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第19 讲 角的概念
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 角的概念和表示
题型2 角的单位与角度制
题型3 角的比较
题型4 钟面角
题型5 方位角的表示
题型6 与方位角有关的计算题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
角、顶点、边、静态定
义、动态定义、表示方
法、度分秒、换算、平
角、周角。
1. 理解角的两种定义方式：静态定义（有公共端点的两条射线组成的图形）
和动态定义（一条射线绕端点旋转形成的图形）。
2. 掌握角的四种表示方法（三个大写字母、顶点一个字母、希腊字母、数
字），能根据图形选择合适方法规范表示。
3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其六十进制换算（1°=60′，1′
=60″），能进行简单的角度换算。
4. 了解平角、周角的形成过程，认识方向角（如北偏东30°）及其在实际中
的应用。
学习重点：理解角的概念及会用符号表示角，掌握角的度量单位及换算。
学习难点：用旋转的方式理解角的动态定义（从静态到动态的思维飞跃），以及在同一个顶点处有多
个角时正确选择表示方法。
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知识点01 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位
置OB 是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形
成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【易错提醒】
角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角的
大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2 平角=4 直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。
勿混淆角与射线方向。
即时即练1．在下列四个图形中，能用
AOB
，
O
，
1
三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）
1
可以表示为
；
（2）
2
可以表示为
；
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（3）
3
可以表示为
．
知识点02 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1 分，记作
“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，
从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60 时要向高一位进
位．
【易错提醒】
角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60 或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用
除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60 进1，不够借1 变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，
注意单位符号。
即时即练1．1.16 ′ ″；45 57 18
知识点03 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每小时转30°，
时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【易错提醒】
钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12 点方向夹角，再相
减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30 时针在3 和4 中间）。勿
忽略分针影响时针。
即时即练1．小明每天下午5 20
：放学，此时钟面上时针和分针的夹角是
．
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知识点04 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB
的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的
正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
【易错提醒】
方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下
南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于
90°。注意参照点。
即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图．
(1)小公园在依依家的 偏 米处．
(2)小公园在银行的 偏 米处．
(3)学校西偏南20，距离250m 处是超市，请用★标出超市的位置．（1cm 表示100m ）
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题型1 角的概念和表示
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形
B．角的大小和角的开口大小无关
C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角
D．角的两边越长，角就越大
【例2】下列语句中，不正确的个数是（ ）
①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形
成的图形；③大于90的角是钝角；④钝角的一半是锐角．
A．1
B．2
C．3
D．4
【技巧归纳】
角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。
注意写法顺序，射线OA 到OB。也可用数字或希腊字母。
【变式1-1】图中能用
1
ACB
C
，
，
三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】下列四个图中，能用
1
，
AOB
，
O
三种方法表示同一个角的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型2 角的单位与角度制
【例3】35.15
'
"；12 15 36
．
【例4】（1）34.37
'
"；
（2）62.125
'
"．
【技巧归纳】
角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：
35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60 进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。
可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。
【变式2-1】单位换算：
（1）4.5
' ；
（2）4680¢¢=
；
（3）52.36
'
'' ；
（4）49 31 21
．
【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）：
（1）103.3
176 42
98.34
．
（2）24 22 36
3
．
（3）147 45
5
．
（4）180
18 15
6
．
题型3 角的比较
【例5】比较大小：
'
38 15
38.15．（填“>”、“<”或“=”）
【例6】若
10.2
，
10 2
，则
．（填“ ”“”或“ ”）
【技巧归纳】
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角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边
长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较
数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。
【变式3-1】若
30.4
A
，
'
30 22
B
，则
A
B
．（填“>”“<”或“=”）
【变式3-2】若
50 20
A
，
50.5
B
，则
A
(
B
填“ ”“ ”或“”).
题型4 钟面角
【例7】2 时20 分时，钟面上时针与分针所成的角是
．
【例8】在9 时40 分这一刻，时针和分针的夹角为
度．
【技巧归纳】
钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度
=6m，时针=30h+0.5m（h 为小时，m 为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大
于180°。注意整点时刻，如3:00 夹角90°。审清时刻。
【变式4-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12 个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图
中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分．
【变式4-2】每天上午9:35 “阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为
．
题型5 方位角的表示
【例9】如图，一艘船在A 处遇险，则救生船B 在船A 的
方向．
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【例10】如图，点O 表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东50的方向上，则图中最有可能表示
图书馆位置的点是
．
【技巧归纳】
方位角从正北或正南开始，如“北偏东30°”、“南偏西45°”。先定基准（北或南），再定偏转方向（东
或西）和角度。若用方位角，从正北顺时针度量0°~360°。画图时，以观测点为中心，标出方向线。注意区
分“东偏北”与“北偏东”（前者基准为东）。如“东偏南30°”即从东向南转30°。常见于航海、测量。
【变式5-1】如图，点O 表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东50的方向上，则图中最有可能表
示图书馆位置的是点
．
【变式5-2】如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知
2km,
2.5km,
4km
OA
OB
OP
，点C 为OP
的中点，回答下列问题：
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(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？
(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？
题型6 与方位角有关的计算题
【例11】如图，OA方向是北偏东
，
AOB
．
【例12】如图，OA的方向是北偏东21，OB 的方向是北偏西27．若
2
AOC
AOB
，则OC 的方向
是
．
【技巧归纳】
方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位
角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A
在B 北偏东40°，B 在A 南偏西40°。注意互余、互补关系。
【变式6-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60 千米/小时的速度沿南偏东30方向行驶20 分钟
到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是
，路程是
千米．
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【变式6-2】如图，某海域有三个小岛A
B
O
，，
，在小岛O 处观测到小岛A 在它北偏东58的方向上，观测
到小岛B 在它南偏东42的方向上，则
AOB
的度数大小是
．
一、单选题
1．如图，
AOB
为锐角，
AOB
的顶点O 处被老师的手遮盖，则
AOB
的大小可以为（ ）
A．45
B．55
C．60
D．65
2．如图，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．
1
与
AOB
表示同一个角
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B．
表示的是
BOC
C．图中共有三个角：
AOB
，
AOC
，
BOC
D．
AOC
也可用
O
来表示
3．已知
50 20
A
，
50.5
B
，
50.25
C
，则
A
、
B
、
C
的大小关系为（ ）
A．
A
B
C
∠
∠
∠
B．
A
B
C
∠
∠
∠
C．
B
A
C
D．
B
C
A
4．如图，从登山电梯上的点P 处观察山顶M 处的仰角为18 , PM
PN
、
与竖直方向的夹角分别为72和40，
则从点P 处观察山脚N 处的俯角为（ ）
A．18
B．40
C．50
D．72
5．小明周二晚上6 点55 分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（ ）
A．112.5
B．120
C．122.5
D．150
二、填空题
6．度分秒换算：（1）58 16 48
________°；（2）39.44__________′_____″．
7．已知
26 15
，
26.15
，则
______
（填“>”，“<”或“=”）．
8．如图，山东号航母在B 处，测得黄岩岛A 在北偏西30方向，南昌舰C 在西南方向，则
ABC
的度数是
__________．
9．3：30 时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹
角是直角．
10．重庆八中2 月8 日的家校交流活动，某个时段的交流持续了2 小时m 分钟，结束时钟表的时针和分针
的位置刚好跟开讲时的位置对调，若用
x 表示小数x 的整数部分，则
m 等于________．
三、解答题
11．计算．
(1)53 18 35
47 42 40
；
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(2)56 17
12 45
16 21
．
12．如图所示，回答下列问题：
(1)
ECG
和
C
是不是同一个角？
(2)
OGF
和
DGB
是不是同一个角？
(3)
DOF
和
EOG
是不是同一个角？
(4)
ABC
和
BCA
是不是同一个角？
(5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来．
13．如图是某地4 路公共汽车部分行车路线图
(1)4 路公共汽车从火车站出发，向东偏南50 度的方向行1 千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；
由广场向北偏_____度的方向行0.8 千米到达公园；
(2)4 路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2 分钟，再到达广场又用时6 分钟，由广场到达体育馆用时4
分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？
14．钟表的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴藏着丰富的数学知识．
(1)下午2：00 时，时针与分针夹角的度数为________________°；
(2)从下午2：00 开始，再经过______________分钟，时针与分针夹角第一次为45；
(3)“元旦”当天，某校七年级部分学生从学校集中前往吾悦广场开展公益活动，出发时刻是下午1 点多钟，
到达时刻是下午2 点钟不到．有趣的是：出发时刻的时针与分针恰好互相垂直；到达时刻的时针与分针同
样也恰好互相垂直．请你结合时针与分针的运动规律，计算出这些学生从学校集中前往吾悦广场所用的时
间．
15．问题情景：如图1，已知点A ，B 在数轴上表示的数分别为20
和10，若有一动点P 从数轴上点A 出发，
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以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．
解决问题：
（1）若点M 为线段AP 的中点，点N 为线段BP 的中点，点P 在线段AB 上运动时，线段MN 的长度是否发
生变化？请说明理由；
探索问题：
（2）当点P 运动的同时，点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动．
①在运动过程中，点P 表示的数为_________，点Q 表示的数为 _________ ．
②求运动多少秒时，点P 与点Q 相距2 个单位长度？
知识迁移：
（3）如图2，若线段OA与OB 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，
60
AOB
，在时针与分针转
动过程中，经过_________分钟后，
AOB
的度数第一次等于126．
