从另一个角度讲初中数学(六十四)、二次函数的实际应用——最大利润、最大面积,顶点就是答案

咱们前面把二次函数的图像、性质、解析式全讲完了。

从 y = x² 开始，到配方法求顶点，到三种形式求解析式。

那今天这一课，咱们要回答一个特别实际的问题：

二次函数到底有什么用？

答案是：求最值。

生活里到处都有“最大”“最小”“最多”“最少”的问题：

• 商品定价多少，利润最大？

• 围一块菜地，怎么围面积最大？

• 一个球抛出去，最高能飞多高？

• 隧道拱顶多高，车才能通过？

这些问题的共同点是：有一个量在变，另一个量跟着变，而且变化关系是一条抛物线。

而抛物线的顶点，就是那个“最大”或“最小”的点。

今天这一课，咱们就专门练这种题。

一、利润最大化问题——定价定多少，赚得最多？

这是二次函数应用题里考得最多的一种。

某商店销售一种商品，进价40元/件。售价定为80元时，每天能卖50件；售价每降1元，每天就能多卖5件。问售价定为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？

第一步：设降价x元。

实际售价 = 80 - x 元。

第二步：求销量。

降价x元，多卖5x件。

销量 = 50 + 5x 件。

第三步：求利润。

每件利润 = (80-x) - 40 = 40 - x 元。

总利润：

y = (40 - x)(50 + 5x)

第四步：展开。

y = 2000 + 200x - 50x - 5x²

y = -5x² + 150x + 2000

第五步：求顶点。

a = -5 < 0，开口朝下，有最大值。

对称轴：x = -b/2a = -150/(2×(-5)) = 15

所以降价15元时，利润最大。

实际售价 = 80 - 15 = 65元。

最大利润：把x=15代入：

y = -5×225 + 150×15 + 2000

= -1125 + 2250 + 2000

= 3125元

答：售价定为65元时，每天利润最大，最大利润是3125元。

总结：利润问题的核心公式：

总利润 = 每件利润 × 销量

每件利润和销量都写成关于x的式子，乘起来就是二次函数，顶点就是最大利润。

二、面积最大化问题——怎么围面积最大？

题目： 用一根长40米的篱笆围一个矩形菜地，问长和宽各是多少时，菜地面积最大？最大面积是多少？

第一步：设未知数。

设矩形的一条边长为 x 米。

第二步：表示另一条边。

周长 = 2(长+宽) = 40

长 + 宽 = 20

另一条边 = 20 - x 米。

第三步：表示面积。

S = x(20 - x) = -x² + 20x

第四步：求顶点。

a = -1 < 0，开口朝下，有最大值。

对称轴：x = -b/2a = -20/(2×(-1)) = 10

当 x=10 时，另一边 = 20-10 = 10。

最大面积 = 10×10 = 100平方米。

答：围成正方形（边长10米）时，面积最大，最大面积100平方米。

总结：面积问题的核心：

面积 = 长 × 宽

用一个未知数表示长和宽，乘起来就是二次函数，顶点就是最大面积。

三、抛物线运动问题——球能飞多高？

题目： 一个小球从地面竖直向上抛出，它的高度 h（米）与时间 t（秒）满足：

h = -5t² + 20t

问：小球最高能飞到多少米？几秒后到达最高点？

第一步：找顶点。

a = -5 < 0，开口朝下，有最大值。

对称轴：t = -b/2a = -20/(2×(-5)) = 2

第二步：求最大高度。

把 t=2 代入：

h = -5×4 + 20×2 = -20 + 40 = 20米

答：2秒后到达最高点，最高高度20米。

四、实际应用题的通用步骤

所有二次函数应用题，都按这四步走：

第一步：设未知数。 通常设“变化的量”为 x（比如涨了多少、降了多少、边长是多少）。

第二步：把要求的量表示成 x 的二次函数。 根据题目中的数量关系，列出函数关系式。

第三步：求顶点。 用配方法或顶点公式，求出最大值或最小值。

第四步：回答实际问题。 把 x 的值代回去，算出实际答案。

特别注意：

• 设未知数的时候，注意实际意义的取值范围。比如“涨价x元”，x≥0；“边长x米”，x>0且满足其他条件。

• 求出的顶点如果不在取值范围内，那就要看区间端点。初中阶段一般顶点都在范围内，但还是要注意检查。

五、总结：二次函数应用题的核心

讲到这里，咱们把二次函数的实际应用彻底讲清楚了：

• 利润问题：总利润 = 每件利润 × 销量，乘起来是二次函数，顶点是最大利润。

• 面积问题：面积 = 长 × 宽，用周长表示另一条边，乘起来是二次函数。

• 抛物线运动：高度与时间的关系是二次函数，顶点是最高点。

• 通用步骤：设未知数 → 列函数 → 求顶点 → 回答实际问题。

好，二次函数这一大块，从图像到性质，从解析式到应用，咱们全部讲完了。

那初中函数还剩最后一个成员——函数与方程、不等式的综合。把一次函数、反比例函数、二次函数和方程、不等式全部串起来，看看它们之间到底有多少种“联动方式”。

下一课，咱们就做函数综合大题，一道题里同时出现两个函数，让你看看它们是怎么“打架”和“合作”的。

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