重难点21 数列中的新定义、新情景问题
【全国通用】
【题型1 数列中的新概念】......................................................................................................................................2
【题型2 数列中的新运算】......................................................................................................................................3
【题型3 数列中的新情景问题】..............................................................................................................................4
【题型4 斐波那契数列】..........................................................................................................................................5
【题型5 牛顿数列问题】..........................................................................................................................................6
【题型6 以数列和项与通项关系定义新数列】.....................................................................................................7
【题型7 数列定义新性质问题】..............................................................................................................................8
【题型8 数列中的其他新定义问题】......................................................................................................................9
1、数列中的新定义、新情景问题
数列是高考的重点和热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考压轴题中
出现数列的新定义、新情景问题是高考的一个重要趋势，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题
的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，这类问题综合性强，有时
还伴随着集合、导数以及平面解析几何等内容，难度较大，需要灵活求解.
知识点
1
数列中的新概念
1．数列中的新概念问题的解题策略：
通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关
系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.
知识点
2 数列中的新定义、新情景问题
1．数列中的新定义问题的求解策略
(1)新定义问题：通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的
新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的
迁移，达到灵活解题的目的.
(2)求解策略：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(3)求解新定义的数列，可以类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”
的性质靠拢.
2．数列中的新情景问题的求解策略
新情景
问题
：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情
景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵
活解题的目的.
知识点
3 斐波那契数列
1．斐波那契数列的概念
把这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...称为斐波那契数列，一般记为{Fn}.
2．斐波那契数列的递推公式
递推公式：
.
3．斐波那契数列的通项公式
通项公式：
.
【题型1 数列中的新概念】
【例1】（2025·四川南充·三模）对于数列{an)，规定Δan
为数列{an)的一阶差分，其中
Δan=an+1−an(n∈N
*)，规定Δ
k an
为数列{an)的k 阶差分，其中Δ
k an= Δ
k −1an+1−Δ
k −1an(n∈N
*)．若
an= n(n−1)(2n−1)
6
，则Δ
2a6=（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）将正整数n 分解为两个正整数k1，k2的积，即n=k1k2，当k1，k2两
数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12 的最优分解，
当k1
，k2
是n 的最优分解时，定义f (n)=|k1−k2)，则数列{f (2
n))的前2024 项的和为（ ）
A．2
1011−1
B．2
1011
C．2
1012−1
D．2
1012
【变式1-2】（2025·湖北武汉·三模）将1,2,⋅⋅⋅,n按照某种顺序排成一列得到数列{an)，对任意
1≤i< j≤n，如果ai>a j
，那么称数对(ai,a j)构成数列{an)的一个逆序对.若n= 4，则恰有2 个逆序对的数列
{an)的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）我们把由0 和1 组成的数列称为0−1数列，0−1数列在计算机科学和
信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{Fn)（F1= F2=1，Fn+2= Fn+ Fn+1
）中的奇数换成0，偶数
换成1 可得到0−1数列{an)，若数列{an)的前n项和为Sn
，且Sk =100，则k的值可能是（ ）
A．100
B．201
C．302
D．399
【题型2 数列中的新运算】
【例2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：|
a
b
c
d)=ad −bc，已知数列{an)(n∈N
*)满足a1=−14，
|
an+1
1
2an
2)=10n，则a10=（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【变式2-1】（2025·天津·模拟预测）数列{an)各项均为实数，对任意n∈N
∗满足an+3=an
，定义：行列式
|
a
b
c
d)=ad −bc且行列式|
an
an+1
an+2
an+3)=c为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．a1=1，c =1
B．a1=2，c =2
C．a1=1，c =0
D．a1=2，c =0
【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列{an)中每一项ai∈{0,1)（其中i=1,2,⋯,m，m∈N
*）构
成m数组A = (a1,a2,⋯,am).定义运算S如下：S ( A)=(b1,b2,b3,b4,⋯,b2m−1,b2m)，其中当ai=0时，
b2i−1=1，b2i=0；当ai=1时，b2i−1=0，b2i=1(i=1,2,⋯,m)；用S
n( A)表示n层嵌套运算
S(S(⋯S ( A)⋯))，n∈N
*.现取A =(0,1)，记S
n( A)中相邻两项组成的数对(ai,ai+1)满足ai=ai+1=1的数
对个数为Bn.
(1)写出S ( A)，S
2( A)，以及B1，B2；
(2)证明：数列{Bn+2−Bn)是等比数列；
(3)若Cn=3(Bn+ 1
2)，证明：对任意的n∈N
*都有1
C1
+ 1
C2
+ 1
C3
+ 1
C4
+⋯+ 1
Cn
< 7
6 .
【变式2-3】（24-25 高二下·广东·期中）角谷猜想，也称为“3n+1”猜想，其内容是：任取一个正整
数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1；这
就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想，假如对任意正整数a0(a0≥2)，按照上述规则实施第1次
运算后的结果记a1，实施第2 次运算后的结果记为a2，…实施第n−1次运算后的结果记为an−1，实施第n
次运算后得到数1，则停止运算，即可以得到有穷数{an):a1,a2⋯an−1,1（其中ai≠1,i=1,2⋯,n−1）其
递推关系式为ak +1={
3ak +1,ak 为奇数
ak
2 ,ak 为偶数)
(k =0,1,2,⋯,n−1)，a0称作数列{an)的原始项；将此递推公式
推广为：ak +1={
λ ak +1,ak 为奇数
ak
2 ,ak 为偶数)
(k =0,1,2,⋯,n−1, λ∈N
∗)，其它规则不变，得到的数列记作
{λ~an)，试解答以下问题：
(1)若a0=6，求数列{3~an)的项数；
(2)若数列{3~an)满足a6=1，求原始项a0
的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列{1~an)，求证：n≤2log2a1+2．
【题型3 数列中的新情景问题】
【例3】（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成
9 个圆环，解开九连环共需要256 步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九
连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最
少需要移动的次数记为an(n≤9,n∈N
∗)，已知a1=1,a2=1，按规则有
an=an−1+2an−2+1(n≥3,n∈N
∗)，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．4
B．7
C．16
D．31
【变式3-1】（2025·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了
一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数
之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差
数列，其前7项分别为3,7,13,23,39,63,97，则该数列的第8项（ ）
A．131
B．139
C．141
D．143
【变式3-2】（24-25 高二下·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1−9九个数字
填入一个3×3的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列
{an)(n∈N
∗)的通项公式为an=2n+2，现将该数列的前16项填入一个4×4的正方形方格，使其满足四阶
幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ）
A．60
B．72
C．76
D．80
【变式3-3】（2025·四川·一模）数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一
款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的
激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，
43……其中第1 至5 项构成公差为2 的等差数列，第5 至10 项构成公差为3 的等差数列，第10 至15 项构
成公差为4 的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N >66且该数列的第N项为2 的整数
幂减1，那么该款软件的激活码是（ ）
A．87
B．94
C．101
D．108
【题型4 斐波那契数列】
【例4】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・
斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、
34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F (1)=1，
F (n)= F (n−1)+ F (n−2)(n≥3,n∈N
∗)，记此数列为{an)，则a2019+a2020+a2022+a2024
等于（ ）
A．a2023
B．a2024
C．a2025
D．a2026
【变式4-1】（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
个数列{an)：1，1，2，3，5，8…，其中从第3 项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，
an+2=an+1+an
，这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2(a3+a6+a9+⋯+a174)+1，则m=（ ）
A．175
B．176
C．177
D．178
【变式4-2】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数
列”.这一数列如下定义：设{an)为斐波那契数列，a1=1，a2=1，an=an−1+an−2(n≥3,n∈N
∗)，其通项
公式为an= 1
❑√5[(
1+ ❑√5
2 )
n
−(
1−❑√5
2 )
n
)
，设n是log2[(1+ ❑√5)
x−(1−❑√5)
x)< x + 4的正整数解，则n的最
大值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式4-3】（2025·云南昆明·一模）数列{Fn):1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,...,成为斐波那契数列，是由十三世
纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开
始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A．S2019= F2021+2
B．S2019= F2021−1
C．S2019= F2020+2
D．S2019= F2020−1
【题型5 牛顿数列问题】
【例5】（2025·陕西·模拟预测）对函数y = f (x)，若数列{xn)满足xn+1= xn−f (xn)
f
′(xn)
，则称{xn)为牛顿数
列．若函数f (x)= x
2，数列{xn)为牛顿数列，且x1=2，an=log2 xn
，则S10=（ ）
A．20
B．−35
C．30
D．−55
【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数f (x)零点时给出一个数列
{xn): xn+1= xn−f (xn)
f
'(xn)
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x)=a x
2+bx +c (a>0)有两个零点1，
2，数列{xn)为f (x)的牛顿数列．设an=ln xn−2
xn−1
，已知a1=2，{an)的前n项和为Sn
，则S2025+2等于（ ）
A．2025
B．2026
C．2
2025
D．2
2026
【变式5-2】（2025·广东韶关·二模）记R上的可导函数f (x)的导函数为f
′ (x)，满足
xn+1= xn−f (xn)
f
′(xn)
(n∈N
∗)的数列{xn)称为函数f (x)的“牛顿数列”.已知数列{xn)为函数f (x)= x
2−x的牛
顿数列，且数列{an)满足a1=2,an=ln
xn
xn−1 , xn>1.
(1)求a2；
(2)证明数列{an)是等比数列并求an
；
(3)设数列{an)的前n项和为Sn
，若不等式(−1)
n⋅t Sn−14≤Sn
2对任意的n∈N
∗恒成立，求t 的取值范围.
【变式5-3】（24-25 高二下·四川·期中）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿
数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f ( x)，若满足( xn+1−xn)f
′( xn)+ f ( xn)=0
，则称数列{xn)为牛顿数列．已知f ( x)= x
4，如图，在横坐标为x1=1的点处作f ( x)的切线，切线与x 轴交
点的横坐标为x2
，用x2
代替x1
重复上述过程得到x3
，一直下去，得到数列{xn)．
(1)求数列{xn)的通项公式；
(2)若数列{n xn)的前n 项和为Sn，且对任意的n∈N
∗，满足Sn≥16−λ( 5
6 )
n
，求整数 的最小值；（参考
数据：0.9
4=0.6561,0.9
5≈0.5905,0.9
6≈0.5314 ,0.9
7≈0.4783）
(3)在（2）的前提下，设g( x)= 11
2 λ f
′( x)，直线y =ax +b(b>0)与曲线y = g( x)有且只有两个公共点
A(c ,d),(ℎ,f )，其中c<ℎ，求f ( ℎ
c )的值．
【题型6 以数列和项与通项关系定义新数列】
【例6】（2025·湖南永州·三模）如果数列{an)对任意的n∈N
∗，都有an+2+an>2an+1
成立，则称{an)为
“速增数列”.若数列{an)为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=1，a2=3，ak =2025，则正整数k 的最
大值为（ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
【变式6-1】（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列{an}(n∈N
∗)的首项a1=1，前n项和为Sn
.设λ
与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+1
1
k
−Sn
1
k = λ an+1
1
k
成立，则称此数列为“λ & k”数列.若数列
{an}(n∈N
∗)是“
❑√3
3 &2”数列，则数列{an}的通项公式an=（ ）
A．3×4
n−2
B．{
1(n=1)
3×4
n−2(n≥2))
C．4×3
n−2
D．{
1(n=1)
4×3
n−2(n≥2))
【变式6-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列{an)满足：当n为奇数时，an+an+1=an+2
；当n为偶数
时，anan+1=an+2
.则称数列{an)为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6 为和积交替数列，分别求实数a，b 的值；
(2)若数列{an)为和积交替数列，且a1=2，a2=t (t > 1
2).
（i）若3 是数列{an)中的项，求实数t的值；
（ii）若a2=2，证明：a2n≥2
2
n−1.
【变式6-3】（2025·河南安阳·三模）若正项数列{an)满足对任意n∈N
∗，都有an+2
an+1
> an+1
an
成立，则称数列
{an)为“倍增数列”.
(1)试判断数列1，2，5，13 和数列1，3，8，21 是否为“倍增数列”；
(2)设数列{an)为“倍增数列”，若an+1
an
为整数，a1=1，a2=1，ak =2025，求正整数k 的最大值；
(3)设数列{bn)满足bn+2=bn+1+bn(n∈N
∗)，b1=b2=1，试判断数列{b2n−1)是否是“倍增数列”，并说明
理由.
【题型7 数列定义新性质问题】
【例7】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知{an)是一个公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn
.若存在正整
数p,q(其中p<q)使得S p+ Sq=0，则称{an)具有性质Γ，称有序数对( p,q)是{an)的一组“Γ数对”，记由
{an)的全体“Γ数对”所组成的集合为Ω{an)
.关于命题①“若{an)具有性质Γ且(1,4)∈Ω{an)
，则
Ω{an)={(1,4))”与命题②f 存在具有性质Γ的{an)及互不相同的正整数n1,n2,m(其中n1<m且n2<m)，使得
(n1,m)∈Ω{an)
且(n2,m)∈Ω{an)
，下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
【变式7-1】（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列{an)和正整数k (k ≥2)，若存在n1,n2,⋯,nk
满足
n1<n2<⋯<nk
且an1
n1
=
an2
n2
=⋯=
ank
nk
，则称数列{an)具有性质Pk
．下列选项中错误的是（ ）
A．若an=n
2，则数列{an)不具有性质P2
B．若an=n−1+cos(nπ)，则数列{an)具有性质P2025
C．存在数列{an)和{bn)，使得{an)和{bn)均不具有性质P2
，且{an+bn)具有性质P2025
D．若数列{an)和{bn)均具有性质P2025
，则{an+bn)具有性质P2025
【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）设t >1，n≥1，n∈N，若各项均为正数的数列{an)满足
1
t an<an+1<an，则称数列{an)具有性质“P(t )”．
(1)已知数列{an)的前n 项和为Sn
，且Sn=1−an(n∈N
*)，试判断数列{an)是否具有性质“P(4)”，并说
明理由；
(2)若数列{an)满足a1= 2
3
，且an+1=ln(e
an−1)−lnan(n∈N
*)．
（i）证明：数列{an)具有性质“P(3)”；
（ii）记数列{an)的前n 项和为T n，证明：T n≥1−1
3
n (n∈N
*)．
【变式7-3】（2025·河北·二模）已知{an)是公差不为0 的无穷等差数列.若对于{an)中任意两项am
，an
，在
{an)中都存在一项ai
，使得ai=aman
，则称数列{an)具有性质P.
(1)已知an=2n，bn= 4 n+3(n=1,2,⋯)，判断数列{an)，{bn)是否具有性质P；
(2)若数列{an)具有性质P，证明：{an)的各项均为整数；
(3)若a1=18，求具有性质P的数列{an)的个数.
【题型8 数列中的其他新定义问题】
【例8】（2025·河南·模拟预测）已知数列{pn)和常数c存在以下关系：对∀ε >0,∃s∈N
*，当n>s时，
|pn−c)<ε，则称c为{pn)的极限，若数列{pn)的极限是
❑√5−1
2
，则称数列{pn)为“超极限数列”.已知数列
{an)满足:a1=a2=1,an+2=an+an+1,bn= an
an+1
,n∈N
*.
(1)写出{bn)的前5 项；
(2)证明：{bn)为“超极限数列”；
(3)若n∈N
*,Sn=a1
2+a2
2+⋯+an
2，从S1,S2,⋯,Sn
中任取一项，求该项能被9 整除的概率.
【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）若对于任意的k ∈N
*，bk
为数列{an)中小于k的项的个数，则称数列
{bn)是{an)的“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4 及❑√2，❑√3，2，❑√5的“生成数列”的前4 项；
(2)若数列{an)满足an=2n，且{an)的“生成数列”为{bn)，求bn
；
(3)若{an)为等比数列，且a1=2，公比q =3，{an)的“生成数列”为{bn)，{bn)的“生成数列”为{cn)，求cn
.
【变式8-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）对于有限正整数数列Q:a1,a2,⋅⋅⋅,an，若存在连续子列
ai,ai+1,⋅⋅⋅,a j
和符号序列si
，si+1,⋅⋅⋅,s j∈{−1,1)，使得∑
k =i
j
sk ak =0，其中1≤i< j≤n,i, j∈N
∗，
则称数列Q存在平衡连续子列．
(1)写出数列2，1，2，3 的一个平衡连续子列；
(2)设对任意正整数i，定义函数v (i)为满足i=u⋅2
v的非负整数v，其中u为奇数，令
ai=22−v (i)(i=1,2,⋅⋅⋅,7)．证明：数列a1,a2,⋅⋅⋅,a7
不存在平衡连续子列；
(3)设数列Q的每一项均为不大于k (k ∈N
∗)的正整数，证明：当n≥2k时，Q存在平衡连续子列．
【变式8-3】（2025·江西·三模）对于项数为m的数列{an)，现定义一种新的排列方式“递增移位数列”，
其排列规则如下：当k ≤m时，将数列{an)的前k项移至末尾．并按照递增顺序排列，其余各项均依次前移k
位；当k >m时，则将数列{an)的前k mod m项移至末尾，并按上述规则进行变换．若k mod m=0，则无需
进行变换操作，称为k次递增移位变换、例如，数列1，2，3经过一次递增移位变换后得到数列2，3，1；
经过两次递增移位变换后得到数列1，2，3．其中k mod m表示是除以m得到的余数．
(1)写出数列1，2，3，4，5，6经过2025次递增移位变换后的新数列．
(2)对于数列1，2，3，⋯，n
2(n≥3)，
①该数列经过k (k ≤n)次递增移位变换后，求新数列的第k项bk；
②假设经过无限次递增移位变换后所出现的每一种排列都是等可能的，记事件“第一项与最后一项的项值
之差为1”的概率为Pn，证明：Pn≥n+1
n
2 ．
一、单选题
1．（2025·山东泰安·模拟预测）定义数列{an)的“匀称值”为Gn= a1+2a2+⋅⋅⋅+nan
n
，若{an)的匀称值
Gn=n，则a8=（ ）
A．8
5
B．9
2
C．21
4
D．15
8
2．（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定
义如下：|
a
b
c
d)=ad −bc，已知Sn是等比数列{an)的前n项和，若|
2a3
1
a4
1)=0,a1=1，则S7=（ ）
A．31
B．63
C．127
D．255
3．（2025·江西·模拟预测）若数列{an)满足an+1= logman(m>1且m∈Z )，则称数列{an)为“对数m底数
列”.已知正项数列{an)是“对数2 底数列”且a5=1，则当n⩾2且n∈N
∗时，4
a2+a3+⋯+an
a2
2·…·an−1
2
=（ ）
A．2
12
B．2
16
C．2
32
D．2
64
4．（2025·河南信阳·模拟预测）对于数列{xn)，若存在实数M >0，使得对一切正整数n，恒有|xn)≤M成
立，则称数列{xn)为有界数列.设数列{an)的前n项和为Sn
，则下列选项中，满足数列{Sn)为有界数列的是
（ ）
A．an=2n+1
B．an=(−2)
n
C．an=
1
n(n+1)
D．an=(−1)
nn
2
5．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0 或1 的数列称为0−1数列，0−1数列在计算机科学和信息技
术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{Pn)（P1=0，P2=1，Pn+2=2 Pn+1+ Pn
，n∈N
*）中的奇数换成
0，偶数换成1，得到0−1数列{an)，记{an)的前n 项和为Sn
，则S30=（ ）
A．20
B．15
C．12
D．10
6．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差
数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，a2−a1=2，
a3−a2=3，a4−a3= 4，a5−a4=5，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差
数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5 项为2，3，6，11，18，则其第8 项是（ ）
A．38
B．51
C．66
D．83
7．（2025·上海金山·三模）对于数列{an)，若存在常数M >0，对任意的n∈N
∗，都有不等式
|a2−a1)+|a3−a2)+...+|an+1−an)< M成立，则称数列{an)具有性质P．给出下列两个结论：
①若数列{an)和{bn)均具有性质P，则数列{an+bn)也具有性质P
②若数列{an)和{bn)均具有性质P，则数列{anbn)也具有性质P．
则下列判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①为假命题，②为假命题
8．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列{an)，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得
am=a1+a2+a3+⋯+an
，那么称{an)为内和数列，并令bn=m，称{bn)为{an)的伴随数列，则（ ）
A．若{an)为等差数列，则{an)为内和数列
B．若{an)为等比数列，则{an)为内和数列
C．若内和数列{an)为递增数列，则其伴随数列{bn)为递增数列
D．若内和数列{an)的伴随数列{bn)为递增数列，则{an)为递增数列
二、多选题
9．（2025·广东·模拟预测）如果数列{an)的首项a1=1，且满足|an+1−an)=k (k >0)，则称数列{an)为“等k
距数列”.已知数列{an)是“等k距数列”，则（ ）
A．an≤(n−1)k +1
B．若数列{an)为“等1 距数列”，则a4
可能取值的集合为{−2,0,2,4)
C．若an= ln bn
，数列{bn)的前n 项和Sn=e(1−e
nk)
1−e
k
或Sn=e(1−e
−nk)
1−e
−k
D．若∃M >0，∀n∈N
∗，|an)≤M，则数列{an)存在最大项与最小项
10．（2025·山东·模拟预测）若数列{an)满足：存在λ>0，使得∑
i=1
n
|ai+1−ai)≤λ对任意n∈N
*成立，则称
{an)是“受限数列”，λ的最小值称为{an)的“受限上界”.记{an)的前n项和为Sn
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若an=2n−1，则{an)是受限数列
B．若等差数列{an)满足a3=3，S11=66，则{
2
an)
是受限数列
C．若Sn= an−1
3
，则|an)是受限数列，其受限上界为3
D．若{an)，{bn)都是受限数列，则{anbn)也是受限数列
11．（2025·陕西安康·模拟预测）定义：已知数列{an)的前n 项和Sn
，若∃x，y ∈R，使得
anan+1=(x Sn+ y)(an+1−an)，则称数列{an)为(x , y)分解数列．基于上述事实，则（ ）
A．若数列{an)为非零常数列，则数列{an)不可能为(x , y)分解数列
B．若Sn=2an−2，则数列{an)为(2,1)分解数列
C．若首项为1 的非常数列{an)为(2,0)分解数列，则S100=5050
D．若首项为2 的非常数列{an)为(1,2)分解数列，则数列{
n+2
(n
2+n)an)
的前n 项和小于1
三、填空题
12．（2025·甘肃白银·三模）若数列{an)是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
{an)是“n项优待数列”.若等差数列{bn)是“2k +1项优待数列”，k ∈N
*，则bn= .
13．（2025·山西太原·一模）对于数列{an)，称{Δan)为数列{an)的1 阶商分数列，其中Δan= an+1
an
；称
{Δ
k an)为数列{an)的k阶商分数列，其中Δ
k an=Δ
k −1an+1
Δ
k −1an
(k ≥2,k ∈N
*)，当k =1时，Δ
1an=Δan
．已
知数列{bn)，b1=1，且{(1+ 2
n)Δbn+1)
为数列{bn)的2 阶商分数列，则数列{bn)的前n项和为
．
14．（2025·北京海淀·三模）设数列{an)的前n 项的和为Sn
，若对任意的n∈N
∗，都有Sn<an+1
，则称数
列{an)为“超神数列”，下列命题中，正确的有
．
①存在递增数列{an)，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列{an)，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列{an)，使得它是“超神数列”；
④若{an)为等比数列，对于任意q∈(
1−❑√5
2
,0)
，存在a1
，使得{an)为超神数列．
四、解答题
15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn
，若数列{an)满足Sn⋅Sn+2<Sn+1
2
，则称数列
{an)是“方特数列”.
(1)证明：数列{n)是“方特数列”；
(2)若数列{a1q
n−1)(a1≠0)是“方特数列”，求q的取值范围；
(3)证明：当q>0时，数列{nq
n−1)是“方特数列”.
16．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0 的等差数列{an)(n∈N
*)称为“一阶等差数列”，若数列
{an+1−an)是“一阶等差数列”，则称数列{an)是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项
与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2 的等差数列，则称数列1，3，7，
13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列{an)的通项公式为an=n
2，试判断数列{an)是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列{an)为“二阶等差数列”，且a1=1，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求an
；
17．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列A :a1,a2,⋯,an(n≥2,n∈N
*)的各项互不相同，且
ai∈{1,2,⋯,n), i=1,2,…,n， 若对任意1≤i< j≤n，都有ai−i≤a j−j ,则称数列A 具有性质P；若
对任意1≤i< j≤n， 都有ai+i≤a j+ j ,则称数列A 具有性质T.
(1)若n=3，写出所有具有性质T 的数列A；
(2)证明：具有性质P 的数列A 一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T 的数列A 的个数为bn
，证明：数列{bn)是等比数列.
18．（2025·江苏苏州·模拟预测）若数列{an)满足an+2−an+1≥an+1−an(n∈N
*)，则称{an)为“阶跃数
列”.
(1)若an=n
2+2n，判断{an)是否为“阶跃数列”；
(2)在“阶跃数列”{an)中，若an= λ⋅2
n−n(n−1)(n+1)
6
，求实数λ的取值范围；
(3)记“阶跃数列”{an)的前n项和为Sn
，证明：数列{
Sn
n )
是“阶跃数列”.
19．（2025·广东湛江·二模）已知m>0，若正项数列{an)满足∀n∈N
∗, an
an+1
<1< m
an
，则称{an)为“上界
m 数列”．
(1)若cn=sin
n
2+n−1
λ(n
2+2n−2)(λ> 2
π ,n∈N
∗)
，判断数列{cn)是否为“上界1 数列”，并说明理由；
(2)若数列{
2n
n+1)是“上界m 数列”，求m 的最小值；
(3)若0<b1≤
❑√3−1
2
，且bn+1=bn+ bn
2
n
2 (n∈N
∗)．证明：数列{bn)是“上界1 数列”．
