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第二章 函 数
必刷小题 2 函数的概念与性质
[分值：73分]
【高考考向预测】
近三年高考函数的概念与性质考查频率极高，属于数学核心主干考点，题
型覆盖选择填空与解答题，重点考查定义域值域求解、单调性、奇偶性、周期性及
对称性等基础性质，常多性质融合综合命题，广泛关联不等式、方程等知识；预测
2027 年高考仍将作为重中之重持续考查，命题更加注重知识点融会贯通，侧重含
参函数性质探究、抽象函数性质推导以及性质在求值、比较大小、求解范围中的灵
活运用，深度渗透数形结合与分类讨论思想，稳中求变，着重考查学生逻辑推理与
综合应用能力。
【核心梳理●明考点】
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
2
1.(2025·黔西模拟)已知函数f(x)= +log (2-x)，则f(x)的定义域为( )
❑√x+3 2
A.(-3，2) B.[-3，2)
C.(-3，2] D.[-3，2]
【答案】A
2 {x+3>0,
【解析】对于函数f(x)= +log (2-x)，有 解得-3<x<2，
❑√x+3 2 2−x>0,
所以函数f(x)的定义域为(-3，2).
2.下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是( )
A.y=-2x B.y=2−x
C.y=log x D.y=-2−x
2
【答案】D
【解析】与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是y=-f(-x)=-2-x的图象.
3.已知f(2x+1)=4x2，则f(-3)等于( )
A.36 B.16 C.4 D.-16
【答案】B
【解析】方法一 令2x+1=-3，解得x=-2.
∴f(-3)=4×(-2)2=16.
方法二 ∵f(2x+1)=4x2=(2x+1)2-2(2x+1)+1，
∴f(x)=x2-2x+1.
∴f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16.4.(2025·北京模拟)已知奇函数y=f(x)在R上单调递增，则“f(x )+f(x )>0”是“x +x >0”
1 2 1 2
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当f(x )+f(x )>0时，因为函数f(x)是奇函数，可得f(x )>-f(x )=f(-x )，
1 2 1 2 2
又因为y=f(x)在R上单调递增，
所以x >-x ，即x +x >0；
1 2 1 2
当x +x >0时，x >-x ，因为y=f(x)在R上单调递增，所以f(x )>f(-x )，
1 2 1 2 1 2
因为函数f(x)是奇函数，可得f(x )>-f(x )，所以f(x )+f(x )>0，
1 2 1 2
则“f(x )+f(x )>0”是“x +x >0”的充要条件.
1 2 1 2
5.(2026·泉州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当0<x≤1时，f(x)=-
(11)
x2+x，则f 等于 ( )
2
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
2 2 4 4
【答案】D
【解析】因为f(x)为奇函数，f(x+2)=f(x)，知f(x)=-f(-x)，f(x)的一个周期为2，
(11) ( 1) ( 1) (1)
所以f =f 2×3− =f − =-f ，
2 2 2 2
(1) (1) 2 1 1 (11) 1
又当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，所以f =- + = ，则f =- .
2 2 2 4 2 4
a−d
6.四参数方程的拟合函数表达式为y= (x) b +d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，
1+
c
它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线，或双曲线(如y=x-1)，还可以是一
条S形曲线，当a=4，b=-1，c=1，d=1时，该拟合函数的图象是( )
A.类似递增的双曲线
B.类似递增的对数曲线
C.类似递减的指数曲线
D.一条S形曲线
【答案】A
3
【解析】依题意可得拟合函数为y= +1(x>0)，
1+x−13x 3(x+1)−3 −3
即y= +1= +1= +4(x>0)，
1+x x+1 x+1
−3 −3
将y= (x>1)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y=
x x+1
+4(x>0)的图象，
−3
因为y= 在(1，+∞)上单调递增，
x
所以拟合函数的图象是类似递增的双曲线.
1 1 ( 1)
7.已知函数f(x)= - ，则关于t的不等式f(ln t)+2f ln >0的解集为( )
ex+1 2 t
( 1)
A.(0，+∞) B. 0，
2
C.(0，1) D.(1，+∞)
【答案】D
1 1 ex 1
【解析】f(-x)= - = - ，
e−x+1 2 ex+1 2
ex 1 1 1 1
则f(-x)+f(x)= - + - =1-1=0，由ln t+ln =ln t-ln t=0，
ex+1 2 ex+1 2 t
( 1)
故f(ln t)+f ln =0，
t
( 1) ( 1)
故f(ln t)+2f ln =f ln ，
t t
易知f(x)在R上单调递减，
1 1
又f(0)= - =0，
2 2
( 1) ( 1) 1 1
故f(ln t)+2f ln >0可转化为f ln >f(0)，则有ln <0，即0< <1，
t t t t
即t>1，故t∈(1，+∞).
8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则
22
Σ f(k)等于( )
k=1
A.-3 B.-2 C.0 D.1
【答案】A
【解析】方法一 因为f(1)=1，
所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，
令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)，
所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1). ②
由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0，
故f(x+3)+f(x)=0，
所以f(x+3)=-f(x)，
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，
令y=0，得f(x)+f(x)=f(x)f(0)，
所以f(0)=2.
令x=y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，
所以f(2)=-1.
由f(x+3)=-f(x)，
得f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1，
f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2，
所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0，
22
根据函数的周期性知， Σ f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3，故选A.
k=1
方法二 (构造特殊函数)
由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y，
可设f(x)=acos ωx，则由方法一中f(0)=2，f(1)=1知a=2，acos ω=1，
1 π
解得cos ω= ，取ω= ，
2 3
π
所以f(x)=2cos x，
3
(π π ) (π π ) π π
则f(x+y)+f(x-y)=2cos x+ y +2cos x− y =4cos xcos y=f(x)f(y)，所以
3 3 3 3 3 3
2π
π
f(x)=2cos x符合条件，因此f(x)的最小正周期T= π =6，f(0)=2，f(1)=1，且f(2)=-1，
3
3
f(3)=-2，f(4)=-1，f(5)=1，f(6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以 Σ f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.
k=1二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·合肥期末)下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是( )
A.f(x)=10x-10-x
B.f(x)=ln x
C.f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)
1
D.f(x)=x-
x
【答案】AC
【解析】对于A，f(x)的定义域为R，f(-x)=10-x-10-(-x)=-10x+10-x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，
又y=10x与y=-10-x均在R上单调递增，故f(x)在R上单调递增，故A正确；
对于B，显然f(x)=ln x在定义域(0，+∞)上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误；
{2+x>0,
对于C，对函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)，由 得函数的定义域为(-2，2)，关于原点
2−x>0,
对称，
f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-[ln(2+x)-ln(2-x)]=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，
因为y=ln(2+x)在(-2，2)上单调递增，y=ln(2-x)在(-2，2)上单调递减，所以f(x)=ln(2+x)-
ln(2-x)在(-2，2)上单调递增，故C正确；
1
对于D，因为函数f(x)=x- 的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，该函数在其定义域上不具
x
有单调性，故D错误.
sinx
10.(2026·南京模拟)已知函数f(x)= ，则( )
2−cos2x
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)为奇函数
C.不等式f(x)>x无解
D.f(x)的图象关于点(π，0)对称
【答案】BD
sin(π+x) −sinx
【解析】对于选项A，f(π+x)= = ≠f(x)，∴π不是f(x)的一个周
2−cos2(π+x) 2−cos2x
期，故A错误；
sin(−x) sinx
对于选项B，f(x)的定义域为R，f(-x)= =- =-f(x)，∴f(x)为奇函
2−cos(−2x) 2−cos2x
数，故B正确；
对于选项C，f(-π)=0>-π，∴f(x)>x有解，故C错误；sin(2π−x) −sinx
对于选项D，f(2π-x)= = =-f(x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对
2−cos2(2π−x) 2−cos2x
称，故D正确.
11.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，若f(x)-f(2-x)=4-4x，则
下列结论正确的是( )
A.f(4-x)+f(x)=2
B.f(0)=4
C.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8
D.f(2 026)=-4 047
【答案】ACD
【解析】对于A，函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，
则f(4-x)+f(x)=2，A正确；
对于B，f(2)=1，又f(x)-f(2-x)=4-4x，取x=0，则f(0)-f(2)=4，解得f(0)=5，B错误；
对于C，在f(4-x)+f(x)=2中，取x=1，得f(1)+f(3)=2，因此f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8，C正确；
对于D，由f(x)-f(2-x)=4-4x，
得f(-x)-f(2+x)=4+4x，
两式相加得f(x)+f(-x)-[f(2-x)+f(2+x)]=8，而f(2-x)+f(2+x)=2，
则f(-x)+f(x)=10，即f(-2-x)+f(2+x)=10，因此f(2-x)-f(-2-x)=-8，
即f(x+4)-f(x)=-8，而2 026=4×506+2，所以f(2 026)=f(2)+506×(-8)=-4 047，D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
{log (x+1),x>1,
12.已知函数f(x)= 3 若f(m)=2，则m= .
x,0<x≤1,
【答案】8
【解析】当0<x≤1时，0<f(x)=x≤1<2，所以若f(m)=2，只能m>1，即log (m+1)=2，所
3
以m+1=32=9，所以m=8>1，满足题意.
{x2−2x,x≥m,
13.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数m的取值范
x,x<m
围是 .
【答案】[3，+∞)
【解析】因为y=x2-2x=(x-1)2-1在[1，+∞)上单调递增，y=x在R上单调递增，
{x2−2x,x≥m,
又f(x)= 在R上单调递增，
x,x<m
{ m≥1,
所以 解得m≥3.
m≤m2−2m,14.(2025·梅州模拟)设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，对任意的x ，
1
x f(x )−x f(x ) 8
x ∈(0，+∞)，x ≠x ，都满足 2 2 1 1 >0，且f(2)=4，则不等式f(x)- >0的
2 1 2 x −x x
2 1
解集为 .
【答案】(-2，0)∪(2，+∞)
【解析】令F(x)=xf(x)，x≠0，
x f(x )−x f(x )
∵对任意的x ，x ∈(0，+∞)，x ≠x ，都有 2 2 1 1 >0，
1 2 1 2 x −x
2 1
∴F(x)=xf(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x)，
∴F(x)为偶函数，
∴F(x)在(-∞，0)上单调递减，
又f(2)=4，则F(2)=2f(2)=8，
8 xf(x)−8 F(x)−F(2)
∴f(x)- = = >0，
x x x
当x>0时，F(x)-F(2)>0，
即F(x)>F(2)，∴x>2，
当x<0时，F(x)-F(2)<0，
即F(x)<F(2)=F(-2)，∴-2<x<0，
8
综上所述，f(x)- >0的解集为(-2，0)∪(2，+∞).
x
