文档文本内容
重难点专训01 指对幂值的比较大小
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：利用函数性质比较大小........................................................................................................................2
题型二：中间值法比较大小................................................................................................................................4
题型三、特殊值法比较大小................................................................................................................................5
题型四：数形结合法比较大小............................................................................................................................6
题型五：构造函数法比较大小............................................................................................................................9
题型六：含变量问题比较大小..........................................................................................................................11
题型七：切线放缩法比较大小..........................................................................................................................13
题型八：泰勒展开法比较大小..........................................................................................................................17
重难专题分层过关练..........................................................................................................................19
巩固过关...............................................................................................................................................................19
创新提升...............................................................................................................................................................24
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函
数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
2、中间值法：当底数、指数、真数均不同且需比较多个数大小时，可选取0、1 等易判断大小的中间
量；再结合函数性质分部分比较，通过中间量传递并确定最终大小关系。
3、估算法：
(1)先估算待比较两值的大致取值区间；
(2)可通过二分法、指对转化等方式在区间内寻找合适中间值，借助中间值完成大小比较。
4、构造函数法：
通过构造函数观察并提炼“同构”特征。比较三数大小时，若某数刻意隐藏同构规律，可优先从结构
最接近的两数入手探寻规律，再灵活构造函数进行大小比较。
5、切线放缩法：
切线放缩法是基于 “以直代曲” 思想的重要解题技巧，核心是利用函数在某点的切线构建不等式实
现放缩。其原理是通过导数找到函数在切点处的切线方程，借助函数凸凹性确定切线与曲线的位置关系
（如凹函数切线在下方，凸函数切线在上方），形成基础不等式如
、
解题时需先根据式子结构选切点（如极值点、对称点），构造切线方程，再通过变量替换拓展不等式
适用范围，将复杂函数放缩为线性形式。常用于证明不等式、求最值或比较大小，关键要注意放缩方向与
定义域匹配，避免过度放缩，必要时结合函数凸凹性提升精度。
6、泰勒展开法：
常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：利用函数性质比较大小
典例1-1．三个数
，
，
大小的顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.
【详解】由
为增函数，则
，
由
为增函数，
，
所以
.
故选：A
典例1-2．已知
，
，
则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】先比较
，易知
,故
，即
又
，故
时
，
时
故
， 而
，故
，有
故选：A
变式1-1．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，，
，
又
为定义域上的增函数，
所以
.
故选：D
变式1-2．已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上单调递减，所以
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
，即
，
综上，
.
故选：D
题型二：中间值法比较大小
典例2-1．已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
.
故选：C.
典例2-2．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
因此
．
故选：C．
变式2-1．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，即
，
，即
，
，所以
.
故选：D
变式2-2．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上单调递减，则
，即
；
又因为
在
上单调递减，则
，即
；
可得
，且
在
上单调递增，
则
，即
；
综上所述：
.
故选：D.
题型三、特殊值法比较大小
典例3-1．已知
是函数
图像上不同的两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意不妨设
，因为
是增函数，
所以
，即
．
，
当且仅当
时取等，则
，
即
，故C 正确，D 错误．
取
，则
，故A 错误，
取
，则
，故B 错误．
故选：C
变式3-1．实数a，b 满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取
,满足
,但
,所以A 错误；
取
,满足
,但
，所以B 错误；
若
，则
,
,所以C 正确；
取
,则
,所以D 错误.
故选:C.
变式3-2．（多选）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意可得
，
令函数
，易知
在
上单调递增，
由
可得
，即可得
；
对于A，由
，可得
，故
，故A 正确；
对于B，分别取
，
，则
故B 错误；
对于D，分别取
，
，
，故D 错误；
对于C，因为
，
，则
，故C 正确.
故选：AC．
题型四：数形结合法比较大小
典例4-1．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺
序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据
函数图象可知
，
同理
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，根据函数图象可知
，
的零点
可以看成函数
与
图象交点的横坐标，可得
，
因此
，
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题.
典例4-2．已知
均为大于0 的实数，且
，则
大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：因为
均为大于0 的实数，
所以
，
进而将问题转化为函数
与直线
的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知
故选：C
变式4-1．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的零点转化为
与
的图
象的交点的横坐标，
因为零点分别为
，
在坐标系中画出
与
的图象如图：
可知
，满足
，
故选：A
变式4-2．设a，b，c 均为正数，且
，
，
，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在同一坐标系中分别画出
，
，
的图象，
与
的交点的横坐标为
，
与
的图象的交点的横坐标为
，
与
的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出
．
故选：C
题型五：构造函数法比较大小
典例5-1．已知
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
，所以
.
故选：B.
典例5-2．设
，
，
，则
的大小关系为：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，求导得
，
，，
当
时，
，函数
在
单调递减，
当
时，
，函数
在
单调递增，
所以
，所以
，当且仅当
，时等号成立，所以
，
所以
，设
，则
，
记
，则
，记
，
则
，所以
在
上单调递增，
故
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，故
时，
，
即
，所以
在
上单调递增，
故
时，
，即
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
．
故选：A
变式5-1．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
，
，故c 的值最大．
下面比较a，b 的大小．
构造函数
，
显然
在
上单调递增．
因为
，所以
，所以
，
所以
．
故选：C．
变式5-2．已知
，
，
，则
，
，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，所以
，故
，又
，则
在
上单调递减，又
，
，所以存在
，
使得
，且在
时，
，在
时，
，即
在
上单调递增，在
单调递减，且
，所以
，又因为
，所以当
时，
，其中因为
，所以
，所以
，故
，即
.
故选：B
题型六：含变量问题比较大小
典例6-1．已知
，
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可设
，因为
，所以
的图象关于直线
对称.
因为
，当
时，
，所以
，
，
，所以
，所以
在
上单调递增，
由对称性可知
在
上单调递减.因为
，所以
，所以
；
又
，
，由对称性可知
，且
，因为
，所以
，
又
在
上单调递减，所以
，所以
，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，关键在于构造合适的函数，并运用导函数得出函数的单调性和对
称性得以解决.
典例6-2．已知
，记
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：因为
，
所以
，
所以
，
故选：A
变式6-1．已知
，
，设
，
，
，则
，
，
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知
，
，可得
，且a＞1＞b＞0，不难判断x，y，z 的大小关系
，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.
【详解】∵a＞b＞0，
，
∴可得
，且a＞1＞b＞0，
∴
，
，
，
又
，
，
单调递增，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
根据对数函数性质可得
，
∴
．
故选B．
【点睛】本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.
变式6-2．（多选）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】选项A：
由
，可得
，
则
，
，
则
，则
.判断错误；
选项B：由
，可得
为
上减函数，
又
，则
.判断正确；
选项C：由
，可知
为R 上减函数，又
，则
由
，可知
为
上增函数，又
，则
，则
又
为
上增函数，则
，则
.判断正确；
选项D：令
，则
，
，
则
，即
.判断错误.
故选：BC
题型七：切线放缩法比较大小
典例7-1．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】构造
，
，
则
对
恒成立，则
在
单调递增，
此时
，当且仅当
时取等，
所以
，则
；
构造
，
，
则
对
恒成立，则
在
单调递减，
此时
，当且仅当
时取等，
所以
，则
；
构造
，
，
则
对
恒成立，则
在
单调递减，
此时
，当且仅当
时取等，
所以
，则
；
则
，
；
下面比较b 和c 的大小：
设
，
，
，
设
，
，
，
易知
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递减，
，
即
在
上恒成立，则
在
上单调递减，
由
，则
，即
，则
，
综上所述，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用导数研究函数的单调性问题.
典例7-2．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】显然
，
，
因为
，所以
；
又因为
，
，
令
，
．则
，
可知
在
上单调递增，
则
，可得
，
令
，
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，
则
，即
，所以
；
综上所述：
．
故选：A．
变式7-1．已知
，
，
，试比较a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】先证明两个不等式：
（1）
，设
，则
，即
在
上单调递减，故
，即
成立
（2）
，设
，则
，即
在
上单调递增，故
，即
成立
再说明一个基本事实，显然
，于是
.
由（1）可得，取
，可得
；
由（2）可得，取
，可得
，再取
，可得
，即
.
，显然
，于是
；
，显然
，于是
.故
.
故选：B
变式7-2．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
题型八：泰勒展开法比较大小
典例8-1．若
，则
满足的大小关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
，所以
.
设
，
在
上单调递增，
所以
，所以当
时，
，
则
，即
.
设
，
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，即
，
所以
，
而
，所以
，所以
.
故选：A
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定
的定义域；
（2）计算导数
；
（3）求出
的根；
（4）用
的根将
的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内
的符号，进而确定
的单调区间：
，则
在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；
，则
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
典例8-2．
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，
，
因为
，所以
，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故
，综上所述a，b，c 的大小关系是
.
故选：C
变式8-1．英国数学家泰勒给出如下公式：
；
；
，其中
．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多
的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若
，
，
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，则
，
因此
.
故选：C.
变式8-2．设
，则
的大小关系为 .（从小到大顺序排）
【答案】
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记
，则
，当
时，
，故
在
上单调递增，故
，故
，
记
，则
，当
时，
，故
在
单调递减，故
，故
，因此
．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩
得
，因此
.
故答案为：
巩固过关
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，且
，则
，
，
所以
，
故选：A.
2．已知
，
，
，比较
，
，的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】易知
，
.
故选：B
3．设
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
故构造函数
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
又因为
，
，
所以
，
．
因为
，又
，
所以
，即
，故
，
故选：A．
4．若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，
，可得
，
，
因为对数函数
为
上的增函数，则
，
幂函数
在
上为增函数，则
，
故
.
故选：D.
5．三个数
，
，
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
，
当
时，则
，可得
，
可知
在
上单调递减，
因为
，
，
，
且
，则
，所以
．
故选：D．
6．三个数
，
，
的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
所以
最大，
因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，所以
，
即
.
故选：B
7．已知函数
，
，
的零点分别为
，
，，则
，
，的
大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
，
，
的零点分别为
，
可得函数
，
，
与
图象交点的横坐标分别为
，
在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示：
由图知
，所以
.
故选：B
8．设函数
，
，
在
上的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
在
上单调递增，
又因为
，所以存在
使得
，
所以
，
因为
，
，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
又因为
，
又
，
，所以
，所以
在
上单调递增，
又
，
，所以存在
使得
，所以
最大，
因为
，所以
，
，
，
又
，
.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间，
区间的长度越小越好.
9．设
，
，
，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
，
又因为
在
上单调递增，所以
，即
，
因为
，所以
，
又因为
在
上单调递增，所以
，即
，
综上：
.
故选：D.
10．已知函数
.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
令
，
则
，
所以
为奇函数，且
在
单调递增，如图所示，
因为
，
所以不妨设
，
设点
，
则
的直线方程为
，
如图，因为
，
所以两式相加得
，
又因为
，
所以
，
所以
，
即
.
故选：C.
创新提升
1．若
，
，
，则a、b、c 满足的大小关系式是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】显然
，即
，而
，
设
，求导得
在
上单调递增，
则
，即当
时，
，因此
；
设
，求导得
，
令
，
，
则函数
，即
在
上单调递增，
，
即函数
在
上单调递增，于是
，则当
时，
，
从而
，而
，即有
，
所以
.
故选：A
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
2．设
，
，
，则
，
，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
，
所以只要比较
的大小即可，
令
，则
，所以
在
上递增，
所以
，所以
，
所以
，即
，
令
，则
，
因为
在
上为减函数，且
，
所以当
时，
，
所以
在
上为减函数，
因为
，
，
要比较
与
的大小，只要比较
与
的大小，
令
，则
，
所以
在上递增，所以
，
所以当
时，
，所以
，
所以
，所以
，
所以当
时，
，
所以
在
上递增，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然
后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，
属于难题
3．已知
，
，
，比较a，b，c 的大小为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【答案】D
【详解】
，因函数
在
上单调递增，
则
，
.
，因
，则
.
故
，综上有
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因
，难以找到中间量，故结合
换底公式做差，后再利用基本不等式比较
大小.
4．设
，
，
，则a，b，c 从小到大的顺序为 （用“
”连接）.
【答案】
【详解】因为
，
设
，
，则
，
所以
在
内单调递增.
又
，
所以，当
时，有
.
又
，
所以，
，所以
.
设
，
，则
，
所以
在
内单调递增.
又
，
所以当
时，有
，
所以
，所以
，即
.
综上可得，
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：构造函数，利用导函数得出函数的单调性，进而利用函数的单调性判断大小关系.
5．设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
有
，因为
，
所以
，即
，由
有
，
所以
，令
，所以
，
由
，所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
故选：C.
6．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则
，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，当且仅当
时，取等号，
所以
，故
，
因为
，
，
所以
，
令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
，即
，
，即
，
综上，
.
故选：C.
