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专题17 数列的通项公式
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
数列近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年全国乙（文科），第19 题,12 分
1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用
2、错位相减求前n 项和
2021 年全国乙（理科），第19 题,12 分
1、证明等差数列
2、求通项公式
2021 年全国甲（文科），第17 题,12 分
证明等差数列
2021 年全国甲（文科），第9 题,5 分
等比数列通项公式基本量计算，求前n 项和
2021 年全国甲（理科），第18 题,12 分
证明等差数列，等差数列的应用
求前n 项和，由前n 项和求通项
2021 年全国甲（理科），第7 题,5 分
判断数列的增减性
判断充分性与
必要性
2022 年全国乙（理科），第8 题,5 分
2022 年全国乙（文科），第10 题,5 分
等比数列通项公式基本量计算，求数列的项
2022 年全国甲（理科），第17 题,12 分
2022 年全国甲（文科），第17 题,12 分
1、递推公式证明等差数列
2、等比中项的应用，求前n 项和
2023 年全国乙（文科），第18 题,12 分
1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列
基本量的计算
2、含绝对值的等差数列求前n 项和
2023 年全国乙（理科），第15 题,5 分
等比数列通项公式基本量计算
2023 年全国乙（理科），第10 题,5 分
等差数列求通项公式，数列周期性
余弦函数，集
合元素互异性
2023 年全国甲（文科），第5 题,5 分
等差数列性质计算，求前n 项和
2023 年全国甲（理科），第5 题,5 分
等比数列前n 项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；
2.考查数列的增减性、周期性；
1
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3.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
4.考查由递推公式证明等差、等比数列；
5.考查求等差、等比数列的通项公式与前n 项和；
【备考策略】1.掌握找规律求通项公式；
2.掌握公式法求通项公式；
3.掌握等差、等比数列求通项公式
4.掌握累加法求通项公式
5.掌握累乘法求通项公式
6.掌握构造法求通项公式
7.掌握取倒数法求通项公式
【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；
2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
3.考查由递推公式证明等差、等比数列；
4.考查求等差、等比数列的通项公式与前n 项和；
2
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知识讲解
一、找规律求通项公式an
根据数列的前几项找规律，写出通项公式an ，注意求数列是否具备周期性.
二、公式法求通项公式an
1．数列{an}的前n 项和：Sn=a1+a2+a3+¿⋅¿+an .
2．
an={
S1=a1,n=1
Sn−Sn−1,n≥2
三、等差数列求通项公式an
等差数列通项公式的推导
an+1=an+d ⇒an+1−an=d
a2−a1=d，a3−a2=d，⋅¿⋅，an−an−1=d
an−a1=d+d+，⋅¿⋅，+d=(n−1)d⇒an=a1+(n−1)d
an=am+(n−m)d
四、累加法求通项公式an
题型特征：an+1=an+f (n)⇔an+1−an=f (n)
a2−a1=f (1)，a3−a2=f (2)，⋅¿⋅，an−an−1=f (n−1)
3
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an−a1=f (1)+f (2)+，⋅¿⋅，+f (n−1)
an=a1+（a2−a1）+…+(an−an−1)=a1+f (1)+f (2)+…+f (n−1)(n≥2)
五、等比数列求通项公式an
等比数列通项公式的推导
an=q⋅an−1⇒an
an−1
=q
a2
a1
=q，
a3
a2
=q，⋅¿⋅，
an
an−1
=q
a2
a1
⋅
a3
a2
⋅，⋅¿⋅，⋅
an−1
an−2
⋅
an
an−1
=q×q׿⋅¿×q=qn−1⇒
an
a1
=qn−1⇒an=a1qn−1
an=amqn−m
六、累乘法求通项公式an
题型特征：an=f (n)⋅an−1⇔an
an−1
=f (n)
a2
a1
=f (2)，
a3
a2
=f (3)，⋅¿⋅，
an
an−1
=f (n)
a2
a1
⋅
a3
a2
⋅，⋅¿⋅，⋅
an−1
an−2
⋅
an
an−1
=f (2)×f (3)׿⋅¿×f (n)
an
a1
=f (2)×f (3)׿⋅¿×f (n)(n≥2)
七、构造等差数列求通项公式an
形如an+1=pan+q 型(p≠0 ,其中a1=a )的数列{an}的通项公式求法，若p=1,则数列{an}为等差数列;
形如an+1=pan+qn
型（p≠0，1
q
且≠0）的数列{an}的通项公式
等式两边同时除以qn+1
,即得
an+1
qn+1= p
q⋅an
qn + 1
q .当p=q 时,数列{
an
qn}
为等差数列;
八、构造等比数列求通项公式an
1．形如an+1=pan+q 型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
（1）若q=0 ,则数列{an}为等比数列;
（2）若p≠1且q≠0 ,则数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
4
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方法如下:设an+1+λ=p（an+λ）,得an+1=pan+（p−1）λ,
与题设an+1=pan+q 比较系数得λ=
q
p−1 ( p≠1),
所以an+
q
p−1=p(an−1+
q
p−1 )(n≥2),
即{an+
q
p−1}构成以a1+
q
p−1
为首项,p
为公比的等比数列.
2．形如an+1=pan+qn 型（p≠0,1,q≠0）的数列{an}的通项公式
等式两边同时除以
qn+1,即得an+1
qn+1= p
q⋅an
qn + 1
q
，当
p≠q
时,原式可以变形为
an+1
qn+1 +λ= p
q{
an
qn +λ}的形
式,则数列{
an
qn +λ}为等比数列,进而写出{an}
的通项公式.
3．形如an+1=pan+qn +r 型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
第一步,假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+ y=p(an+xn + y)的形式;
第二步,由待定系数法,求出x ,y 的值;
第三步,写出数列{an+xn + y}的通项公式;
第四步,写出数列{an}的通项公式.
4．形如an+1=pan+qan−1型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
可以将递推式化为an+1−x1an=x2(an−x1an−1),其中x1,x2是方程x2−px −q=0 的两个根,若1 是方程的
根,则直接构造数列{an−an−1};若1 不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}.
九、取倒数法求通项公式an
形如an+1= pa n
qa n+r 型(p
,q
,
r
为常数,p>0
,q
,
r
,an≠0 )的数列{an}的通项公式求法
等式两边同时取倒数,变形构造出线性递推式
1
an+1
=A 1
an
+B (A,B 是常数),进而求解.
5
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考点一、找规律求通项公式an或数列的项
类型1：观察法
1．在数列{an}中，a1=1，且an=an−1+
1
n(n−1)
(n≥2,n∈N
¿)，写出数列{an}的前5 项，猜想数列
{an}的通项公式.
2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐
藏的世界数学史上第一道数列题.其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第
15 项是（ ）
A．400
B．110
C．112
D．113
3．已知数列1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，则
是数列中的（ ）
A．第58 项
B．第59 项
C．第60 项
D．第61 项
6
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类型2：周期法
4．在数列{an}中，a1=−1
2 ，且an+1⋅(1−an)=1，则a2022= .
5．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡
斯数列为：、、
、、
、
、
、
、
、
、L ，即
，
，且
.则洛卡斯数列
的第
项除以
的余数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 年山西省模拟考试数学试题）数列
满足
，
，则数列
的前
项的乘
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．在数列{an}中，a1=1，且an+1= an
1+an
(n∈N
¿)，写出数列{an}的前5 项，猜想数列{an}的通项公式.
2．在数列{an}中，a1=2,a2=5 ，且an+1=an+2−an(n∈N
¿)，则a5= .
3．观察数列
则数
将出现在此数列的第（ ）
A．21 项
B．22 项
C．23 项
D．24 项
3．在数列
{an}
中，
a1=6
7
，且an+1={
2an,0≤an< 1
2
2an−1, 1
2≤an<1
，则
a2022=
.
7
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5．已知数列
满足
，则
的值为（ ）
A．-3
B．1
C．2
D．3
考点二、公式法求通项公式an
类型1：差项法
差项相减
1．设正项数列{an}满足√a1+√a2+¿⋅¿+√an=n(n+1)
2
，求数列{an}的通项公式.
2．（2023 年湖北省质量检测数学试题）已知数列满足
，设
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
差项相除
3．设正项数列{an}满足a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅an=n2+3n+2，求数列{an}的通项公式.
题型2：公式法
4．设数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sn=3n+2n+1(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
8
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1．在数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+¿⋅¿+nan=n+1
2 an+1(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
2．（2023 年江西省联考数学试题）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，若
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设数列{an}的前n 项和为Sn ，若log3(Sn+1)=n+1(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
4．设数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sn=2an−4(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
考点三、等差数列求通项公式an
1．（2023 年江西省模拟数学试题）已知等差数列
的前
项和为
.
求
的通项公式；
2．（2023 年福建省质量监测数学试题）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
3．（2023 年安徽省质量检测数学试题）已知
是公差不为的等差数列
的前
项和，
是
与
的
等比中项，
.
求数列
的通项公式；
4．（2023 届广东省调研数学试题）记
，为数列
的前n 项和，已知
，
．
求
，并证明
是等差数列；
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1．（2023 年辽宁省模拟考试数学试题）记等差数列
的前
项和为
，已知
，3a3+a5=0 ．
求
的通项公式；
2．记
为数列
的前n 项和，且
，已知
．
若
，求数列
的通项公式；
3．（2023 年福建省质量检测数学试题）已知等差数列
的公差
，其前
项和为
，若
，
，
成等比数列，且
.
求数列
的通项公式；
4．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）记
为数列
的前n 项和．已知
．
证明：
是等差数列；
考点四、累加法求通项公式an
1．设数列{an}满足a1=1，且an+1=an+n+1(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
2．设数列{an}满足a1=1
2 ，且an+1=an+
1
n2+n
(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
3．（2023 届湖北省调研数学试题）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究
成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差
数列.若某个二阶等差数列的前4 项为：2，3，6，11，则该数列的第15 项为（ ）
A．196
B．197
C．198
D．199
10
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4．已知数列
满足
，
，
，则数列
第2023 项
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年湖南省模拟数学试题）设数列
的前
项和为
，若
，且对任意的正整数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．设数列{an}满足a1=1，且an+1=an+2n+1(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
2．（2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年河南省摸底检测数学试题）设数列
中
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 届广东省模拟数学试题）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若
11
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是公差不为零的等差数列，则称数列
为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40 层，各
层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1 个小球，第二层放3 个小球，第三层放6 个小球，第四层
放10 个小球，
，则第40 层放小球的个数为（ ）
A．1640
B．1560
C．820
D．780
5．（2023 届浙江省仿真考数学试题）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”
拓展而成的三角形数阵，记
为图中虚线上的数
构成的数列
的第
项，则
的值为（ ）
A．1275
B．1276
C．1270
D．1280
考点五、等比数列求通项公式an
1．已知
为等比数列,
,
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年湖北省调研考试数学试题）设正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知等比数列
，公比为q，其中
，q 均为正整数，且
，
，
成等差数列，则
等于
（ ）
A．96
B．48
C．16
D．8
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列
满足
，
记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
12
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1．（2020 年海南省高考数学试题（新高考全国Ⅱ卷））已知公比大于的等比数列
满足
．
求
的通项公式；
2．已知递增等比数列
，
，
，
，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
3．已知等比数列
满足
，
，则
（ ）
A．21
B．42
C．63
D．84
4．已知数列
满足：
，且
．设
．
证明：数列
为等比数列，并求出
的通项公式；
考点六、累乘法求通项公式an
1．设数列{an}满足a1=1，且an=n−1
n
an−1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
2．设数列{an}满足a1=2
3 ，且an+1= n
n+1 an(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
3．设数列{an}满足a1=2，且an+1= n
n+2 an(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
4．（2022 年高考最后一卷（押题卷四）数学试题）在数列
中，
，
，若
，且对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
中，
，
，则数列
的通项公式为（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
1．（2023 年广东省模拟数学试题）记数列
的前
项和为
，满足
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设数列{an}满足a1=1，且an+1=2nan(n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
3．设数列{an}满足a1=2，且(n+1)an=(n−1)an−1(n≥2,n∈N
¿)，求数列{an}的通项公式.
4．（2023 年广东省模拟数学试题）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
的通项公
式为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七、构造等差数列求通项公式an
积累和观察
1．如果数列{an}满足a1=4 ，an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式.
2．设数列{an}的前n
项和为Sn
，且满足nS n+1=(n+1)Sn+ n2+n
2
，a1=1，求数列{an}的通项公式.
3．已知数列{an}
满足an≠2 ，an+1=5an−8
2an−3 ，a1=3，证明数列{
1
an−2}是等差数列，并求数列{an}
的
通项公式.
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1．如果数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3⋅2n，求数列{an}的通项公式.
2．已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知数列{an}
满足an=
an−1−1
an−1+3 ，a1=3(n∈N
¿)，证明数列{
1
an+1}是等差数列，并求数列{an}
的通
项公式.
4．设数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a1=1,an+1=Sn⋅Sn+1，求数列{Sn}的通项公式.
考点八、构造等比数列求通项公式an
形如an+1=pan+q 型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
1．设数列{an}满足an+1=2an+1,a1=1，求数列{an}的通项公式.
2．设数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an+Sn=3n−1，求数列{an}的通项公式.
形如an+1=pan+qn型（p≠0,1,q≠0）的数列{an}的通项公式
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3．（2023 年福建泉州模拟试题）在数列{an}中,a1=−1,an+1=2an+4×3n−1,求数列{an}的通项公式.
形如an+1=pan+qn +r 型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
4．（2023 年陕西模拟试题）已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an−2n+1,则an= .
形如an+1=pan+qan−1型(p≠0 )的数列{an}的通项公式求法
5．已知在数列{an}中,a1=5 ,a2=2 ,an=2an−1+3an−2(n≥3),求这个数列的通项公式.
1．设数列{an}满足an+1=3an+2,a1=1，求数列{an}的通项公式.
2．设数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足3Sn−2an=−3n，求数列{an}的通项
3．已知在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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4．（2023 年江苏省学情调研数学试题）若
是数列
的前n 项和，已知
，
,且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 届河南省考前预测押题理科数学试题）在数列
中，
，则
的前
项和
的最大值为（ ）
A．64
B．53
C．42
D．25
考点九、取倒数法求通项公式an
1．设数列{an}满足an+1= an
an+3 ,a1=1，求数列{an}的通项公式.
2．（2023 年广西南宁模拟试题）已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
2an+1
,则数列{anan+1}的前n
项和T n=
（ ）.
A．
n
2n−1
B．
n
2n+1
C．
2n
2n+1
D．
n
4n+2
3．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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1．设数列{an}满足an+1= 3an
2an+1 ,a1=3
5 ，求数列{an}的通项公式.
2．已知数列
满足
,
(
),则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础过关】
1．（2023 年广东省名校联盟联考数学试题）在数列
中，
，则
（ ）
A．260
B．860
C．1011
D．2022
2．（2023 年安徽省检测模拟数学试题）已知数列
的前
项和
，则
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
是数列
的前n 项和，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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4．数列
满足
，且
，则
（ ）
A．4043
B．4044
C．2021
D．2022
5．（2023 年河南省模拟数学试题）设数列
的前n 项和为
，且
为常数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 届湘豫名校联考模拟考试文科数学试题）已知数列
的前n 项和为
，
，且
（
且
），若
，则
（ ）
A．46
B．49
C．52
D．55
7．（2023 届四川省教学联盟监测文科数学试题）已知数列
满足
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 届山东省模拟考试数学试题）已知等比数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且
，
，
成等差数列，
．
求数列
的通项公式；
9．（2023 年山东省模拟试题）已知数列
的前n 项和为
，满足
，则
（ ）
A．4043
B．4042
C．4045
D．4044
10．已知数列
满足：
，
(1)求a2，a3；
(2)设
，求证：数列
是等比数列，并求其通项公式；
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11．若数列
和
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知数列
的首项
，且各项满足公式
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知数列
，则该数列第
项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【能力提升】
1．（2023 年辽宁省模拟数学试题）设等差数列
满足
，
，且
，
，
则
（ ）
A．10100
B．10000
C．9900
D．9801
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 届北京适应性测试数学试题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，第四层有10
个球，…，设各层球数构成一个数列
，
，
，
，…，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（2023 届重庆市联考数学试题）已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年黑龙江省模拟数学试题）已知定义在R 上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
（其中
为
的前
项和），则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．已知数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知数列
满足
，
，若
，当
时，
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在数列
中，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．或
9．（2019 年浙江省高考数学试卷）设
，数列
中，
，
,则
A．当
B．当
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C．当
D．当
10．已知数列
的前n 项和
，其中
．
（Ⅰ）证明
是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若
，求
．
【真题感知】
1．（2023 年全国甲卷理数）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
2．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
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(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
3．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
4．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已
知
．
（1）证明：数列
是等差数列;
（2）求
的通项公式．
5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知数列
满足
，
，设
．
（1）求
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式．
6．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））已知数列
的前
项和
（其中
为常数），且
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(1)求
；
(2)求数列
的前
项和
7．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷））若数列
的前
项和为
Sn=2
3 an+ 1
3 ，则数列
的通项公式是an= .
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