《2026初高衔接》[第四讲]——一元二次不等式与不等式通解思想_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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一元二次不等式与不等式通解思想
一元二次不等式与不等式通解思想
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
一元二次不等式及其变形
二次函数图像解不等式、含参分类
讨论；其它不等式的变形
直观想象、逻辑推理
简单高次不等式
用穿根法求解高次不等式，了解不
等式通解：二次不等式解法的复刻
数学运算、逻辑推理
一一元二次不等式
初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与二次函数
之间的关系：
一元二次方程是二次函数与x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与x 轴交点的横坐标。
由一次函数与一次不等式的关系可以知道：对于任意一个一元函数不等式，其含义是：
不等式> 0 对应的是函数图象在x 轴上方的情况，不等式解集为函数在x 轴上方时对应自变量的取值范围；
不等式< 0 对应的是函数图象在x 轴上方的情况，不等式解集为函数在x 轴上方时对应自变量的取值范围．
形如：ax2 + bx + c > 0(a ≠0) 的不等式称为一元二次不等式．
由一元不等式的含义，我们可以得到一元二次不等式的通用解法如下：以a > 0 为例：
求解一元二次不等式具体的步骤：
(1) 令ax2 + bx + c = 0，计算：△= b2- 4ac 当Δ > 0 时，解出方程两根x1，x2；
(2) 令y = ax2 + bx + c，作出函数草图；
(3) 根据不等式的含义翻译不等式，读取解集．
一元二次不等式解法
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
y > 0
x
x1
x2
x
x0
x
x < x1或x > x2
x ≠- b
2a
全体实数
y < 0
x
x1
x2
x
x0
x
x1 < x < x2
无解集
无解集
作草图时只需画x 轴．很多
学生作函数草图习惯第一步
就画坐标系，二次函数由于
其特殊性，应先画抛物线，
再根据题意加x 轴和y 轴
．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1 (★☆☆☆☆)解不等式：3 + 2x - x2 ≥0
1
(★☆☆☆☆)解下列不等式
(1)x2- x - 12 > 0
(2) - x2- 2x + 8 ≥0
(3) - x2- 2x + 3 ≥0
(4)4x2+ 4x + 1 ≤0
(5) - 1
2 x2 + 3x - 5 > 0
(6)x2 - 2x + 2
3 < 0
2
(★☆☆☆☆)若不等式x2+ mx + 1 ≥0 的解集为R，则实数m 的取值范围是
(
)
A. [2, +∞)
B. (-∞, -2]
C. (-∞, -2] ∪[2, +∞)
D. [-2,2]
3
(★☆☆☆☆)若不等式2kx2+ kx - 3
8 ≥0 无解，则实数k 的取值范围是
(
)
A. (-3，0)
B. (-∞，-3)
C. (-3，0]
D. (-∞，-3) ∪(0，+∞)
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4 (★★☆☆☆)不等式cx2+ ax + b > 0 解集为
-1, 1
2


，则函数y = ax2+ bx - c 的图象大致为
(
)
A.
x
y
-1
2
B.
x
y
-1
2
C.
x
y
-2
1
D.
x
y
-2
1
5
(多选•★★☆☆☆)不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为
- 1
2 ,2


，则下列结论正确的是
(
)
A. a > 0
B. b > 0
C. c > 0
D. a + b + c > 0
6
(多选•★★☆☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为-3,2


，则
(
)
A. a < 0
B. a + b + c ≤0
C. 不等式bx + c > 0 解集为{x|x > 6}
D. 不等式cx2+ bx + a < 0 解集为x - 1
3 <x< 1
2



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含参二次不等式
高中阶段与我们始终形影不离的就是含参数的问题，下面我们将学习不等式含有参数时所产生的影响．
一个含参的一元二次不等式，在判别式∆> 0(方程可因式分解) 的情况下，所对应的一元二次方程一定有
解，但是由于方程(不等式)含参，其对应的解中也会带有参数，我们要解出不等式就需要知道根的大小．由此
我们可知：含参的一元二次不等式在求解过程中需要对根的大小排布做一定的分类讨论．
2 (★★★☆☆)若a > 0，解关于x 的不等式ax2- (1 + a)x + 1 < 0．
7
(多选•★★☆☆☆)关于实数x 的一元二次不等式a(x - a) (x - 2) < 0 的解集可能为
(
)
A. (-∞，2) ∪(a，+∞)
B. (-∞，a) ∪(2，+∞)
C. (2，a)
D. (a，2)
8
(★★☆☆☆)关于x 的不等式ax2+ (2a - 1)x - 2 > 0，其中a ≤0，该不等式的解集不可能是
(
)
A. (-∞，-2)
B.
-2，1
a


C. (-∞，-2) ∪
1
a ，+∞


D.
1
a ，-2


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(★★☆☆☆)已知函数y = ax2- (2a - 1)x - 2．
(1) 当a < 0 时，讨论关于x 的不等式f(x) > 0 的解集；
(2) 若关于x 的方程y = 0 有两个不等实根x1，x2，且x1< 1 < x2，求a 的取值范围．
10 (★★★☆☆)设y = ax2- (a + 1)x + 1．
1


讨论不等式y ≥0 的解集．
(2) 若关于x 的不等式ax2- (a + 1)x + 1 < 0 的解集中的整数恰有3 个，求a 的取值范围．
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二分式与绝对值不等式
在高中不等式内容中，除了常规的一元二次不等式，还有分式不等式和绝对值不等式．我们可以对这两类
式子做等价转化，将其化为一元二次不等式来求解．
分式不等式
形如ax+b
cx+d < 0 的不等式称为分式不等式．
我们知道：若a,b 同号，则有b
a > 0 a ∙b > 0；若a,b 异号，则有b
a < 0 a ∙b < 0
由此可得分式型不等式可转化为整式型不等式处理．变形中需要注意分式有意义的条件约束．即：
①ax+b
cx+d < 0 (ax + b) (cx + d) < 0
②ax+b
cx+d > 0 (ax + b) (cx + d) > 0
③ax+b
cx+d ≤0 
(ax+b)(cx+d)≤0
cx+d≠0

④ax+b
cx+d ≥0 
(ax+b)(cx+d)≥0
cx+d≠0

绝对值不等式
形如ax+b


< c，c > 0 的不等式称为绝对值不等式．通过对其左右两侧同时平方将其转化为一元二
次不等式求解．即：
|ax + b| < c (ax + b)2< c2 a2x2+ 2abx + b2- c2< 0
分式与绝对值不等式
3 (2025 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)不等式x-4
x-1 ≥2 的解集是
(
)
A. [-2,1]
B. (-∞, -2]
C. [-2,1)
D. (1, +∞)
11 (★☆☆☆☆)解下列不等式
(1)
x
x-1 ≤0
3


x-3
x+1 ≤0
(2) 5
x > 1
(4) 2x-3
x+1 > 0
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(5)
1
x+2 ≤3
7


|2x + 1| ≤3
(6) 2x-1
x+2
≥3
(8)|3x - 2| > 4
12 (★★☆☆☆)解关于x 的不等式x-a
x-a2 < 0．
三简单高次不等式
形如(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) > 0(< 0) 形式的不等式称之为高次不等式．
通过前面的学习，我们知道求一元不等式的核心方法是借助数形结合思想从函数图上直接去解读，由两个
要素：①确定简单高次方程的根(即确定函数与x 轴的交点)；②确定函数图象的走势．通过数形结合的方式，
直观读取不等式的解集．
1 将不等式化为(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) > 0，并将各因式x 的系数化“+”；
2 令(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) = 0, 求出方程根，并在数轴上从小到大标示出来；
3 在根分出数轴的多个区间上随机选取一个区间，并在该区间取一个数x0，代入(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x -
xn)，若此时该代数式为正值，说明该区间图象在x 轴上方，为负值，则说明图象在x 轴下方。
4 因式(x - x1)n中，n 为奇数时，曲线在x1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x1 点处不穿过数轴，归
纳为“奇穿偶不穿”。利用穿根确定其它几个区间上图象的情况，可得高次不等式对应函数的草图。
⑤若不等式(x 的系数化“+”后) 是“> 0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“< 0”，则找
“线”在x 轴下方的区间即可得到高次不等式的解集．
数轴穿根法求解集
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4 (★★☆☆☆)解不等式：(x - 2)2(x - 3)3(x + 1) < 0
13 (★★☆☆☆)解下列不等式：
1


(x - 1) (x + 2) (x - 3) > 0
(2)x - 2 < 3
x
(3)
x3-1
(x+2)(x-3) ≥0
(4) -x2+x+2
x-3
≥0
14 (原创•★★☆☆☆)某企业生产一款产品，固定成本为2 万元，每生产x 千件产品，可变成本为(x3 -
2x2+ 3x) 万元，该产品每千件售价5 万元，产量满足0 < x ≤4．
(1) 写出生产x 千件产品的利润函数L(x)；
(2) 若要求利润不低于2 万元，求产量x 的取值范围．
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1 (★☆☆☆☆)解下列不等式．
(1)x2- 3x + 2 ≤0
(2) - 2x2+ 5x + 7 ≥0
(3)2 + 3x - 2x2> 0
(4) 2x-1
x+2 ≥1
(5) 2-3x
x-1 > 0
(6) -3x-1
x+1
> 0
2 (多选•★☆☆☆☆)下列不等式的解集不是R 的是
(
)
A. - x2+ x + 1 ≥0
B. x2 - 2 5x +
5 > 0
C. x2+ 6x + 10 > 0
D. 2x2- 3x + 4 < 0
3 (多选•★★☆☆☆)关于x 的不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为(-∞，-2) ∪(3，+∞)，则
(
)
A. a < 0
B. 不等式bx - c > 0 的解集为x < 6
C. 4a + 2b + c < 0
D. 不等式ax2- bx + a ≥0 的解集为- 1
3 ，1
2




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4 (★★☆☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx + 2 > 0 的解集为-1,2


．
(1) 求实数a，b 的值；
(2) 讨论关于x 的不等式ax2+ bx + 2 <- (m + 1)x + 2m + 2 的解集．
5 (★★★☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ 3x + 2 > 0．
(1) 若a = 1，求不等式的解集；
(2) 若不等式的解集为b,1


，
(i) 求实数a，b 的值；
(ii) 讨论关于x 的不等式abx2- mx - m2≤0 的解集．