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第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 有理数的加法运算
题型2 有理数的减法运算
题型3 有理数的乘法运算
题型4 有理数的除法运算
题型5 有理数的乘方与混合运算
题型6 运算律的灵活运用
题型7 科学记数法与近似数
核心提升：重难题型归纳
题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序
题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用
题型3 有理数运算的实际应用
题型专练：高频重难特训
◆题型1 有理数的加法运算
1.计算3
2
- +
的结果是（ ）
A．1
B．1
-
C．5
D．5
-
【答案】B
【详解】3
2
(3
2)
1
- +
= -
-
= - ．
2.计算
(1)
23
17
6
22
+ -
+
+ -
；
(2)
6.35
1.4
7.6
5.35
-
+ -
+ -
+
【答案】(1)-10
(2)-10
【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可；
（2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可．
【详解】（1）解：
23
17
6
22
+ -
+
+ -
23 17
6
22
=
-
+
-
23
6
17
22
=
+
-
+
29
39
=
-
10
= -
；
（2）解：
6.35
1.4
7.6
5.35
-
+ -
+ -
+
6.35
5.35
1.4
7.6
= -
+
+
-
+ -
é
ù
ë
û
1
1.4
7.6
= - + -
+
é
ù
ë
û
1 9
= - -
10
= -
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同
或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不
改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，
括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
◆题型2 有理数的减法运算
3. 计算：
3
2
- - -
=（ ）
A．1
-
B．5
C．1
D．5
-
【答案】B
【详解】解：
3
2
3
2
5
- - -
=
+
=
4. 下列计算正确的是（ ）
A．
7
2
5
- - -
=
B．
3.6
5.4
1.8
-
- +
=
C．
3
1
8
7
5
35
æ
ö
æ
ö
-
- -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
4
5
1
- -
= -
【答案】C
【详解】解：A、
7
2
7
2
5
- - -
= - +
= - ，原式计算错误，不符合题意；
B、
3.6
5.4
9
-
- +
= - ，原式计算错误，不符合题意；
C、
3
1
3
1
8
7
5
7
5
35
æ
ö
æ
ö
-
- -
= -
+
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，计算正确，符合题意；
D、
4
5
4
5
9
- -
=
+
=
，原式计算错误，不符合题意．
5.吐鲁番盆地最低点海拔为154m
-
，珠穆朗玛峰峰顶海拔为8848m ，两地相对高度是________．
【答案】9002m
【详解】解：
8848
154
8848 154
9002 m
- -
=
+
=
∴两地相对高度为9002m ．
◆题型3 有理数的乘法运算
6.如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（ ）
A．一定都是正数
B．一定都是负数
C．一定也异号
D．一定同号
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得．
【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数），
∴另外两个数的积一定为正数，
∴另外两个数一定同号．
7.计算
108
25
4
-
´ -
´ 的结果是（ ）
A．10800
B．-2700
C．-432
D．1080
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
根据有理数的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
108
25
4
-
´ -
´
108 100
=
´
10800
=
．
故选：A．
8. 已知某商品每件标价为100 元，按照标价的8 折出售，那么每件商品的售价是______元.
【答案】80
【详解】解：由题意得，8 折指售价为标价的80%，
则每件商品的售价是100 80%
80
´
=
（元）．
9.计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
(1)
2
10
15
-
+
- +
(2)
3
5
9
24
4
8
12
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1) 7
-
(2) 21
-
【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可；
（2）结合乘法分配律将原式展开，先计算乘法，再计算加减法即可．
【详解】（1）
2
10
15
-
+
- +
2 10 15
= - +
-
7
= - ．
（2）
3
5
9
24
4
8
12
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
3
5
9
24
24
24
4
8
12
=
´ -
-
´ -
+
´ -
18
15
18
= -
- -
+ -
18
15
18
= -
+
-
21
= -
．
◆题型4 有理数的除法运算
10.计算
1
4
2
æ
ö
-
¸ -
ç
÷
è
ø 的结果为（ ）
A．2
-
B．2
C．8
-
D．8
【答案】D
【详解】解：
1
4
8
2
æ
ö
-
¸ -
=
ç
÷
è
ø
．
11.
1
1
2
2
2
2
æ
ö
-
´ ¸ -
´
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．2
B．1
-
C．1
D．4
【答案】D
【详解】解：
1
1
2
2
2
2
æ
ö
-
´
¸ -
´
ç
÷
è
ø
1
2
2
2
2
= -
´ ´ -
´
1
2
2
= - ´ -
´
2 2
=
´
4
=
．
12.计算：
3
5
5
4
6
4
æ
ö
æ
ö
-
´
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø．
【答案】
1
2
【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法
运算即可．
【详解】解：
3
5
5
4
6
4
æ
ö
æ
ö
-
´
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
5
8
4
æ
ö
= -
¸ -
ç
÷
è
ø
5
4
8
5
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
1
2
=
．
13. 计算：
2
3
64
2
27
3
8
-
¸
´
¸ -
；
【答案】1
3
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有
理数乘除混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
2
3
64
2
27
3
8
-
¸
´
¸ -
8
3
64
27
3
8
= -
¸
´
¸ -
3
3
1
64
8
8
27
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
3
=
．
◆题型5 有理数的乘方与混合运算
14. 下列算式中，正确的是（ ）
A．
2
2
4
- -
=
B．
2
2
4
-
=
C．
2
2
4
-
-
=
D．
3
2
8
-
= -
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误．
【详解】解：对选项A，
2
2
4
4
-
-
-
=
¹
Q
，\ A 错误；
对选项B，
2
2
2 2
4
4
-
-
-
=
´
=
¹
Q
，\ B 错误；
对选项C，
2
2
2
2
4
4
-
-
= -
´ -
=
¹
Q
，\ C 错误；
对选项D，
3
2
2
2
2
8
-
-
= -
´ -
´ -
=
Q
，\ D 正确．
15.下列各对数值相等的是（ ）
A．
5
2
-
和
5
2
- -
B．
23
- -
和
2
3
-
C．
3
3 2
- ´
和
23
2
-
´
D．
2
3
- -
和
3
2
- -
【答案】B
【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是
否相等．
【详解】解：∵
5
2
32
-
= -
，
5
2
32
32
- -
= - -
=
，32
32
-
¹
，
∴A 选项数值不相等，不符合题意；
∵
23
9
9
- -
= - -
=
，
2
3
9
-
=
，9
9
=
，
∴B 选项数值相等，符合题意；
∵
3
3 2
3 8
24
- ´
= - ´ = -
，
23
2
9 2
18
-
´
= - ´
= -
，24
18
-
¹ -
∴C 选项数值不相等，不符合题意；
∵
2
3
9
-
- -
=
，
3
2
8
8
- -
= - -
=
，9
8
- ¹
∴D 选项数值不相等，不符合题意，
故选：B
16.计算：
(1)
2
3
8
2
2
- -
+ ¸ -
+ -
；
(2)
3
2
1
2
8
( 2)
4
-
¸ -
´ -
；
(3)
1
1
1
1
12
3
2
18
æ
ö
æ
ö
-
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(4)
2
4
1
1
1 0.5
2
3
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
ë
û ．
【答案】(1)3
(2) 2
-
(3) 9
2
(4) 1
6
【分析】本题考查有理数的混合运算：
（1）根据有理数的加法、减法、除法法则，及绝对值的计算方法计算即可；
（2）计算出乘方，再根据有理数的除法和乘法法则即可计算；
（3）根据有理数的除法和乘法法则，结合乘法分配律即可计算；
（4）先计算乘方及括号里面的，再根据有理数乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
2
3
4
2
=
+ -
+
3
=
；
（2）解：原式
1
8
8
4
4
= - ¸ -
´
1 1
= - -
2
-
=
；
（3）解：原式
1
1
1
18
12
3
2
æ
ö
= -
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
1
18
18
18
12
3
2
= -
´ -
+
´ -
-
´ -
3
6
9
2
=
-
+
9
2
=
；
（4）解：原式
1
1
2
1
2
9
3
= - -
´
´
-
7
1
6
= - +
1
6
=
．
◆题型6 运算律的灵活运用
17.计算：
2021
1
1
4
1
3
3
æ
ö
-
-
+
-
´
ç
÷
è
ø
【答案】3
-
【分析】先计算乘方和小括号内的减法，再算乘法，最后求和即可
【详解】解：
2021
1
1
4
1
3
3
æ
ö
-
-
+
-
´
ç
÷
è
ø
2
1 4
3
3
= - -
+
´
5
2
= - +
3
-
=
18. 计算：
(1)
1
1
1
48
4
6
12
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
(2)
3
41
16
2
3 1
-
+
¸ -
´ - - ．
【答案】(1) 8
-
(2) 9
-
【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算．
【详解】（1）
1
1
1
48
4
6
12
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
1
48
48
48
4
6
12
= -
´
+
´
-
´
12
8
4
= -
+ -
8
= -
（2）
3
41
16
2
3 1
-
+
¸ -
´ - -
1 16
8
4
= - +
¸ -
´
1 2 4
= - - ´
1 8
= - -
9
= -
19.计算：
(1)
16
23
17
7
-
+
+ -
- -
；
(2)
2
2024
1
5
1
18
24
2
2
6
æ
ö
-
+ -
´
-
+
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)
3
-
(2)
11
【详解】（1）解：
16
23
17
7
-
+
+ -
- -
7
17
7
=
+ -
- -
10
7
= -
+
3
= - ；
（2）解：
2
2024
1
5
1
18
24
2
2
6
æ
ö
-
+ -
´
-
+
¸ -
ç
÷
è
ø
1
1
18
24
4
3
æ
ö
= - + -
´ -
+
¸
ç
÷
è
ø
1 6
6
= - +
+
11
=
．
◆题型7 科学记数法与近似数
20.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014-2018 年，中央财政累计投入“全面改
善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”，专项补助资金1692亿元，将1692亿用科学记数法表示应为
（ ）
A．
12
0.1692 10
´
B．
12
1.692 10
´
C．
11
1.692 10
´
D．
10
16.92 10
´
【答案】C
【详解】1692亿用科学记数法表示为
11
1.692 10
´
．
21.贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为176 000 平方千米．数据176 000 用科学记数法可以
表示为（ ）
A．
3
176 10
´
B．
4
17.6 10
´
C．
5
1.76 10
´
D．
6
0.176 10
´
【答案】C
【详解】解：数据176 000 用科学记数法可以表示为
5
1.76 10
´
22.近似数8.5万精确到（ ）位．
A．十
B．十分位
C．千
D．万
【答案】C
【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最
后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位．
【详解】解：8.5万
85000
=
，85000 中最后一位有效数字“5 ”位于千位，
则近似数8.5万精确到千位．
23. 356578km 精确到万位是（ ）
A．
5
3.57 10 km
´
B．
6
0.35 10 km
´
C．
5
3.6 10 km
´
D．
5
4 10 km
´
【答案】C
【详解】解：根据题意精确到万位可得，
5
356578
360000
3.6 10
km
»
=
´
．
◆题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序
1．计算：
(1) 8
( 1.2)
( 0.6)
( 2.4)
- + -
- -
+ -
；
(2)
1
9
8
9
æ
ö
-
´ -
¸
ç
÷
è
ø
；
(3) 5
3
7
1
6
4
12
36
æ
ö
-
-
¸
ç
÷
è
ø
；
(4)
8
8
8
25
3
8
7
7
7
æ
ö
´
+ -
´
- ´ -
ç
÷
è
ø；
(5)
24
49
10
25
-
´
．
【答案】(1) 11
-
(2) 1
8
(3) 18
-
(4) 240
7
(5)
3
499 5
-
【详解】（1）解：原式
8 1.2
0.6
2.4
-
=
-
+
-
( 8 1.2
2.4)
0.6
= - -
-
+
11.6
0.6
= -
+
11
= -
；
（2）解：原式
1
1
9
9
8
= ´
´
8
1
=
；
（3）解：原式
5
3
7
36
6
4
12
æ
ö
=
-
-
´
ç
÷
è
ø
5
3
7
36
36
36
6
4
12
=
´
-
´
-
´
30
27
21
=
-
-
18
= -
；
（4）解：原式
8
8
8
25
3
8
7
7
7
=
´
+ -
´
+ ´
8
25
3
8
7
é
ù
=
´
+ -
+
ë
û
8
30
7
=
´
240
7
=
；
（5）解：原式
1
50
10
25
æ
ö
= -
+
´
ç
÷
è
ø
1
50 10
10
25
-
=
´
+
´
5
2
500
= -
+
3
499 5
= -
．
◆题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用
2．用简便方法计算：
(1) 23 2.78
27.8 5.9 180 0.278
´
+
´
+
´
；
(2)
2
2026
2025 2027
-
´
．
【答案】(1)278
(2)1
【详解】（1）解：23 2.78
27.8 5.9 180 0.278
´
+
´
+
´
23 2.78
2.78 59 18 2.78
=
´
+
´
+
´
2.78
23
59 18
=
´
+
+
2.78 100
=
´
278
=
；
（2）解：
2
2026
2025 2027
-
´
2
2026
2026 1
2026 1
=
-
-
+
2
2
2026
2026
1
=
-
-
2
2
2026
2026
1
=
-
+
1
= ．
◆题型3 有理数运算的实际应用
3．某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一
天中七次行驶记录如下．
（单位：km ）4, 7, 9, 8, 6, 5, 2
-
+
-
+
+
-
-
(1)在第几次记录时距A 地最远．
(2)求收工时在A 地的什么方向？距A 地多远？
(3)若每千米耗油0.3 升，问共耗油多少升？
【答案】(1)第五次
(2)收工时在A 地正东方向，距A 地1km
(3)共耗油12.3升
【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次: 第七次记录时，距A 地的距离，由此即可得；
（2）将记录的数字相加求和即可；
（3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可．
【详解】（1）解：第一次记录时：
4
4 km
-
=
，
第二次记录时：
4
7
3
3 km
- +
=
=
，
第三次记录时：
3
9
6
6 km
-
= -
=
，
第四次记录时：
6
8
2
2 km
- +
=
=
，
第五次记录时：
2
6
8
8 km
+
=
=
，
第六次记录时：
8
5
3
3 km
-
=
=
，
第七次记录时：
3
2
1
1 km
-
=
=
，
由此可知，在第五次记录时距A 地最远．
（2）解：
4
7
9
8
6
5
2
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
4
7
9
8
6
5
2
= - +
-
+
+
-
-
1 km
=
，
∵规定向东行驶为正，
∴收工时在A 地正东方向，距A 地1km ．
（3）解：
4
7
9
8
6
5
2
0.3
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
´
4
7
9
8
6
5
2
0.3
=
+
+
+ +
+ +
´
41 0.3
=
´
12.3
=
（升），
答：共耗油12.3升．
【答案】
一、选择题
1．计算1
2
- -
=（ ）
A．1
-
B．1
C．3
-
D．3
【答案】C
【分析】根据有理数的减法运算法则计算即可．
【详解】解：
1 2
1
2
3
- -
= - + -
= - ．
2．据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约2 mm 的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体
类物质），该直径用科学记数法可表示为（ ）
A．
3
2 10
m
-
´
B．
3
0.2 10
m
-
´
C．
4
2 10
m
-
´
D．
2
2 10
m
-
´
【答案】A
【详解】解：
3
2mm
0.002m
2 10 m
-
=
=
´
．
3．规定新运算：*
2
a b
a
b
=
+
，则
3 *5
-
等于（ ）
A．1
B．3
C．1
-
D．3
-
【答案】C
【分析】先把
3 *5
-
写出整数的混合运算，然后再运用整数混合运算法则计算即可．
【详解】解：由新运算规则得，
3 *5
2
3
5
6
5
1
-
=
´ -
+
= - +
= -
4．2022 的倒数是（ ）
A．2022
-
B．2020
C．
1
2022
D．
1
2022
-
【答案】C
【分析】根据倒数定义：乘积是1 的两个数互为倒数，即可解答．
【详解】解：2022 的倒数是
1
2022 ．
5．计算24× 1
1
3
4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø的结果是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据乘法分配律求解即可．
【详解】解：
1
1
1
1
24
24
24
8
6
2
3
4
3
4
´
-
=
´
-
æ
ö
ç
ø
´
=
-
è
=
÷
．
6．若x，y 为实数，且
3
3
0
x
y
+
+
-
=
，则
2022
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．3
D．3
-
【答案】A
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0 时，每个非负数都为0，先求
出x，y 的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】∵
3
0
x +
³
，
3
0
y -
³
，且
3
3
0
x
y
+
+
-
=
，
∴
3
0
x +
=
，
3
0
y -
=
，
解得：
3
x = - ，
3
y =
，
故
2022
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
2022
2022
3
( 1)
1
3
-
æ
ö
=
= -
=
ç
÷
è
ø
．
二、填空题
7．绝对值小于7.1的所有整数的和是_____．
【答案】0
【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于7.1的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可．
【详解】解：绝对值小于7.1的所有整数为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
± ±
±
±
±
±
± ，
7
6
5
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
7
-
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+ +
+ +
+ +
+
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
=
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
0
0
0
0
0
0
0
0
=
+
+
+
+
+
+
+
0
=
．
8.一天早晨的气温是7 C
- °
，中午上升了12 C
°
，半夜又下降了8 C
° ，则半夜的气温是 _______ C
°
．
【答案】3
-
【分析】根据有理数加减运算法则计算即可
【详解】解：根据题意可得，半夜的气温为：
C
7
12
8
5
8
3
- +
-
=
-
- °
=
，
9. 计算：
3
4
0.125
8
-
´
= _______．
【答案】8
-
【分析】由同底数幂的乘法运算的逆运算、积的乘方运算的逆运算、
1
n
-
及有理数乘法运算计算即可得
到答案．
【详解】解：
3
4
0.125
8
-
´
3
3
8
0.125
8
-
´
=
´
3
8
0.125 8
-
´
=
´
3
1
8
= -
´
1 8
= - ´
8
= - ．
10. 计算：
2
8
0.25
3
5
æ
ö
-
´
¸ -
=
ç
÷
è
ø
________．
【答案】64
15
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法
则，负负得正，最后计算数值．
【详解】解：原式=
2
8
4
3
5
1
æ
ö
æ
ö
-
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
2 8
4
3 5 1
- ´ ´ -
´ ´
= 64
15
故答案为：64
15 ．
11. 如果
2
1
2
0
a
b
-
+
+
=
，则
2026
a
b
+
的平方根是_________．
【答案】1
±
【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出a ，b 的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平
方根即可．
【详解】解：由题意可得
1
0
a -
³
，
2
(
2)
0
b +
³
，
2
1
(
2)
0
a
b
- +
+
=
Q
，
∴
1
0
a- =
，
2
0
b +
=
，
解得
1
a = ，
2
b = - ．
将
1
a = ，
2
b = - 代入得：
2026
2026
2026
(
)
(1 2)
( 1)
1
a
b
+
=
-
= -
= ．
2
( 1)
1
±
=
Q
，
2026
a
b
\
+
的平方根是1
± ．
12. 根据第七次人口普查数据统计，涟水县常住人口约为829000 人，将数829000 用科学记数法表示为
________．
【答案】
5
8.29 10
´
【分析】科学记数法的表示形式为
10n
a´
，其中1
10
a
£
<
，n 为整数，只需确定a 和n 的值即可；
【详解】解：
5
829000
8.29 10
=
´
．
13．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入2
- ，则输出的结果是________．
【答案】10
【分析】把
2
x = - 代入转换器中计算即可．
【详解】解：
2
2
4
8
-
=
<
Q
，
4
6
10
\ +
=
，
\输出结果为10．
14.观察下列等式：
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
52
32
=
，
6
2
64
=
，
7
2
128
=
，…通过观察，用你所发
现的规律确定
2022
2
的个位数字是______．
【答案】4
【分析】观察已知等式可知，以2 为底的幂的个位数字按2 ，4 ，8 ，6 依次循环，计算2022
4
¸
得到余
数，根据余数即可确定
2022
2
的个位数字．
【详解】解：观察给出的等式
12
2
=
，
2
2
4
=
，
3
2
8
=
，
4
2
16
=
，
52
32
=
，…，
∴以2 为底的幂的个位数字每4 个数为一个循环组依次循环，循环顺序为2 ，4 ，8 ，6 ．
2022
4
505
2
¸
=
¼
Q
，
∴
2022
2
的个位数字与
2
2 的个位数字相同，是4 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
8
10
2
1
-
+
+
+ -
；
(2)
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
4
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
+ -
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)3
(2)
3
6 4
-
【详解】（1）解：
8
10
2
1
-
+
+
+ -
8 10
2 1
= - +
+
-
3
=
；
（2）解：
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
4
8
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
- -
+ -
- +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
4
8
= -
+
-
-
7
1
1
1
4
3
5
4
8
8
2
4
æ
ö
æ
ö
= -
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
8 14
= - +
3
6 4
= -
．
16．计算：
(1)
12
7
4
8
2
- ´ -
+ ¸ -
；
(2)
71
99
36
72
-
´
；
(3)
2024
2
1
1
2
1
6
6
3
æ
ö
-
- -
¸
-
´
ç
÷
è
ø
；
(4)
1
5
7
33
24
2
6
12
æ
ö
-
-
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)36
(2)
7199
2
-
(3)32
(4) 15
-
【详解】（1）解：原式
12
( 28)
( 4)
=
- -
+ -
12
28
4
=
+
-
36
=
；
（2）解：原式
1
100
36
72
æ
ö
= -
-
´
ç
÷
è
ø
1
100 36
36
72
æ
ö
= -
´
-
´
ç
÷
è
ø
1
3600
2
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
7199
2
= -
；
（3）解：原式
1
4 1
6
6
æ
ö
= - - ¸ -
´
ç
÷
è
ø
4 1 ( 6) 6
= - - ´ -
´
4
36
= - +
32
=
；
（4）解：原式
1
5
7
33
24
24
24
2
6
12
é
ù
= -
-
´ -
+
´ -
-
´ -
ê
ú
ë
û
33
12
20 14
= -
- -
-
+
33 12
20 14
= -
+
+
-
15
= -
．
17．已知有理数a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是4，n 是最小的正整数，求
2
9
2
m
a
b
n
cd
-
+
+
-
的值．
【答案】14
【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即
可求解．
【详解】解：由题意得 a ，b 互为相反数，因此
0
a
b
+
=
c ，d 互为倒数，因此
1
cd = ．
m 的绝对值是4 ，因此
2
2
( 4)
16
m = ±
=
．
n 是最小的正整数，因此
1
n = ．
所以
2
16
9(
)
2
9 0
2 1
14
1
m
a
b
n
cd
-
-
+
+
-
=
´ +
- ´ =
18．计算：
(1) ( 4)
( 1)
( 5)
- -
+ -
- +
(2) 5
5
1
2
6
3
æ
ö æ
ö
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
(3)
1
5
3
36
3
6
4
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
(4)
4
1
1
5
8
27
3
3
-
+
-
+
¸ -
´
【答案】
(1) 2
-
(2)1
(3) 9
-
(4) 1
-
【详解】（1）解：( 4)
( 1)
( 5)
- -
+ -
- +
4 1 5
=
- -
2
= - ；
（2）解：5
5
1
2
6
3
æ
ö æ
ö
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
5
6
1
2
5
3
æ
ö
æ
ö
=
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
3
3
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
1
= ；
（3）解：
1
5
3
36
3
6
4
æ
ö
-
+
´ -
ç
÷
è
ø
1
5
3
( 36)
( 36)
( 36)
3
6
4
=
´ -
-
´ -
+
´ -
12
30
27
= -
+
-
9
= - ；
（4）解：
4
1
1
5
8
27
3
3
-
+
-
+
¸ -
´
1
1 3
9
3
= - + + -
´
1 3
3
= - + -
1
= - ．
