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2026 年高考数学信心跃升卷 01（全国二卷通用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】 ， ；
的虚部为 .
2．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】 ，所以 .
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．6
【答案】C
【详解】因 ，则 ，又因 ，则 ，解得 .
4．在△ABC中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理可求得AC的长.
【详解】在△ABC中， ，由余弦定理得：
，所以 .
故选：C.
5．已知 是等差数列，且 ， ，则首项 等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可．
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，解得 .
6．将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的
分法种数为（ ）
A．210 B．1200 C．4800 D．5040
【答案】D
【详解】依题意可得不同的分法种数为 .
7．已知双曲线 ，过左焦点 作斜率为 的直线 ，过右焦点
作斜率为-3的直线 ，直线 和 的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】求得 和 的交点为 ，代入双曲线的渐近线方程可得 ，根据 的
关系及离心率公式求解即可.
【详解】由题意可得 ， ，且 ，
则 ，得 ，即交点坐标为 ，
又因为此点在双曲线的一条渐近线上，所以只能是在 上，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以离心率 .
8．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数m的取值
范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为 与 的交点问
题求解.
【详解】当 时， 单调递增，值域为 ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
且 ， ，可画简图，如图所示，
要使 有两个零点，即 与 有两个交点，结合图象可知 ，即 ，故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随着一系列政策落地生效，文旅消费需求加速释放，部分旅游业取得显著效果．如图是
2019—2023年上半年国内旅游数据有关情况，则（ ）
A．2019—2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值
B．2019—2022年每年中，国内旅游总人次均在第二季度达到最高值
C．2022年每季度国内旅游收入呈递减趋势
D．2020—2023年上半年中，每季度国内旅游收入相比上一季度增长量最大的是2023
年第一季度
【答案】AD
【分析】根据图表信息，对每个选项逐一分析，即可得结果.
【详解】选项A，2019—2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值，A
正确；选项B， 2020年的国内旅游总人次在第三季度达到最高值，B错误；
选项C， 2022年第三季度的国内旅游收入与第二季度相比有所增加，C错误；
选项D，2020—2023年上半年相邻两个季度国内旅游收入增长量最大的是2023年第一季度，
D正确．故选：AD.10．如图，在正四棱柱 中， ， 为四边形 对角线的
交点，下列结论正确的是（ ）
A．点 到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若 ，则 平面 D．点 到平面 的距离为
【答案】BD
【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和
空间距离的向量方法计算方法即可求解.
【详解】对于A, 到侧棱 的距离等于 ,
到侧棱 的距离相等且等于 ,故A错误；
对于B，设正四棱柱外接球的直径为 ，则有 ,
即 ，所以外接球的体积等于 ，故B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，则 ,
因为 ，所以 ,所以 ， ， ,
所以 ，所以 与平面 不垂直，故C错误；
对于D,由以上知，设平面 的法向量为 ，则有 ， , ,即 ，令 则 ，
所以 ，因为 ,所以点 到平面 的距离为 ，故D正确.
故选:BD.
11．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 有且只有一个零点
B．点 为曲线 的对称中心
C．曲线 在点 处的切线方程为
D． ，
【答案】AC
【分析】对A：令 ，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几
何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出 时 的最大值与
时 的最小值即可得.【详解】对A：令 ，解得 ，故 有且只有一个零点，故A正确；
对B：由 ，故点 不为曲线 的对称中心，故B错误；
对C：因 ，则
，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，故C正确；
对D：因函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 、 上单调递减，
则当 时， ，当 时，
，
故不存在 ，使得 ，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设n为正整数，若 的展开式共有7项，则此展开式中含 的项的系数为______．
【答案】
【分析】先根据二项展开式的项数特征求出 的值，再利用通项公式确定含 的项对应的
参数，进而计算系数。
【详解】二项式 的展开式共有 项，由题意展开式共7项，故 ，解得
，
二项式 的展开式通项为 ，
化简得 ，令 ，解得 ，
所以含 的项的系数为
.
13．直线 与圆 交于 两点， ，则 ___________．
【答案】
【分析】利用向量夹角公式求出 ，再利用圆的性质及点到直线距离公式求解.
【详解】由 ，得 ，而 ，
则 ，圆心 到直线 的距离 ，
因此 ，解得 .
14．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ，则
_________.
【答案】
【详解】由题可知 ，由题意得 ， ，
则 ，且 ，化简得 ，解得 ， ，即
.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数 且 的图象经过点 ，记数列 的前
项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）问题转化为根据数列的前 项和公式求数列的通项公式.
（2）利用裂项求和法求 ，即可证明 .
【详解】（1）由题意 .所以数列 ，其前 项和为 .
当 时， ；
当 时， .
时，上式亦成立.所以 ， .
（2） ，
所以 .
16．（15分）如图，四边形 为直角梯形，且
．点 满足 平面 .(1)若 为 上靠近点 的三等分点，证明： 平面 ；
(2)若 ，点 满足 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）设 与 交于点 ，由 ，线线平行判定线面平行；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，计算平面 的一个法向量，由线面角的正弦
等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可.
【详解】（1）如图，设 与 交于点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 为 上靠近点 的三等分点，
又因为 为 上靠近点 的三等分点，所以在 中， ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ， ，所以 ，
又因为 平面 ， ，则以 为原点， ， ， 所在直线分别为
轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
从而 ，因为 ，所以 ，所以点 的坐标为 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 即
则 ，令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ， 为锐角，则
，
.
17．（15分）已知椭圆 的左焦点为 .
(1)求 的离心率；
(2) 为 上一点， 在 处的切线为 .
①证明： 的方程为 ；
②设 的右顶点为 交直线 于点 与 交于点 为坐标原点，求 的
最小值.
【答案】(1) (2)①见解析；②
【分析】（1）根据椭圆方程直接算离心率；
（2）①联立，证明 与椭圆相切即可；②先得到 点坐标，再求直线 ， 的斜率关系，再利用 为定值得到 的轨迹方程，表示出 进行求解．
【详解】（1）由椭圆 知 ，故 ，所以 的离心率
；
（2）①由点 在椭圆 上，得 ，则点 在直线 上，
由 ，联立消去 得 ，
即 ，也即 ，
将 代入上式化简，得 ，
因为 ，
故切线 的方程为 ；
②由①知， 的方程为 ，当 时， ，则得 ，
由于 ，故直线 的斜率 ，
由于 ，故直线 的斜率 ，又 与 交于点 ，所以 ，
设 ，则 ，
化简得 的轨迹方程为 ，
，
所以当 时， 的最小值为 ．
18．（17分）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某
商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年
内出现故障的概率如表：
电脑机
甲 乙 丙
型
概率
(1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记 表示这三台电脑三年
以内出现故障的台数，求 的分布列及数学期望．
(2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，
将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量
（台）与单价 （元）服从线性关系 ，且该机型电脑的出厂价为 元/台，
求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价．
【答案】(1)0 1 2 3
；
(2) 元．
【分析】（1）先确定， 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式可求 取相应值的
概率，从而可得分布列，再根据期望公式可求 ；
（2）求出 ，从而可求 ，再根据二次函数的性质可求利润最大时对应的售价.
【详解】（1）根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3，
所以 ，
，
，
，
所以η的分布列为：
η 0 1 2 3
P
所以 ；
（2）根据题图可得， ，
,
代入回归方程得 ，所以 .
设获得的利润为 元，则 ,整理得 ，其中 ，
故当 时，利润有最大值.
19．（17分）已知函数 .
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数a，b的值；
(2)当 时，对于任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据切线方程为 可得斜率为 ，以及经过点 ，即可求导
得解，
（2）将问题转化为 ，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】（1） ，曲线 在点 处的切线方程为
，
则 ，则
（2）当 时，依题意有 对于任意 恒成立，则 ，
设 ，
设 ，
由 得： ，则 在 上单调递减，
且 ，则 在 上恒成立，即 在 上单调递减，
，则 ，则 .
