文档文本内容
第六章 几何图形初步全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 几何图形识别与点线面体
题型2 直线、射线、线段及其计算
题型3 角的度量与互余互补
核心提升：重难题型归纳
题型1 线段的和差倍分与中点
题型2 角的和差倍分与角平分线
题型3 余角补角的方程思想
题型专练：高频重难特训
◆题型1 几何图形识别与点线面体
1．如图所示几何体中，是圆柱的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据各选项几何体的特征判断即可．
【详解】解：A．圆柱，故A 符合题意；
B．四棱柱，故B 不符合题意；
C．圆锥，故C 不符合题意；
D．四棱锥，故D 不符合题意．
2．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体
B．长方体
C．三棱柱
D．四棱柱
【答案】C
【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱．
【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱．
3．下列图形是正方体的展开图的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4 个．
4．钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．线段最短
【答案】A
【分析】根据点、线、面、体的关系，并结合钢笔书写的实际场景即可解答．
【详解】解：钢笔的笔尖可看作一个点，书写过程中点不断移动，形成线条组成字，即符合点动成线的
规律．
5．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理．
【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，
用数学知识解释为线动成面．
6．将下图中的立体图形分类．
柱体____________；锥体____________；球体____________．
【答案】 ①②⑤⑦⑧
④⑥
③
【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案．
【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧；
锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥；
球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③．
7．2025 年9 月3 日纪念抗战胜利80 周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为
________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．）
【答案】①
【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体的几何原理
是解题的关键．本题可根据点、线、面、体之间的关系，判断飞机拉线所对应的几何现象，从而选出正确
答案．
【详解】解：飞机可视为一个点，其在空中运动的轨迹形成一条线，这一过程对应几何中的点动成线．
故答案为：①．
◆题型2 直线、射线、线段及其计算
8. 如图，下列说法正确的是（ ）
A．射线OA和射线OB 是同一条射线
B．直线AB 和直线BA 不是同一条直线
C．线段OA和线段AO 不是同一条线段
D．点O 在线段BA 的延长线上
【答案】A
【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、射线OA和射线OB 是同一条射线，说法正确，符合题意；
B、直线AB 和直线BA 是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意；
C、线段OA和线段AO 是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意；
D、点O 在线段BA 的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意．
9.如图，以点B 为一个端点的线段共有_________条．
【答案】3
【分析】根据线段的定义解答即可．
【详解】解：以点B 为端点的线段有
,
,
BA BC BD ，共有3 条．
10．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同）
【答案】10
【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5 个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价．
【详解】解：此题相当于一条线段上有5 个点，有多少种不同的票价即有多少条线段，
故不同的票价有：4
3
2 1
10
+ +
+ =
．
11．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________．
【答案】两点确定一条直线
【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线，
因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线．
12．如图，点
,
C D 是线段AB 上的两个点，
10cm
AB =
，
4cm
BC =
．若
1
2
AD
CD
=
，则线段AD 的长为_____
cm ．
【答案】2
【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据线段的和差关系求出AC 的长，根据
1
2
AD
CD
=
，得到
1
3
AD
AC
=
，即可得出结果．
【详解】解：∵
10cm
AB =
，
4cm
BC =
，
∴
6cm
AC
AB
BC
=
-
=
，
∵
1
2
AD
CD
=
，AD
CD
AC
+
=
，
∴
1
2cm
3
AD
AC
=
=
；
故答案为：2．
13．如图，若
3cm
CB =
，
5cm
DB =
，且D 是AC 的中点，求线段AB 的长为________cm ．
【答案】7
【分析】根据线段的和差关系得到线段CD的长度，根据线段中点的定义得到线段AD 的长度，继而得到
线段AB 的长度．
【详解】解：∵
3cm
CB =
，
5cm
DB =
，
∴
5
3
2cm
CD
DB
CB
=
-
=
-
=
，
∵D 是AC 的中点，
∴
2cm
AD
CD
=
=
，
∴
2
5
7cm
AB
AD
DB
=
+
=
+
=
．
14．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短
路程．其数学原理是________．
【答案】两点之间，线段最短
【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质．
15．已知点C 是直线AB 上一点，线段
8cm
AB =
，
6cm
BC =
．那么A、C 两点的距离是______．
【答案】2cm 或14cm
【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离、线段的和差等知识点．分为点C 在线段AB 上和在线段AB
的延长线上两种情况，分别画出图形，然后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：①如图1，点C 在线段AB 上，则
8
6
2 cm
AC
AB
BC
=
-
=
-
=
；
②如图2，点C 在线段AB 的延长线上，
8
6
14 cm
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
．
故答案为：2cm 或14cm．
16.如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．根据下列语句画图：
(1)画直线AB ；
(2)连接BC ；
(3)画射线CD，并与直线AB 交于点E ；
(4)连接DA ，并反向延长DA 至F ，使DF
AD
=
．
【答案】(1)
如图所示，直线AB 即为所求．
(2)
如图所示，线段BC 即为所求．
(3)
如图所示，射线CD和点E 即为所求．
(4)
如图所示，线段DA 和DF 即为所求．
【分析】本题主要考查线段、射线和直线：
（1）线段向两个方向无限延伸得到直线，直线没有端点；
（2）线段有两个端点；
（3）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点；
（4）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
17．如图，C 是线段AB 上的一点，N 是线段BC 的中点，若
12
AB =
，
8
AC = ，求AN 的长．
【答案】10
【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出BC 的长度，再根据中点定
义求出CN 的长度，最后计算得到AN 的长度．
【详解】解 已知
12
AB =
，
8
AC = ，
∴
12
8
4
BC =
-
=
，
∵ N 是线段BC 的中点，
∴
1
1
4
2
2
2
CN
BC
=
=
´
=
∴
8
2
10
AN
AC
CN
=
+
=
+
=
．
◆题型3 角的度量与互余互补
18．下列四个图形中，能用1
Ð ，
AOB
Ð
、
O
Ð
三种方法表示同一角的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】选项A、图中的
AOB
Ð
不能用
O
Ð
表示，故本选项不符合题意；
选项B、图中1
Ð 、
AOB
Ð
、
O
Ð
表示同一个角，故本选项符合题意；
选项C、图中的
AOB
Ð
不能用
O
Ð
表示，故本选项不符合题意；
选项D、图中的1
Ð 不能用
O
Ð
表示，故本选项不符合题意．
19．如图，此时钟面上的时间是10 时40 分，到11 时，时针走过的度数是（ ）
A．120°
B．80°
C．15°
D．10°
【答案】D
【分析】整个钟面分为12 个格，每个大格为30°，时针每分钟走30
0.5
60 =
° ，据此即可解答．
【详解】解：整个钟面分为12 个格，每个大格为30°，时针每分钟走30
0.5
60 =
° ，
从10 时40 分到11 时经过了20 分钟，
20 0.5
10
´
° =
°，
\时针走过的度数是10°．
20．某小区要进行地下管道建设，从A 区和B 区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A 区测得管
道方向为北偏东35o．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B 区施工的方向应是（ ）
A．北偏西35°
B．南偏西35°
C．南偏东35°
D．西偏南35°
【答案】B
【详解】解：QA 区测得管道方向为北偏东35o，
\B 区施工的方向应是南偏西35o。
21．图中有______个角．
【答案】10
【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏．
【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则：
以OA为开始边的有
,
,
,
AOB
AOC
AOD
AOE
Ð
Ð
Ð
Ð
，4 个角；
以OB 为开始边的有
,
,
BOC
BOD
BOE
Ð
Ð
Ð
，3 个角；
以OC 为开始边的有
,
COD
COE
Ð
Ð
，2 个角；
以OD 为开始边的有
DOE
Ð
，1 个角；
共有4
3
2 1
10
+ +
+ =
个角．
故选：10．
22．如图，OA表示北偏东25°方向的一条射线，OB 表示南偏西50°方向的一条射线，则
AOB
Ð
的度数是
_______．
【答案】155°/155 度
【分析】根据题意得，
25
AOC
Ð
=
°，
50
BOE
Ð
=
°，求出
BOD
Ð
，然后利用
AOB
AOC
COD
BOD
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
求解．
【详解】解：如图，
根据题意得，
25
AOC
Ð
=
°，
50
BOE
Ð
=
°
∴
90
50
40
BOD
DOE
BOE
Ð
= Ð
- Ð
=
°- Ð
° =
°
∴
25
90
40
155
AOB
AOC
COD
BOD
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
=
°+
°+
° =
° ．
23．25.72° = _____°_____ ' _____ '' ．
【答案】 25
43
12
【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为60 ．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可
求解．
【详解】解：25.72°的整数部分为度，即25°．
剩余小数部分0.72°换算为分：0.72 60
43.2
¢
¢
´
=
．
43.2¢的整数部分为分，即43¢．
剩余小数部分0.2¢换算为秒：0.2 60
12
¢¢
¢¢
´
=
．
因此25 72
25 43 12
¢
¢¢
° =
°
.
．
24．计算：35 28 48
¢
¢¢
°
= __________°．
【答案】35.48
【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出
错．
度、分、秒的换算规则：1
60¢
° =
，1
60
¢
¢¢
=
，将分、秒逐级转化为度即可．
【详解】
''
''
'
35 28 48
35
28
48
48
35
28
(
)
60
35
28
0.8
35
28.8
28.8
35
60
35
0.48
35.48
°
=
°+
+
=
°+
+
=
°+
+
=
°+
æ
ö
=
°+
°
¢
¢
¢
¢
°
ç
÷
è
ø
=
°
=
¢
°+
¢
故答案为：35.48．
25．比较角度的大小：32.18°________32 18¢
°
．（填“ >”“<”或“ = ”）
【答案】<
【分析】利用1
60¢
° =
进行换算后再比较大小．
【详解】∵
18
18
0.3
60
æ
ö
¢ =
° =
°
ç
÷
è
ø
，即32 18
32.3
¢
°
=
° ，
又∵32.18
32.3
° <
°，
∴32.18
32.18¢
° <
．
26．如图，O 是直线上一点，OC 为任一条射线，OD 平分
BOC
Ð
，OE 平分
AOC
Ð
，
68
BOC
Ð
=
° ，则
EOC
Ð
= ________度．
【答案】56
【分析】先求出
AOC
Ð
的度数，再根据角平分线的定义解答．
【详解】解：
A
Q
，O ，B 三点共线，
180
AOB
\Ð
=
°
180
68
112
AOC
AOB
COB
°
°
°
\Ð
= Ð
- Ð
=
-
=
，
OE
Q
平分
AOC
Ð
，
1
1 112
56
2
2
EOC
AOE
AOC
\Ð
= Ð
=
Ð
=
´
° =
°．
27.计算：36 25
42 56
¢
¢
°
+
°
= _____________．
【答案】79 21¢
°
【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满60¢进一度．
【详解】解：36 25
42 56
¢
¢
°
+
°
36
42
25
56
¢
¢
=
°+
° +
+
78
81¢
=
°+
78
1
21¢
=
°+ °+
79
21¢
=
°+
79 21¢
=
°
．
28．9 点30 分时，钟表上时针与分针所组成的角为_____度．
【答案】105
【分析】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为30°是解决问题的前提．
根据钟面角的特征进行计算即可．
【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，
1
360
30
12
AOC
COD
DOE
Ð
= Ð
= Ð
=
°´
=
°，
30
30
15
60
BOE
Ð
=
°´
=
°，
30
3 15
105
AOB
\Ð
=
°´ +
° =
°，
故答案为：105
29．若一个角的度数为50°，则它的余角的大小是______．
【答案】．40°/40 度
【分析】互为余角的两个角的和为90°，据此求解．
【详解】解：已知该角的度数为50°，它的余角为90
50
40
°-
° =
° ．
30．已知
35 19
a
¢
Ð
=
°
，则
a
Ð
的余角是______．
【答案】54 41¢
°
【分析】本题主要考查余角的定义.角的运算知识点.掌握和为90°的两个角互为余角是解题的关键.根据余
角的定义列式计算即可；
【详解】解：由题意可得
a
Ð
的余角为90
90
35 19
89 60
35 19
54 41
a
¢
¢
¢
¢
°- Ð
=
°-
°
=
°
-
°
=
°
；
31．已知
1
53
Ð =
° ，1
Ð 与
2
Ð 互余，则
2
Ð =______．
【答案】37°
【详解】解：∵
1
53
Ð =
° ，1
Ð 与
2
Ð 互余，
∴
2
90
1
90
53
37
-
-
Ð =
°
Ð =
°
° =
°．
32．已知
35
A
Ð
=
°，则
A
Ð 的补角等于______°．
【答案】145
【详解】解：∵
35
A
Ð
=
°，
∴
A
Ð 的补角
180
35
145
=
° -
° =
° ．
33．一个角的补角是125°，则这个角的余角为 ___________．
【答案】35°/35 度
【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数.
【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为180°，这个角的补角是125°，
∴ 这个角的度数为 180
125
55
°-
° =
°，
∵ 互为余角的两个角的和为90°，
∴ 这个角的余角为 90
55
35
°-
° =
°.
34．已知
A
Ð 与
B
Ð 互余，若
54
A
Ð
=
°，则
B
Ð 的补角的度数为_________．
【答案】144°
【分析】根据互余的定义求出
B
Ð 的度数，再根据补角的定义计算
B
Ð 的补角度数即可．
【详解】解：Q
A
Ð 与
B
Ð 互余，
∴
90
36
B
A
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
B
Ð 的补角的度数为180
144
B
°- Ð
=
° ．
35．若
a
Ð
与Ðb 互补，
g
Ð 和
a
Ð
互余，若
53
g
Ð
=
°，则Ðb 的度数为____________．
【答案】143°/143 度
【分析】根据互余的定义，两个角互余则两角和为90°，可先求出
a
Ð
的度数，再根据互补的定义，两个
角互补则两角和为180°，代入
a
Ð
的度数计算即可得到
b
Ð
的度数．
【详解】解：∵
g
Ð 和
a
Ð
互余，
∴
90
a
g
Ð
+ Ð
=
° ，
又∵
53
g
Ð
=
°，
∴
90
53
37
a
Ð
=
°-
° =
°，
∵
a
Ð
与
b
Ð
互补，
∴
180
a
b
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
37
143
b
Ð
=
°-
° =
° ．
◆题型1 线段的和差倍分与中点
1．如图，已知点C 为线段AB 上一点，
20cm
AC =
，且
3
5
CB
AC
=
，D ，E 分别为线段AC ，AB 的中
点，求线段DE 的长．
【答案】6cm
【分析】利用线段的和差以及数量关系求解．
【详解】解：
20cm
AC =
Q
，
3
5
CB
AC
=
，
3
20
12cm
5
CB
\
=
´
=
，
20 12
32cm
AB
AC
CB
=
+
=
+
=
，
D
Q
，E 分别为线段AC ，AB 的中点，
1
1
20
10cm
2
2
DC
AC
\
=
=
´
=
，
1
1
32
16cm
2
2
BE
AB
=
=
´
=
，
10 12 16
6cm
DE
DC
CB
BE
\
=
+
-
=
+
-
=
．
2．如图，已知
:
1: 2
AD DB =
，E 是BC 的中点，
2
BE =
厘米，
10
AC =
厘米，求线段DE 的长．
【答案】6 厘米．
【分析】利用线段的中点以及线段的和差求解即可．
【详解】解：
E
Q
是BC 的中点，
2
BE =
厘米，
4
BC
\
=
厘米，
10
AC=
Q
厘米，
6
AB
AC
BC
\
=
-
=
厘米，
:
1: 2
AD DB =
Q
，
2
4
3
BD
AB
\
=
=
厘米，
6
DE
DB
BE
\
=
+
=
厘米．
3．如图，已知点C 为线段AB 上一点，
12
AC
cm
=
，
8
CB
cm
=
， D 、E 分别是AC 、AB 的中点．
(1)求DE 的长度．
(2)若M 在直线AB 上，且
6
MB
cm
=
，求AM 的长度．
【答案】(1)4cm
(2)14cm或26cm
【分析】（1）根据AC 和CB 的长度计算AB 的长度，再利用D 、E 分别是AC 、AB 的中点计算出AD 和
AE ，再算计DE 即可．
（2）分类讨论点M 的位置，分别计算AM 的长度即可．
【详解】（1）解：∵点C 为线段AB 上的点，
∴AB
AC
CB
=
+
，
∵
12
AC
cm
=
，
8
CB
cm
=
，
∴
12
8
20
AB
cm
=
+
=
，
∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点，
∴
1
6
2
AD
AC
cm
=
=
，
1
10
2
AE
AB
cm
=
=
，
∵
=
-
DE
AE
AD ，
∴
10
6
4
DE
cm
=
-
=
．
（2）解：点M 在直线AB 上
①当点M 在点A 、B 之间时，如图，
由（1）可知
20
AB
cm
=
，
6
MB
cm
=
，
∵AB
AM
MB
=
+
，
∴
=
-
AM
AB
MB ，
∴
20
6
14
AM
cm
=
-
=
．
②当点M 在直线AB 延长线上时，如图，
∵
20
AB
cm
=
，
6
MB
cm
=
∴
=
+
AM
AB
MB
∴
20
6
26
AM
cm
=
+
=
．
综上所述，AM 的长度为14cm或26cm ．
◆题型2 角的和差倍分与角平分线
4．如图，直线AB 、CD相交于点O ，OE 平分
BOD
Ð
，OF 平分
COE
Ð
，且1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，求
BOF
Ð
的
度数．
【答案】45°
【分析】首先根据OE 平分
BOD
Ð
，可得
1
DOE
Ð = Ð
，再根据1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，计算出
DOE
Ð
和
BOC
Ð
的
度数，然后计算出
COE
Ð
的度数，再根据角平分线的定义可得
75
EOF
Ð
=
° ，最后根据
1
BOF
EOF
Ð
= Ð
- Ð
求解即可．
【详解】解：∵OE 平分
BOD
Ð
，
∴
1
DOE
Ð = Ð
，
∵
1:
2
1: 4
Ð
Ð =
，
1
180
DOE
AOD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，
∴
1
1
180
30
1 1
4
DOE
Ð = Ð
=
´
° =
°
+ +
，
2
180
2 30
120
BOC
Ð
= Ð =
°- ´
° =
° ，
∴
1
120
30
150
COE
COB
Ð
= Ð
+ Ð =
°+
° =
°，
∵OF 平分
COE
Ð
，
∴
1
1 150
75
2
2
EOF
COE
Ð
=
Ð
=
´
° =
° ．
∴
1
75
30
45
BOF
EOF
Ð
= Ð
- Ð =
°-
° =
°．
5．如图，直线AB ，CD相交于点O ，OE
CD
^
于点O ，OF 平分
BOC
Ð
．
(1)若
40
BOD
Ð
=
°，求
AOF
Ð
的度数；
(2)若
1 2
AOC
AOE
Ð
Ð
=
∶
∶，求
COF
Ð
的度数．
【答案】(1)110°
(2)75°
【分析】（1）根据平角的定义求出
BOC
Ð
的度数，根据角平分线的定义，求出
BOF
Ð
的度数，进而求出
AOF
Ð
的度数即可；
（2）根据角的和差关系和数量关系，求出
AOC
Ð
的度数，进而求出
BOC
Ð
的度数，由角平分线的定义，
求出
COF
Ð
的度数.
【详解】（1）解：∵
40
BOD
Ð
=
°，
∴
180
140
BOC
BOD
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∵OF 平分
BOC
Ð
，
∴
1
70
2
BOF
BOC
Ð
=
Ð
=
°，
∴
180
110
AOF
BOF
Ð
=
°- Ð
=
°；
（2）解：∵OE
CD
^
，
∴
90
COE
Ð
=
° ，
∴
90
AOC
AOE
Ð
+ Ð
=
°，
∵
1 2
AOC
AOE
Ð
Ð
=
∶
∶，
∴
2
AOE
AOC
Ð
= Ð
，
∴
3
90
AOC
AOE
AOC
Ð
+ Ð
= Ð
=
° ，
∴
30
AOC
Ð
=
° ，
∴
180
150
BOC
AOC
Ð
=
°- Ð
=
°，
∵OF 平分
BOC
Ð
，
∴
1
75
2
COF
BOC
Ð
=
Ð
=
° .
6．如图，点A，O，B 在同一条直线上，射线OD 和射线OE 分别平分
AOC
Ð
和
BOC
Ð
，求
DOE
Ð
的度
数．
【答案】90°
【详解】解：∵射线OD 和射线OE 分别平分
AOC
Ð
和
BOC
Ð
，
1
2
COD
AOC
\Ð
=
Ð
，
1
2
COE
BOC
Ð
=
Ð
，
1
2
DOE
COD
COE
AOC
BOC
\Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
∵点A，O，B 在同一条直线上，
∴
180
AOC
BOC
Ð
+ Ð
=
°，
1
180
90
2
DOE
\Ð
=
´
° =
°．
7．解答以下问题
(1)已知点C 在线段AB 上，取AC 的中点M ，BC 的中点N ，
12
AB =
，求MN ；
(2)如图，已知
120
AOB
°
Ð
=
，OM 平分
AOC
Ð
，ON 平分
BOC
Ð
，则
MON
Ð
的度数为______．
【答案】(1)6
(2)60°
【分析】本题考查了线段双中点模型和角的双角平分线模型．利用中点的定义和角平分线的定义即可解
题．
【详解】（1）解：
AC
Q
的中点为M ，BC 的中点为N ，
1
2
MC
AC
\
=
，
1
2
NC
BC
=
，
1
1
2
2
MN
MC
NC
AC
BC
\
=
+
=
+
，
1 (
)
2 AC
BC
=
+
1
6
2 AB
=
=
；
（2）解：
OM
Q
平分
AOC
Ð
，ON 平分
BOC
Ð
，
1
2
COM
AOC
\Ð
=
Ð
，
1
2
CON
BOC
Ð
=
Ð
，
MON
COM
CON
\Ð
= Ð
+ Ð
，
1
1
2
2
AOC
BOC
=
Ð
+
Ð
，
1 (
)
2
AOC
BOC
=
Ð
+ Ð
，
1
60
2
AOB
=
Ð
=
° ．
8．如图，已知点O 为直线AB 上一点，
100
BOC
Ð
=
° ，OM 平分
AOC
Ð
．
(1)求
AOM
Ð
的度数；
(2)若
BOP
Ð
与
AOM
Ð
互余，求
COP
Ð
的度数．
【答案】(1) 40°
(2)50°
【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义：
（1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）根据
BOP
Ð
与
AOM
Ð
互余求出
BOP
Ð
即可求解．
【详解】（1）解：Q
180
AOB
Ð
=
° ，
100
BOC
Ð
=
° ，
\
180
100
80
AOC
AOB
BOC
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ，
Q OM 平分
AOC
Ð
，
\
AOM
Ð
1
40
2
AOC
=
Ð
=
° ；
（2）解：Q
BOP
Ð
与
AOM
Ð
互余，
40
AOM
Ð
=
°，
\
90
50
BOP
AOM
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
100
50
50
COP
BOC
BOP
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°；
◆题型3 余角补角的方程思想
9．如图，点O 为直线上一点，过点O 作
90
MOB
Ð
=
° ，在
MOB
Ð
内有一条射线OC ，OD 平分
COM
Ð
，
且
AON
BOC
Ð
= Ð
．
(1)试说明：
2
AOB
DOM
Ð
= Ð
；
(2)在（1）的条件下，过点O 在直线MN 的上方有一条射线OE ，若
:
5:1
BOD
BOC
Ð
Ð
=
，
3
DOE
DOM
Ð
= Ð
，求
AOE
Ð
的度数．
【答案】(1)
证明：∵
90
MOB
Ð
=
° ，
∴
90
NOB
Ð
=
°，
∵
AON
BOC
Ð
= Ð
，
∴
90
AOB
BOC
AOB
AON
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
AOB
MOC
BOC
Ð
= Ð
=
°- Ð
，
∵OD 平分
COM
Ð
，
∴
2
AOB
COM
DOM
Ð
= Ð
= Ð
；
(2)
10
AOE
Ð
=
°
【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平
分线的性质．
（1）根据余角性质得出
AOB
MOC
Ð
= Ð
，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
:
5:1
BOD
BOC
Ð
Ð
=
，
∴
:
4:1
COD
BOC
Ð
Ð
=
，
又∵OD 平分
COM
Ð
，
∴
COD
MOD
Ð
= Ð
，
∴
1
90
10
9
AON
BOC
Ð
= Ð
=
´
° =
°，
4
90
40
9
DOM
Ð
=
´
° =
°，
∴
3
120
DOE
DOM
Ð
= Ð
=
°，
180
170
AOM
AON
Ð
=
°- Ð
=
°，
∵射线OE 在直线MN 的上方，
∴
40
120
160
MOE
MOD
DOE
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
°，
∴
170
160
10
AOE
AOM
MOE
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
10．如图，
AOC
Ð
和
BOE
Ð
都是90°．
(1)与
AOE
Ð
相等的角是________；
(2)若OD 平分
COE
Ð
，
:
3: 4
BOC
AOD
Ð
Ð
=
，求
DOE
Ð
的度数．
【答案】(1)
BOC
Ð
；
(2)
18
DOE
Ð
=
°．
【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程．
（1）根据同角的余角相等作答即可；
（2）根据OD 平分
COE
Ð
得到
1
2
COD
EOD
COE
Ð
= Ð
=
Ð
，根据
:
3: 4
BOC
AOD
Ð
Ð
=
得到
4 90
2
3 90
DOE
DOE
°- Ð
=
°- Ð
，求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
AOC
AOE
EOC
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
90
BOE
BOC
COE
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
AOE
BOC
Ð
= Ð
．
故答案为：
BOC
Ð
；
（2）解：∵OD 平分
COE
Ð
，
∴
1
2
COD
EOD
COE
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵
90
2
BOC
BOE
COE
DOE
Ð
= Ð
- Ð
=
°- Ð
，
90
AOD
AOC
DOC
DOE
Ð
= Ð
- Ð
=
°- Ð
，
:
3: 4
BOC
AOD
Ð
Ð
=
∴
90
2
: 90
3: 4
DOE
DOE
°- Ð
°- Ð
=
，
即
4 90
2
3 90
DOE
DOE
°- Ð
=
°- Ð
，
解得：
18
DOE
Ð
=
°．
11．如图1，
AOC
Ð
与
BOD
Ð
都是直角，
50
BOC
Ð
=
° ．
(1)求
AOB
Ð
和
COD
Ð
的度数，并说明
AOB
Ð
和
COD
Ð
的大小关系如何．
(2)若
BOC
Ð
的大小不确定，其他条件不变，（1）中的
AOB
Ð
和
COD
Ð
的大小关系仍然成立吗？请说明理由．
(3)试猜想
AOD
Ð
与
COB
Ð
是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理．
(4)当
BOD
Ð
绕点O 旋转到图2 的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)
40
AOB
Ð
=
°，
40
COD
Ð
=
°；
AOB
COD
Ð
= Ð
(2)成立，证明见解析
(3)
AOD
Ð
与
COB
Ð
是互补关系，证明见解析
(4)成立，证明见解析
【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键．
（1）根据直角关系，求出
40
AOB
Ð
=
°，
40
COD
Ð
=
°，并得到二者角度相等；
（2）根据同角的余角相等即可证明；
（3）将直角代入计算，可证出
180
AOD
BOC
Ð
+ Ð
=
°，即二者互补；
（4）同理，将直角代入计算，得出
180
AOD
BOC
Ð
+ Ð
=
°，即二者互补．
【详解】（1）解：∵
AOC
Ð
与
BOD
Ð
都是直角，
∴
90
AOC
BOD
Ð
= Ð
=
° ，
∵
50
BOC
Ð
=
° ，
∴
40
AOB
AOC
BOC
Ð
= Ð
- Ð
=
°，
40
COD
BOD
BOC
Ð
= Ð
- Ð
=
°，
故
AOB
COD
Ð
= Ð
．
（2）解：成立，理由如下：
∵
90
AOC
BOD
Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
AOB
BOC
AOB
COD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
BOC
COD
Ð
= Ð
（同角的余角相等）．
（3）解：互补关系，理由如下：
∵
90
AOD
AOC
COD
COD
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+ Ð
，
90
BOC
BOD
COD
COD
Ð
= Ð
- Ð
=
°- Ð
，
∴
90
90
180
AOD
BOC
COD
COD
Ð
+ Ð
=
°+ Ð
+
°- Ð
=
°，
即
AOD
Ð
与
COB
Ð
是互补关系．
（4）解：成立，理由如下：
∵
360
AOD
AOC
BOD
BOC
Ð
=
°- Ð
- Ð
- Ð
，
结合
90
AOC
BOD
Ð
= Ð
=
° ，
上式为
360
90
90
180
AOD
BOC
BOC
Ð
=
°-
°-
°- Ð
=
°- Ð
，
即
180
AOD
BOC
Ð
+ Ð
=
°，
故
AOD
Ð
与
COB
Ð
依旧是互补关系．
一、选择题
1．1．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（ ）
A．满
B．少
C．年
D．怀
【答案】C
【详解】解：根据正方体展开图可知：有“壮”字一面的相对面上的字为“年”．
2．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱
B．四棱柱
C．四棱锥
D．三棱锥
【答案】A
【详解】A 选项，三棱柱展开侧面是长方形，底面是三角形，符合题意
B 选项，四棱柱展开侧面是长方形，底面也是长方形，不符合题意
C 选项，四棱锥展开侧面是三角形，底面是长方形，不符合题意
D 选项，三棱锥展开侧面是三角形，底面也是三角形，不符合题意
3．下列几何体中，不含曲面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可．
【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B．
4．下面的图形能折成一个正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】正方体展开图有11 种特征，分四种类型，即：第一种：“1
4
1
― ― ”结构，第二种：“ 2
2
2
—
—
”
结构；第三种：“3
3
—
”结构，；第四种：“1
3
2
—
—
”结构，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】
解：A、
不符合正方体展开图的11 种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意；
B、
不符合正方体展开图的11 种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意；
C、
符合“1
3
2
—
—
”结构，能折成一个正方体，故该选项符合题意；
D、
不符合正方体展开图的11 种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意；
5．2026 年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40 年前许海峰在亚运会上射落4 枚金牌后，射
击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械
时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案．
【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线．
6．如图，点O 在直线AB 上，OD 平分
BOC
Ð
．若
38
AOC
Ð
=
° ，则
COD
Ð
的度数为（ ）
A．38°
B．52°
C．71°
D．76°
【答案】C
【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵点O 在直线AB 上，
38
AOC
Ð
=
° ，
∴
180
180
38
142
BOC
AOC
-
-
Ð
=
Ð
=
°
° =
°
o
，
∵OD 平分
BOC
Ð
，
∴
1
1 142
71
2
2
COD
BOC
Ð
=
Ð
=
´
° =
° ．
二、填空题
7．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________．
【答案】两点确定一条直线
【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁
定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移．
【详解】解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣
架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位．
因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线．
8．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学
原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）．
【答案】点动成线
【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系，
根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线．
【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线．
故答案为：点动成线．
9．如图，在点A 和点B 之间的四条线中，通过度量可以得到A，B 两点之间的距离的线是________．（填
序号）
【答案】②
【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键．
根据相关知识点解题即可．
【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段AB 的长．
故答案为：② ．
10．2024 年12月25 日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，
修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________．
【答案】两点之间线段最短
【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，
在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短．
11.78.25
______ ______¢
° =
°
․
【答案】78，15
【分析】本题考查度分秒的单位换算，度分秒之间的进率为1
60¢
° =
，将原度数的小数部分乘以进率换算
为分，即可得到结果．
【详解】解：78.25
78
0.25
78
0.25 60
78 15
¢
¢
° =
°+
° =
°+
´
=
°
．
12.时钟上7 点15 分，时针与分针形成的角是__________ 度．
【答案】127.5
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1 分钟转0.5°进行计算，即可解答．
【详解】解：7 点15 分时，分针在刻度3 上，时针在刻度7 后，从刻度3 到刻度7 有7
3
4
-
=
个大格，
夹角为4
30
120
´
° =
°．时针在7 点整的基础上额外转动了15 分钟，角度为15 0.5
7.5
´
° =
° ，所以两个指针的夹
角为120
7.5
127.5
°+
° =
° ．
13．若
A
Ð 与
B
Ð 互余，
B
Ð 与
C
Ð
互补，
30
A
Ð
=
°，则
C
Ð
= ________．
【答案】120°
【分析】根据
A
Ð 与
B
Ð 互余，
B
Ð 与
C
Ð
互补进行计算即可．
【详解】解：∵
A
Ð 与
B
Ð 互余，
∴
90
A
B
Ð + Ð
=
°，
∵
30
A
Ð
=
°，
∴
60
B
Ð
=
°，
∵
B
Ð 与
C
Ð
互补，
∴
180
B
C
+
=
°
Ð
Ð
，
∴
180
C
B
Ð
=
°- Ð ，
∴
180
60
120
C
Ð
=
°-
° =
°．
三、解答题
14．如图，在平面上有四个点A 、B 、C 、D ，根据下列语句画图：
(1)画直线AB ；
(2)画射线AC ；
(3)画线段BC ；
(4)连接BD ，并延长BD 至E ，使
2
BE
BD
=
．
【答案】(1)
直线AB 即为所求；
(2)
射线AC 即为所求；
(3)
线段BC 即为所求；
(4)
线段BE 、BD 即为所求．
【分析】本题考查作图——复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识．
（1）根据直线的定义画出图形；
（2）根据射线定义画出图形；
（3）根据线段的定义画出图形；
（4）连接BD ，在BD 的延长线上截取
2
BE
BD
=
即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
15．已知：C 为线段AB 的中点，D 在线段BC 上，且
8
AD =
，
6
BD =
，求线段CD的长度．
【答案】
1
CD =
【分析】根据已知可求得AB 的长，从而可求得AC 的长，利用AD 的长，可求得CD的长．
【详解】解：∵
8
AD =
，
6
BD =
，
∴
14
AB
AD
BD
=
+
=
，
∵C 是AB 的中点
∴
1
7
2
AC
AB
=
=
，
∴
8
7
1
CD
AD
AC
=
-
=
-
= ．
16．如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是AB 的中点，N 是CB 的中点．
(1)若
14
AB =
，
6
CB =
，求MN 的长度；
(2)若
8
AC =
，求MN 的长度．
【答案】(1)4
(2)4
【分析】（1）先根据M 是AB 的中点得
1
2
BM
AB
=
，再根据N 是CB 的中点得
1
2
BN
CB
=
，再根据
MN
BM
BN
=
-
计算即可；
（2）先根据M 是AB 的中点得
1
2
BM
AB
=
，再根据N 是CB 的中点得
1
2
BN
CB
=
，再根据
1
1
2
2
MN
BM
BN
AB
CB
AC
=
-
=
-
=
计算即可．
【详解】（1）解：∵M 是AB 的中点，
14
AB =
，
∴
1
7
2
BM
AB
=
=
，
∵N 是CB 的中点，
6
CB =
，
∴
1
3
2
BN
CB
=
=
，
∴
7
3
4
MN
BM
BN
=
-
=
-
=
；
（2）解：∵M 是AB 的中点，N 是CB 的中点，
∴
1
2
BM
AB
=
，
1
2
BN
CB
=
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
MN
AB
CB
AB
CB
AC
=
-
=
-
=
，
∵
8
AC =
，
∴
1
4
2
MN
AC
=
=
．
17．如图，点O 是直线EF 上的一点，射线OA
OB
OC
，
，
在直线EF 的上方，射线OD 在直线EF 的下方，
且OF 平分
COD
Ð
，
90
AOC
BOD
Ð
= Ð
=
° ．
(1)请写出
BOC
Ð
的一个余角．
(2)若
35
DOF
Ð
=
° ，求
AOB
Ð
的度数．
(3)若
15
BOC
COF
Ð
= Ð
+
° ，求
AOE
Ð
的度数．
【答案】(1)
AOB
Ð
（或
COD
Ð
）
(2)70°
(3)65°
【分析】本题主要考查几何中角度的和差计算，角平分线的定义，互余的概念及计算．
（1）根据余角的概念，结合图形求解即可；
（2）根据同角的余角相等得到
AOB
COD
Ð
= Ð
，再根据角平分线的定义即可求解；
（3）根据题意得到
2
90
BOC
COF
Ð
+ Ð
=
° ，结合题意得到
25
COF
Ð
=
° ，根据平角等于180°列式求解即
可．
【详解】（1）解：∵
90
AOC
BOD
Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
AOB
BOC
BOC
COD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
BOC
Ð
的一个余角是
AOB
Ð
（或
COD
Ð
）；
（2）解：∵
90
AOB
BOC
BOC
COD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
AOB
COD
Ð
= Ð
，
∵OF 平分
COD
Ð
，
∴
2
2 35
70
COD
DOF
Ð
= Ð
=
´
° =
° ，
∴
70
AOB
Ð
=
° ；
（3）解：∵OF 平分
COD
Ð
，
∴
COF
DOF
Ð
= Ð
，
∵
2
90
BOD
BOC
COF
DOF
BOC
COF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
15
BOC
COF
Ð
= Ð
+
° ，
∴
15
2
90
COF
COF
Ð
+
°+ Ð
=
° ，
解得，
25
COF
Ð
=
° ，
∵
180
AOE
AOC
COF
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
180
90
25
65
AOE
AOC
COF
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°．
18．如图，点O 在直线AB 上，OE 是AB 上方的一条射线，且
3
BOE
AOC
Ð
= Ð
．
(1)若
BOE
Ð
与
AOC
Ð
互为余角，求
AOC
Ð
的度数．
(2)若OC 平分
,
50
AOF
EOF
°
Ð
Ð
=
，求
BOF
Ð
的度数．
【答案】(1) 22.5°
(2)128°
【分析】本题考查两角互余的定义，角平分线的性质，平角的定义；
（1）设
AOC
Ð
a
=
，则
3
BOE
a
Ð
=
，根据两角互余列方程解答即可；
（2）由题意得
AOC
COF
Ð
= Ð
，设
AOC
COF
b
Ð
= Ð
=
，则
3
BOE
b
Ð
=
，根据平角的定义列方程解答即
可．
【详解】（1）解：∵
3
BOE
AOC
Ð
= Ð
，
设
AOC
Ð
a
=
，则
3
BOE
a
Ð
=
，
∵
BOE
Ð
与
AOC
Ð
互为余角，
∴
3
90
a
a
+
=
°
解得
22.5
a =
°，
∴
22.5
AOC
Ð
=
°；
（2）解：∵OC 平分
,
50
AOF
EOF
°
Ð
Ð
=
，
3
BOE
AOC
Ð
= Ð
，
∴
AOC
COF
Ð
= Ð
，
设
AOC
COF
b
Ð
= Ð
=
，则
3
BOE
b
Ð
=
，
∴
180
3
50
b
b
b
+
+
°+
=
°，
解得
26
b =
° ，
3
78
b =
°，
∴
78
50
128
BOF
BOE
EOF
°+
° =
°
Ð
= Ð
+ Ð
=
19．如图，已知OE 是
AOC
Ð
的角平分线，OD 是
BOC
Ð
的角平分线．
（1）若
70
AOE
Ð
=
° ，
20
COD
Ð
=
°，求
AOB
Ð
的度数；
（2）若
45
DOE
Ð
=
° ，且
180
AOC
BOC
Ð
+ Ð
=
°，求
COD
Ð
的度数．
【答案】（1）100°；（2）22.5°
【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC 易得结
果；
（2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x 再根
据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得．
【详解】解：（1）因为OD 是
BOC
Ð
的角平分线，
20
COD
Ð
=
°，
所以
2
40
BOC
COD
Ð
= Ð
=
°．
因为OE 是
AOC
Ð
的角平分线，
所以
2
140
AOC
AOE
Ð
= Ð
=
°．
所以
140
40
100
AOB
AOC
BOC
Ð
= Ð
- Ð
=
-
° =
° ．
（2）因为OD 是
BOC
Ð
的角平分线，
所以设
COD
BOD
x
Ð
= Ð
=
．
因为
45
DOE
Ð
=
° ，所以
45
BOE
x
Ð
=
°-
，
45
COE
x
Ð
=
°+
．
因为OE 是
AOC
Ð
的角平分线，所以
45
AOE
COE
x
Ð
= Ð
=
°+
因为
180
AOC
BOC
Ð
+ Ð
=
°，所以
2 45
2
180
x
x
°+
+
=
°，
所以
22.5
x =
° ，即
22.5
COD
Ð
=
°．
【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而
根据等量关系求出角的度数．
