分，，然后根据题意列方程求解即可；
（2）根据共作答20 道，可补全参赛者B、D；设参赛者C 答对y 题，然后列一元一次方程求解即可．
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【详解】（1）不可能，
∵参赛者A 答对20 题答错0 题得100 分，
∴答对1 题得5 分，
设答错1 题扣x 分，
由参赛者B 的得分可得，5 18
2
88
x
．
解得
1
x ，
∴答错1 题扣1 分
∴参赛者E 说他错了10 个题，不可能得50 分；
（2）∵共有20 题，参赛者B 答错2 题，
∴答对18 题，
∵参赛者D 答对10 题，
∴答错10 题，
设参赛者C 答对y 题，
由题意得，
5
20
64
y
y
，
解得
14
y
．
故参赛者C 答对14 题．
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
【例17】如图，在
ABC
V
中，
90
C
，
8
BC
，
6
AC
，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，以每
秒2 个单位的速度沿A
C
E
运动．若设点P 运动的时间是ts ，若
APE
V
的面积等于8 ．那么t 值是（
）
A．2
B．11
3
C．2 或11
3
D．不存在
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公
式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点P 在AC 上时，当点P 在CE 上时，两种情况讨论，根据三角
形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：
8
BC ，点E 是BC 的中点，
4
CE
，
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①如图1，当点P 在AC 上，
2
AP
t
，
90
C
，
APE
V
的面积等于8 ，
1
1
4 2
8
2
2
APE
S
CE AP
t
=
=
´
=
V
g
g
，
解得：
2
t
；
②如图2，当点P 在CE 上时，
2
6
CP
t
，
4
2
6
10
2
PE
CE
CP
t
t
，
1
1
·
6· 10
2
8
2
2
APE
S
AC PE
t
，
解得：
11
3
t
t；
综上所述，t 值是2 或11
3 ，
故选：C．
【例18】如图，8 张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1 米，则长方形
展板的面积是
平方米．
【答案】130
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是x 米，则
五种正方形的边长从小到大依次是1 米，x 米，
1
x
米，
3
x
米，
4
x
米，根据长方形展板上下对边
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相等，列出相应的方程，从而可以求得x 的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长
宽，代入数据计算即可．
【详解】解：设第二小的正方形的边长是x 米，则五种正方形的边长从小到大依次是1 米，x 米，
1
x
米，
3
x
米，
4
x
米，
根据长方形展板上下对边相等，得
3
4
3
1
x
x
x
x
，
解得
3
x
，
展板的长是
3
4
2
7
13
x
x
x
（米）
，展板的宽是
4
2
4
10
x
x
x
（米），
长方形展板的面积是13 10
130
（平方米）．
故答案为：130．
【技巧归纳】
利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建
立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t 表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。
画图标量。
【变式9-1】综合与探究
如图，在长方形ABCD中，
14cm
AB
，
8cm
AD
，动点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1cm / s 的速度运
动；动点Q 从点D 开始，沿DA
AB
边向点B 以2cm / s 的速度运动．点ܲ㤵㐠同时开始运动，当点Q 到达点
B 时，点P 和点Q 同时停止运动，用
t s 表示运动的时间．
(1)当点Q 在ܦܣ边上运动时，t 为何值，使得ܣ㐠괰ܣܲ？
(2)当t 为何值时，AQ
AP
等于长方形ABCD周长的
ͳ
？
(3)当点Q 在AB 上运动时，且点Q 与点P 的距离为3 时，直接写出t 的值．
【答案】(1)ݐ괰
ͺ
͵
(2)
ʹ
͵或46
9
(3)5 或11
【分析】（1）找出点Q 在ܦܣ边上运动且运动时间为ts 时，AQ 、AP 的值，令其相等，即可求出t 值；
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（2）分两种情况：当点Q 在ܦܣ边上运动
0
4
t
时，当点Q 在AB 边上运动
4
11
t
时，分别列出关
于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分两种情况：当点Q 在点P 左侧时，当点Q 在点P 右侧时，分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当点Q 在ܦܣ边上运动
0
4
t
时，
8
2
cm,
cm
AQ
t
AP
t
，根据题意，得：
8
2t
t
，
解得：ݐ괰
ͺ
͵．
答：当t 为8
3 时，ܣ㐠괰ܣܲ．
（2）解：当点Q 在ܦܣ边上运动
0
4
t
时，
8
2 cm
AQ
t
，
cm
AP
t
，
根据题意，得
1
8
2
2
14
8
6
t
t
，
解得ݐ괰
ʹ
͵；
当点Q 在AB 边上运动
4
11
t
时，
2
8 cm
AQ
t
，
cm
AP
t
，
根据题意，得
1
2
8
2
14
8
6
t
t
，
解得
46
9
t
．
综上所述，当t 为
ʹ
͵或46
9 时，AQ
AP
等于长方形ABCD周长的
ͳ
．
（3）解：当点Q 在点P 左侧时，
2
8
3
t
t
，
解得：ݐ괰ͷ；
当点Q 在点P 右侧时，2
8
3
t
t
，
解得：
11
t
；
综上，t 的值为5 或11．
【变式9-2】如图1，在长方形ABCD 中，
6cm
8cm
AB
BC
，
．点P 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BC 方
向运动到点C 停止，点Q 从点C 出发，以2cm/s的速度沿C
B
C
方向运动到点C 停止，连接DP 、DQ ；
若P、Q 两点同时出发，设点P 的运动时间为t 秒
0
t
，
DPQ
V
的面积为
2
cm
0
S
S
．
(1)当
1
t 时，PQ _________；当
3
t
时，PQ _________．
(2)当点P 和点Q 相遇时，求t 的值．
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(3)当0
4
t
时，用含t 的代数式表示S．
(4)如图2，在点P 和点Q 不重合的情况下，连接AP ，当以A、P、Q、D 为顶点的四边形的面积是长方形ABCD
的面积的2
3 时，直接写出t 的值．
【答案】(1)5cm ；1cm
(2)
8
3
t
(3)
8
24
9
0
3
8
9
24
4
3
t
t
S
t
t
(4)
16
9
t
或32
9 或16
3
【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算、行程问题(一元一次方程的
应用)
【分析】（1）先根据
1
t 和
3
t
求出BP ，CQ，再求出PQ的值即可；
（2）根据P、Q 的运动速度求出t 的值即可；
（3）分两种情况进行讨论：当
8
0
3
t
，即P 、Q 相遇前，当8
4
3
t
，即P 、Q 相遇后，点Q 到达点B
前，根据三角形面积公式求出结果即可；
（4）分三种情况讨论：当
8
0
3
t
，即P 、Q 相遇前，当8
4
3
t
，即P 、Q 相遇后，当4
8
t
，点Q 从
点B 向点C 运动的过程中，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：当
1
t 时，
1cm
BP
，
2 1
2 cm
CQ
，
∴
8 1
2
5 cm
PQ
BC
BP
CQ
，
当
3
t
时，
3cm
BP
，
2 3
6 cm
CQ
，
∴
3
6
8
1 cm
PQ
BP
CQ
BC
．
（2）解：
2
8
t
t
，
解得：
8
3
t
，
即当点P 和点Q 相遇时，t 的值为8
3 ．
（3）解：当
8
0
3
t
，即P 、Q 相遇前，
8
2
8
3
cm
PQ
BC
BP
CQ
t
t
t
，
∴
1
1
8
3
6
24
9
2
2
S
PQ
AB
t
t
；
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当8
4
3
t
，即P 、Q 相遇后，点Q 到达点B 前，
2
8
3
8 cm
PQ
BP
CQ
BC
t
t
t
，
∴
1
1
3
8
6
9
24
2
2
S
PQ
AB
t
t
；
综上分析可知：
8
24
9
0
3
8
9
24
4
3
t
t
S
t
t
．
（4）解：四边形ABCD 的面积为
2
6 8
48 cm
，
∴以A、P、Q、D 为顶点的四边形的面积是：
2
2
48
32 cm
3
，
当
8
0
3
t
，即P 、Q 相遇前，
8
2
8
3
cm
PQ
BC
BP
CQ
t
t
t
，
则
1 8
3
8
6
32
2
t
，
解得：
16
9
t
；
当8
4
3
t
，即P 、Q 相遇后，点Q 到达点B 前，
2
8
3
8 cm
PQ
BP
CQ
BC
t
t
t
，
则
1 3
8
8
6
32
2
t
，
解得：
32
9
t
；
当4
8
t
，点Q 从点B 向点C 运动的过程中，
2
4
8
cm
PQ
t
t
t
，
则
1 8
8
6
32
2
t
，
解得：
16
3
t
；
综上分析可知：当
16
9
t
或32
9 或16
3 时，以A、P、Q、D 为顶点的四边形的面积是长方形ABCD 的面积的2
3 ．
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
【例19】某市出租车收费标准是：起步价10 元，可乘3km ；3km 到5km 时，超过3km 的部分按1.5元/km
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的标准收费；超过5km 时，超过5km 的部分按2 元/km 的标准收费．（不足1km 的按1km计算）
(1)若某人乘坐了4km 的路程，则他应支付的费用为；
(2)若某人乘坐了x（
5
x
的整数）千米的路程，则他应支付的费用为；
(3)若某人乘坐出租车共花了15 元，问出租车行驶了多少公里？
【答案】(1)11.5元
(2)
2
3
x
元
(3)6
【知识点】列代数式、已知字母的值，求代数式的值、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键．
（1）首先起步价覆盖前3km ，费用为10 元．剩余的1km
4km
3km
在3km 到5km 的范围内，按1.5元/km
收费，即1 1.5
1.5
元．然后相加即可得出答案
（2）对于x（
5
x
的整数）千米的路程：起步价覆盖前3km ，费用为10 元．接下来的2km
5km
3km
按
1.5元/km 收费，即2 1.5
3
元．超过5km 的部分按2 元/km 收费，即
2
5
x
元．然后相加即可
（3）首先扣除起步价和3km 到5km 的费用，剩余的费用为超过5km 的部分产生的，按2 元/km 计算，即可
解答．
【详解】（1）
3
4
5
，
10
1.5 (4
3)
10 1.5
11.5
；
故答案为：11.5元
（2）解：
5
x
10 1.5
5
3
2
5
x
，
10
3
2
10
x
2
3
x
故答案为：
2
3
x
元．
（3）解：设出租车行驶了x 公里，根据题意得；
10 1.5
5
3
13
元，
15
13
，
5
x
，
10
3
2(
5)
15
x
，
2
3
15
x
，
6
x
，
答：共行驶了6 公里．
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【例20】我市某小区居民使用自来水2024 年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量
单价
不超过12
3
m 的部分
a 元/
3
m
超过12
3
m 但不超过20
3
m 的部分
1.5a 元/
3
m
超过20
3
m 的部分
2a 元/
3
m
(1)某户4 月份用了13
3
m 的水，求该户4 月份应缴纳的水费；（用含a 的式子表示）
(2)设某户月用水量为n
3
m ，当
2.5
a
，>20
n
时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n 的式子表示）
(3)当
2
a
时，甲、乙两户一个月共用水32
3
m ，已知甲户缴纳的水费超过了24 元，设甲户这个月用水x
3
m ，
试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x 的式子表示）
【答案】(1)13 5
. a 元
(2)
5
40
n
元
(3)当12
20
x
时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72 元；当20
32
x
时，甲、乙两用户一个月共
缴纳的水费为
2
32
x
元
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】(1) 根据费用=
12
13 12 ·1.5
a
a
，列式计算即可．
(2)根据题意，得，费用=
12
20 12 ·1.5
20 ·2
a
a
n
a
，得出的结论．
(3) 分12
20
x
和20
32
x
，两种情况计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，当
12
x
时，每
3
m 费用为a 元，当12<
20
x
时，每
3
m 费用为1.5a 元，
故本月总费用为：
12
13 12
1.5
13.5
a
a
a
（元）．
故该用户4 月份应缴纳的水费为13 5
. a 元．
（2）解：根据题意，得
2.5
a
，>20
n
，
故不超过12
3
m 的部分费用为：12
12
2.5
30
a
（元）；
超过12
3
m 但不超过20
3
m 的部分费用为：
20 12 ·1.5
8 1.5 2.5
30
a
（元）；
超过20
3
m 的部分费用为：
20 ·2
20
2 2.5
5
100
n
a
n
n
（元），
故该户应缴纳的水费为：
30
30
5
100
5
40
n
n
(元)．
答：应交电费
5
40
n
元．
（3）解：根据题意，得
2
a
，且12
24
a
元，
根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24 元，设甲户这个月用水x
3
m ，
故>12
x
；
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当12
20
x
时，甲户用水量超过12
3
m 但不超过20
3
m ，乙户用水量不少于12
3
m 但少于20
3
m ，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
12
2
12
1.5 2
12
2
32
12
1.5 2
x
x
24
3
36
24
60
3
x
x
72
（元）．
当20
32
x
时，甲的用水量超过20
3
m 乙的用水量不超过12
3
m ，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
12
2
20 12
1.5 2
20
2
2
32
2
x
x
24
24
4
80
64
2
x
x
2
32
x
元．
综上所述，当12
20
x
时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72 元；当20
32
x
时，甲、乙两用户
一个月共缴纳的水费为
2
32
x
元．
【技巧归纳】
阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。
列方程时，若已知总费用，先假设x 在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单
价。可用分段函数思想。
【变式10-1】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费
制度．收费标准如表：
居民每月用电量
单价（元/ 度）
不超过50 度的部分
0.5
超过50 度但不超过200 度的部分
0.6
超过200 度的部分
0.8
已知小智家上半年的用电情况如表（以200 度为标准，超出200 度记为正、低于200 度记为负）
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
50
30
26
45
36
25
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元；
(2)若小智家七月份应交纳的电费199.8元，则他家七月份的用电量是多少？
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【答案】(1)五，143.8；
(2)他家七月份的用电量是306 度．
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键．
（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）判断出用电量超过200 度，设未知数列方程求解即可．
【详解】（1）解：五月份超过200 度36 度，是最多的，共用电236 度，
0.5 50
0.6
200 150
0.8 36
143.8
元，
（2）解：∵0.5 50
0.6 150
115
199.8
，
∴用电量大于200 度，
设用电量为x 度，由题意得，
0.5 50
0.6
200 150
0.8
200
199.8
x
，
解得：
306
x
，
答：他家七月份的用电量是306 度．
【变式10-2】小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1 号检查水表读数，水费按月计费）
月份
1
2
3
4
5
6
7
月初水表读
数为（吨）
185
190
196
203
210
219
233
(1)二月份小晶家用水多少吨？
(2)若一月份比六月份用水少9
14 ．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3 元，若超过标准范围
超标部分每吨收取水费4.5 元，小晶家六月份共交水费54 元，求每月标准用水量．
(3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比
下半年少
ͻ，求小晶家下半年用水量多少吨？
【答案】(1)
6 吨
(2)
6 吨
(3)
77.4 吨
【分析】（1）由2 月底读数196 减去1 月底读数190，得二月份用水量；
（2）由一月份用水量及"一月份比六月份少
9
14
"先求出六月份用水量为14 吨，再设标准量为ݐ吨，由六
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月份水费54 元列方程求解；
（3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少4
9 "求出下半年水费，设下半年用水量m 吨，标
准内部分按3 元/吨，超标部分按4.5 元/吨列方程求解．
【详解】（1）解：196 190
6
（吨），
二月份小晶家用水6 吨；
（2）解：一月份用水190 185
5
（吨），
设六月份用水m 吨，由一月份比六月份少
9
14
，
9
5
5
1 14
14
m
m
，
14
m =
（吨），
若标准量
14
，水费14 3
42
54
，故标准量小于14 吨，
设标准量为ݐ吨，
3
4.5(14
)
54
t
t
，
解得，
6
t
；
答：每月用水量的最高标准为6 吨；
（3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨），
标准量为6 吨，
1 月水费：͵ ൈͷ 괰ͳͷ（元），
2 月水费：
18
6
3
（元），
3 月水费：3 6
4.5 1
22.5
（元），
4 月水费：3 6
4.5 1
22.5
（元），
5 月水费：3 6
4.5 3
31.5
（元），
6 月水费：3 6
4.5 8
54
（元），
上半年总水费
15 18
22.5
22.5
31.5
54
163.5
（元），
设下半年总水费为y 元，
4
5
163.5
1
9
9
y
y
，
解得，
294.3
y
（元），
设下半年用水量为m 吨，标准内 ൈ 괰͵ 吨，
3 36
4.5
36
294.3
m
，
解得，
77.4
m
（吨）．
答：小晶家下半年用水量为77.4 吨．
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一、单选题
1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20 道题，答对一题得7 分，答错一题倒扣4 分，王刚答完了
全部20 道题，得了63 分，他答对了（
）道题．
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【分析】先设王刚答对了x 道题，再根据题意列方程，即可解答．
【详解】解：设王刚答对了x 道题，则答错了ሺʹͲ െݔሻ道题，
由题意得，
7
4 20
63
x
x
，
解得，ݔ괰ͳ͵，
即他答对了13道题．
2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：
有若干人乘车，若每3 人同乘一车，最终剩余2 辆空车；若每2 人同乘一车，最终剩下9 人因无车可乘而
步行．问有多少辆车？设共有x 辆车，则可以列出的方程为（
）
A．͵ ݔʹ 괰ʹݔെͻ
B．͵ ݔെʹ 괰ʹݔͻ
C．͵ ݔʹ 괰ʹݔͻ
D．͵ ݔെʹ 괰ʹݔെͻ
【答案】B
【分析】分别用含x 的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程．
【详解】解：∵设共有x 辆车，总人数保持不变，且每3人乘一车，剩余2 辆空车，
∴实际使用ݔെʹ 辆车，
∴总人数可表示为͵ ݔെʹ ，
∵每2 人乘一车，剩余9人步行，
∴总人数可表示为ʹݔͻ，
∴͵ ݔെʹ 괰ʹݔͻ．
3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做8个，那么可比计划多做5个；
如果每人做6 个，那么将比计划少做4 个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做x 个“绣
球”，则可列方程为（
）
A．
5
4
8
6
x
x
B．
5
4
8
6
x
x
C．8
5
6
4
x
x
D．8
5
6
4
x
x
【答案】A
【分析】文化小组的人数不变，根据两种制作情况，用计划做的绣球总数x 表示出小组人数，即可列出方程．
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【详解】解：设该文化小组计划做x 个“绣球”，小组人数固定不变，
根据题意得
5
4
8
6
x
x
，
故选：A．
4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七
客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7 人，那么有7 人无房可住；如果每一间房
住9 人，那么恰好空出一间房．设共有客人x 人，根据题意可列出的方程是（
）
A．
7
1
7
9
x
x
B．
7
1
7
9
x
x
C．7x+7＝9（x﹣1）
D．7x﹣7＝9（x+1）
【答案】A
【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数x 表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程．
【详解】解：设共有客人x 人，两种情况下房间总数不变．
∵每间房住7 人时，有7 人无房可住，
∴此住满房间的人数为ݔെ，可得房间总数为
7
7
x
，
∵每间房住9 人时，空出1 间房，
∴实际使用房间数为
ݔ
ͻ，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为
1
9
x ．
∵房间总数不变，
∴
7
1
7
9
x
x
．
5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美
矩形” ABCD，其周长为26，则正方形d 的边长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，分别求得
1
3
b
c
，
3
5
c
d
，由“完美矩形” ABCD的
周长得4
2
26
d
c
，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，
∵“完美矩形” ABCD的周长为26，
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∴4
2
26
d
c
，
∵
2
a
b c
a
b d
a
c
,
,
，
∴
3
c
b
，则
1
3
b
c
，
∴
5
2
3
d
b
c
c
，则
3
5
c
d
，
∴
6
4
26
5
d
d
，
∴
5
d
，
∴正方形d 的边长为5．
二、填空题
6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是2 ∶7 ．学校给每个班级发放10根红色跳绳和42
根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下ͺ 根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______
根．
【答案】
288
1008
【分析】设学校共有x 个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的
数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量．
【详解】设学校共有x 个班级．
由题意得红色跳绳总数量为10
48
x
，蓝色跳绳总数量为42x ．
已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为ʹ绳，可得方程
10
48 : 42
2:7
x
x
，
解得ݔ괰ʹ，
∴红色跳绳数量为10 24
48
288
根，蓝色跳绳数量为42 24
1008
根．
7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是͵绳Ͳ 或͵绳ͳ，则
胜队得3 分，负队得0 分；如果比分是͵绳ʹ，则胜队得2 分，负队得1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个
连续的自然数，则第一名的得分是______分．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为x ，
利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出x ，即可知道第一名的分数.
【详解】解：
四支球队进行单循环比赛，
总比赛场为͵ ʹ ͳ 괰（场）．
一场比赛的比分是͵绳Ͳ 或͵绳ͳ，则胜队得3 分，负队得0 分；比分是͵绳ʹ，则胜队得2 分，负队得1 分,
每场比赛无论比分如何总得分均为3 分，
所有比赛总得分为18 分.
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比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为ݔͳ，ݔʹ，ݔ͵，
ݔݔͳ ݔʹ ݔ͵ 괰ͳͺ，
ݔ괰͵，
第一名得分是ݔ͵ 괰͵ ͵ 괰.
8．把9 个数放置到3 3
方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了
一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m 的值为_________．
2
3
5
8
m
【答案】6
【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相
等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解m ．
【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为2 ，5，8，可得任意行、列、
对角线的和为：2
5
8
15
，
设第一行第一列的数为a ，
∵第一列三个数的和为ͳͷ，
∴
3 8
15
a
，
解得ܽ
괰，
左上到右下的对角线三个数为a ，5，m ，和为ͳͷ，
∴4
5
15
m
，
解得
6
m
．
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究
这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3 3
表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相
等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x
y
的值为___________．
【答案】4
【分析】首先求出͵ െʹ െ 괰െ，然后根据题意求出ݔ괰െ െെ െ괰െ͵，ݕ괰െ െെʹ െ
െ 괰ʹ，然后代数求解即可．
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【详解】解：͵ െʹ െ 괰െ
∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴ݔ괰െ െെ െ괰െ͵
∴3 和x 中间的数为െ െ͵ െെ͵ 괰െ
∴ݕ괰െ െെʹ െെ 괰ʹ
∴ʹݔݕ괰ʹ ൈെ͵ ʹ 괰െ．
故答案为：4
．
10．如图，在长方形ABCD中，
6
AB
DC
cm
，
12cm
AD
BC
．有一动点ܲ
从点A 出发以3cm/s 的速度
沿A
B
C
运动到点C 时停止．动点㐠从点C 出发以2cm/s 的速度在线段ܥܤ上沿C
B
方向向点ܤ运动，ܲ
，㐠两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是st ．当t ________时，能使
2
PQ
CQ
cm
．
【答案】
16
7 或20
7 或16
3
【分析】分两种情况讨论：①当点ܲ
在AB 上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当点ܲ
在BC 上时，用含t 的代数式表示PQ 和ܥ㐠的长，根据
2
PQ
CQ
列出绝对值方程求解，并检验t 的取
值范围．
【详解】解：由题意得，点ܲ
运动的总时间为
(6 12)
3
6 s
，点㐠运动的总时间为
12
2
6 s
，
所以0
6
t
．
当0
2
t
时，点ܲ
在AB 上，点㐠在BC 上，
在Rt PBQ 中，PQ
BQ
．
因为ܥ㐠괰ʹݐ，
12
2
BQ
BC
CQ
t
，
所以
12
2
2
12
4
PQ
CQ
BQ
CQ
t
t
t
．
因为0
2
t
，
所以12
4
4
t
．
所以
4
PQ
CQ
，即
4
PQ
CQ
，不符合题意．
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当2
6
t
时，点ܲ
在BC 上，点㐠在BC 上．
此时ܲ
，㐠两点都在线段BC 上运动，
点ܲ
运动的路程为3t ，则
3
6
BP
t
，点㐠运动的路程为2t ，则ܥ㐠괰ʹݐ．
因为ܤܥ괰ͳʹ，
所以
12
(3
6)
18
3
PC
BC
BP
t
t
．
所以
18
3
2
18
5
PQ
PC
CQ
t
t
t
．
由
2
PQ
CQ
，得18
5
2
2
t
t
．
所以18
5
2
2
t
t
或18
5
2
2
t
t
．
即18
5
2
2
t
t
或18
5
2
2
t
t
．
①当18
5
2
2
t
t
时，18
5
2
2
t
t
或18
5
(2
2)
t
t
．
解得
16
7
t
或
20
3
t
．
因为2
6
t
，
所以
20
3
t
舍去，
16
7
t
符合题意．
②当18
5
2
2
t
t
时，18
5
2
2
t
t
或18
5
(2
2)
t
t
．
解得
20
7
t
或
16
3
t
．
因为2
6
t
，
所以
20
7
t
和
16
3
t
均符合题意．
综上所述，t 的值为16
7 或20
7 或16
3 ．
三、解答题
11．2025 年是新中国成立76 周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛
分单人独唱和双人合唱，共有18 组，30 名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
【答案】单人独唱6 组；双人合唱12 组
【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x 组，因为总组数是18 组，所以单人独唱的组数就是
ͳͺ－ݔ组，再根据单人独唱每组1 人，双人合唱每组2 人，以及总共有30 名学生参加比赛这一条件，列
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出方程ʹ ൈݔͳ ൈͳͺ െݔ괰͵Ͳ 求解．
【分析】解：设双人合唱有x 组，则单人独唱有ͳͺ－ݔ组，根据人数关系可列方程：
ʹ ൈݔͳ ൈͳͺ െݔ괰͵Ͳ，
ʹݔͳͺ െݔ괰͵Ͳ，
ݔͳͺ െͳͺ 괰͵Ͳ െͳͺ
ݔ괰ͳʹ，
将ݔ괰ͳʹ 代入ͳͺ െݔ，可得单人独唱的组数为ͳͺ െͳʹ 괰（组）
答：单人独唱有6 组，双人合唱有12 组．
12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146 米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负
责施工．甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工
作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进ݔെʹ 米，利用甲、乙两工程队3 天共掘进26 米
列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可．
【详解】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进ݔെʹ 米，
由题意得
2
2
26
x
x
x
，
解得
7
x
，
ݔെʹ 괰ͷ，
146
26 =10
7
5
（天），
答：甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50 人，其中男生人数比女生人数的2 倍还少19 人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11 个或盒底22 个．
(1)七年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【答案】(1)男生27 人，女生23 人
(2)2 名
【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可；
（2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2 倍，列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为x 人，则男生人数为
2
19
x
人，
根据题意，得
2
19
50
x
x
，
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解得ݔ괰ʹ͵，
则2
19
2 23 19
27
x
，
答：七年级一班有男生27 人，女生23 人；
（2）解：设有m 名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为
23
m
人，做盒底的人数为
27
m
人，
盒身总数为
11 23
m
个，盒底总数为
22 27
m
个，
根据配套关系，得
22 27
2 11 23
m
m
，
解得
2
m
，
答：有2 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400 元，因天气原因水果涨价，第二批所用资
金是2700 元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10 元，以致购买的数量比第一批少ʹͷ%．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40 元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批
水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降ܽ
%销售，结果还是出现了20% 的损耗，但这两批水果销售完
后仍赚了1716 元，求a 的值．
【答案】(1)第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
(2)30
【分析】（1）设第一批购进每箱单价为x 元，则第二批每箱单价为ሺݔͳͲሻ元，根据第二批数量比第一批
少ʹͷ%，列方程求解．
（2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120 箱，且第一批无损耗则收入是4800 元；第二批的数量
90 箱，但是出现了20% 的损耗，即售出数量为购进数量的ሺͳ െʹͲ%ሻ，则只能卖出72 箱．售价下降ܽ
%，
即售价为Ͳ ൈሺͳ െܽ%ሻ元．总收入减去总成本ሺʹͲͲ ʹͲͲሻ等于利润1716 元，列方程求解a ．
【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为x 元，则第二批每箱单价为ݔͳͲ 元，
根据题意可得：ʹͲͲ绳ݔͳͲ 괰ʹͲͲ ൈͳ െʹͷ% 绳ݔ，即ʹͲͲݔ괰ʹͲͲ ൈͲǤͷ ൈݔͳͲ ，
解得：
20
x
，
第二批单价：ʹͲ ͳͲ 괰͵Ͳ（元），
答：第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
（2）解：第一批水果的购买数量：ʹͲͲ ൊʹͲ 괰ͳʹͲ（箱），
第一批水果的无损耗收入：Ͳ ൈͳʹͲ 괰ͺͲͲ（元），
第二批水果的购买数量：ʹͲͲ ൊ͵Ͳ 괰ͻͲ（箱），
第二批水果的售出数量：ͻͲ ൈͳ െʹͲ% 괰ͻͲ ൈͲǤͺ 괰ʹ（箱），
成本：ʹͲͲ ʹͲͲ 괰ͷͳͲͲ（元），
根据题意可得：ͺͲͲ ʹ ൈͲ ൈͳ െܽ% െͷͳͲͲ 괰ͳͳ，
解得：ܽ
괰͵Ͳ，
答：a 的值是30．
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15．如图，是某月的月历．
(1)带阴影的十字框中的5 个数的和与十字框中间的数有什么关系？
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由．
(3)在该月的月历上用十字框框出5 个数，能使这5 个数的和为100 吗？
【答案】(1)带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍
(2)成立；理由如下：
假设中间数为x ，则上面的数是
1
x ，下面的数是ݔͳ，前面一个是ݔെ，后面一个是ݔ，
ሺݔെͳሻݔሺݔͳሻሺݔെሻሺݔሻ
괰ݔെͳ ݔݔͳ ݔെ ݔ
괰ͷݔ
ͷݔൊݔ괰ͷ
(3)不能
【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案；
（2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为ݔ㤵上面的数是
1
x ，下面的数是ݔͳ，前面一个是ݔെ，
后面一个是ݔ，然后再计算这五个数的和即可；
（3）根据题意用未知数表示出框出5个数，根据这5个数的和为100列出方程解答即可．
【详解】（1）解：ͻ ͳͷ ͳ ͳ ʹ͵ 괰ͺͲ
ͺͲ ൊͳ 괰ͷ
答：带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍．
（2）略
（3）解：设中间数为x ．
ͷݔ괰ͳͲͲ
ͷݔൊͷ 괰ͳͲͲ ൊͷ
ݔ괰ʹͲ
答：在该月历上，20 是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数．
16．列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28 元，利润率为40%；花肥进价每包2 元，一包花肥
的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720 元，其中花肥的进货数量是金桔盆
栽的2 倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
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(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆
金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于
金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m 元，进货数量增加了8 盆，售价不变；
花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m 包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4
元，求m 的值．
【答案】(1)30
(2)3
【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货
花费列方程求解；
（2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多
76.4 元列方程求解，验证条件后得到m 的值．
【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x 元，
由题意得
1
40%
28
(
)
x
，
解得
20
x
，
设花店第一次进货购进金桔盆栽y 盆，则购进花肥2y 包，
由题意得20
2 2
720
y
y
，
解得ݕ괰͵Ͳ．
答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30 盆．
（2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为2 30
60
（包），花肥售价为2
1
40
8
(
)
%
2.
（元），
第一次总利润为
30
28
20
60
2.8
2
240
48
288
（元），
第二次金桔盆栽进货数量为30
8
38
（盆），进价为ʹͲ െ݉
元，第二次花肥进货数量为
60
2m
包，进
价为2 元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38 包，单独售卖的花肥数量为
60
2
38
22
2
m
m
（包），
由题意得：
38
28
20
2.8 22
2
2 60
2
288
76.4
m
m
m
，
整理得245.6
39.6
364.4
m
，
解得
3
m
，
此时第二次花肥进货数量为60
2 3
66
38
，符合题意．
答：m 的值为3．
17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量
单价
不超过
3
6m 的部分
2 元/m͵
超过
3
6m 不超过
3
10m 的部分
4 元/m͵
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超出
3
10m 的部分
8 元/m͵
譬如：某用户2 月份用水
3
8m ，则应缴水费：
2 6
4
8
6
20
(元)．
(1)某用户3 月用水
3
15m 应缴水费多少元？
(2)已知某用户4 月份缴水费24 元，求该用户4 月份的用水量；
(3)如果该用户5、6 月份共用水
3
20m (6 月份用水量超过5 月份用水量)，共交水费68元，则该户居民5、6
月份各用水多少立方米？
【答案】(1)68元；
(2)ͻm͵；
(3)5 月份用水m͵，6 月份用水ͳ͵m͵
【分析】（1）用水量
3
15m 超过
3
10m ，需分三段计算水费：不超过
3
6m 的部分、
3
6m 到
3
10m 的部分、超过
3
10m
的部分，将各段费用相加得到总水费．
（2）先计算不同阶梯的费用上限，判断24 元对应的用水量区间，再设用水量为x ，根据阶梯计费规则列方
程求解．
（3）设5 月份用水量为x ，则6 月份为
20
x
，结合6 月份用水量超过5 月份得
10
x
，分三种情况讨论：
①5 月份用水量不超过
3
6m ；②5 月份用水量在
3
6m 到
3
10m 之间；③5 月份用水量超过
3
10m ，分别列方程求
解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解．
【详解】（1）解：∵用户3 月用水
3
15m ，根据阶梯收费标准分三段计算：
不超过
3
6m 的部分费用为ʹ ൈ 괰ͳʹ(元)，
3
6m 到
3
10m 的部分费用为
4
10
6
16
(元)，
超过
3
10m 的部分费用为
8
15 10
40
(元)，
∴总水费为12 16
40
68
(元)．
答：该用户3 月应缴水费68元．
（2）解：当用水量为
3
6m 时，水费为ʹ ൈ 괰ͳʹ(元)；
当用水量为
3
10m 时，水费为
2 6
4
10
6
12 16
28
(元)．
∵用户4 月缴水费24 元，12
24
28
，
∴该用户4 月用水量在
3
6m 到
3
10m 之间．
设该用户4 月用水量为
3
m
x
，根据题意列方程：
2 6
4
6
24
x
，
解得：
9
x
．
答：该用户4 月份的用水量为
3
9m ．
（3）解：设5 月份用水
3
m
x
，则6 月份用水
3
20
m
x
，
分三种情况讨论：
①若Ͳ 㜠ݔ，则20
14
x
，
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5 月份水费为2x 元，
6 月份水费为
2 6
4
10
6
8
20
10
108 8
x
x
元，
根据总水费列方程：
2
108 8
68
x
x
，解得
20
3
x
，
20
6
3
，与假设Ͳ 㜠ݔ 矛盾，故该情况不成立．
②若6
10
x
，则10
20
14
x
，
5 月份水费为
2 6
4
6
4
12
x
x
元，
6 月份水费为
108 8x
元，
根据总水费列方程：
4
12
108 8
68
x
x
，解得
7
x
．
此时6 月份用水量为
3
20
7
13(m )
，满足题意，符合条件．
③若
10
x
，则20
10
x
，不满足6 月份用水量超过5 月份用水量．
答：该户居民5 月份用水
3
7m ，6 月份用水
3
13m ．
18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，
点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 两点之间的距离为：AB
a
b
．
【问题解决】如图，在数轴上，点A 表示െͳͲ，点B 表示11，点C 表示18．动点P 从点A 出发沿数轴正
方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度
的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
(1)当
2
t
时，线段OP 的长为；线段BQ 的长为
；
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点M 所对应的数是多少？
(3)在点Q 出发后到达点B 之前，求t 为何值时OP
BQ
；
(4)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离
4
PQ
【答案】(1)4，5
(2)当
7
t
时，ܲ、㐠两点相遇，相遇点M 所对应的数为11
(3)
3
2
t
或
17
4
t
(4)
6
t
或
8
t
【分析】（1）根据题意表示出点ܲ
和点㐠表示的数，进而求出
2
t
时点ܲ
和点㐠表示的数，再根据两点
距离计算公式即可；
（2）根据题意表示出点ܲ
和点㐠表示的数，然后当ܲ
、㐠两点相遇时列出方程求解即可；
（3）根据题意表示出OP ，BQ 的长度，然后根据OP
BQ
列方程求解即可；
（4）首先表示出ܲ
㐠的长度，然后根据
4
PQ
列方程求解即可．
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【详解】（1）解：
动点ܲ
从点A 出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点㐠
从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点ܲ
表示的数为10
3t
，点㐠表示的数为18
t
，
当
2
t
时，点ܲ
表示的数为10
3 2
4
，点㐠表示的数为18
2
16
，
0
4
4
OP
，
11 16
5
BQ
．
（2）解：
动点ܲ
从点A 出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点㐠从点C 出
发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点ܲ
表示的数为10
3t
，点㐠表示的数为18
t
，
当ܲ
、㐠两点相遇时，10
3
18
t
t
，
解得
7
t
，
相遇点M 所对应的数为10
3
10
3 7
11
t
，
当
7
t
时，ܲ、㐠两点相遇，相遇点M 所对应的数为11．
（3）解：
点ܲ
表示的数为10
3t
，点㐠表示的数为18
t
，
10
3
OP
t
，
18
11
7
BQ
t
t
，
当OP
BQ
时，
10
3
7
t
t
，
解得
3
2
t
或
17
4
t
，
当点Q 到达点B 时，18
11
t
，
解得
7
t
，
∴
3
2
t
或
17
4
t
都符合题意，
综上，
3
2
t
或
17
4
t
；
（4）解：
点ܲ
表示的数为10
3t
，点㐠表示的数为18
t
，
18
( 10
3 )
18
10
3
28
4
PQ
t
t
t
t
t
，
当
4
PQ
时，则28
4
4
t
，
解得
6
t
或
8
t
．
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满
或
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