高考数学重点模块:压轴题

本模块不是一个固定考点，而是一类"现场学习陌生定义、当场翻译成熟悉对象"的能力型压轴。2026 新高考 I 卷最后一题 T19（17 分）就是抽象函数新定义题，官方评析明确称其"创设了创新情境，考查学生在新情境下进行分析、探索、论证的能力"，并指出 I、II 卷 T19 均"采取递进式的探究设问，由浅入深、层层递进，前一问是为后一问做铺垫"。

一、一句话本质

新定义题的本质是"翻译"：把题目第一次给出的集合、运算或递推规则，逐字改写成你已经熟悉的对象（不等式、区间、等差等比数列、普通函数性质），再用最基础的定义法（任取、反证、归纳）完成论证。

它不考你提前背过什么套路，考的是三件事：读定义的精确程度（量词、范围、取等条件一个字不能漏）、把抽象对象"落地"的能力（举特例、算前几项、画草图）、以及在递进设问中复用前问结论的意识。下面七个方法块，请你结合 2026 I T19 这道母题把关。

二、方法通法（七个知识块）

1. 总套路：读定义、举特例、翻译对象、分层作答

识别特征：题干出现"记……为……""称……是……""定义集合（运算）……"，定义里含一个或多个量词，后面跟两到三问、分值 17 分。

标准步骤：

（1）第一遍通读，圈出四样东西：新对象叫什么、它由什么条件确定、变量取值范围、不等号是否取等。

（2）不急着写证明，先用最简单的特例建立直觉：集合题代一个具体的 ，数列题算出前三四项，抽象函数题画一张只反映正负与升降的示意图。

（3）翻译：把新定义逐条改写成熟悉语言。新集合往往翻译成不等式或区间，新数列往往翻译成已知递推，新运算往往翻译成一张运算表或一条验证清单。

（4）分层拿分：第（1）问几乎一定是"直接按定义算一次"，属于送分，必须稳稳拿下；末问才用前问结论当引理往上推。

真题模板示例：2026 I T19 定义 。字面翻译： 就是"从点  出发，走到  后函数值变大"的全部步长 。再换一种等价写法，后文反复使用： 当且仅当 。这一句翻译，是整道题的钥匙。

2. 集合型新定义：翻译成不等式与区间并集

识别特征：新定义本身就是一个集合，条件是某个不等式或方程成立。

标准步骤：

（1）把集合条件抄成不等式，按新对象里未知量（如  或 ）所在位置分情况讨论。

（2）每种情况解出一个区间，最后取并集；端点严格代回原式判断取不取。

（3）用一两个区间内的点和两个端点数值验证，防止并集方向写反。

真题模板示例：2026 I T19（1）， 时 ，求 。由 ，令 ，只需 。当  时 ；当  时 。合并得 ，即 ，故

两端都取不到： 时两边相等， 时也相等。2026 I T8 是同一思路的选填版：在删去一个点后的 63 点集合上定义随机变量 ，先利用原 64 点关于原点中心对称、总和为 0，删去 （其值为 3）后总和为 ，立刻得 。

3. 抽象函数性质证明：序关系与包含关系互推

识别特征：已知条件是"函数值的大小次序"，要证的是"集合的包含关系"，或反过来由包含关系推函数单调、推特殊点函数值。

标准步骤：

（1）证集合包含只有一种标准动作：任取 ，由定义写出 ，再借助已知的大小关系与奇偶性，把这个不等式"搬运"成 ，于是 。

（2）证单调性也只有一种标准动作：任取 ，令 ，目标改写为证明 。

（3）奇函数先固定三件事：； 时 ；正负半轴的值域分列 0 两侧，分类讨论时这天然划出了边界。

真题模板示例：2026 I T19（2），先把非零点的  形状完整求出来：

再按  的符号分类。若两者同为负， 在负半轴（ 严格增）等价于 ，于是 ；同为正时  等价于 ，对应 ；若 ，则  条件恒成立，而 。 与条件矛盾、不会出现， 恰好排除了退化情形。三种情况合起来即 。

4. 反证法与"门槛"放缩：用已知段压制未知段

识别特征：要证一个下界（如 ）或要在完全不知道解析式的正半轴上证明单调性，直接构造无从下手，题面又给了一段已知函数（如  时 ）。

标准步骤：

（1）反证法四段式：反设结论不成立、在反设下构造一个具体对象、推出与已知条件矛盾、肯定原结论。

（2）从已知段提炼"门槛引理"：利用  当  时趋于 0、当  时趋于 1，取充分负的  充当桥梁，把未知点的函数值与已知段比较。

（3）先压小区间、再压整条半轴、最后一击得严格递增，分三步推进。

真题模板示例：2026 I T19（3）。证（i）：反设 ，由 （）可取  使 ，即 ，条件①给 ；再取 ，则  且 ，故 ，即 ；但 ，条件②给 ，矛盾。

证（ii）时官方做法是先立两条门槛引理：右移门槛——若 （），取  且 ，可证 ；左移门槛——若 ，取  使 ，可证 。由此第一步用左移门槛和条件②压住  时 ；第二步反设存在  使 ，配合 、取充分负的  构造出某个  使 ，与第一步矛盾，故整条正半轴 ；第三步任取 ，令 ，由  用右移门槛直接得 ，严格递增得证。

5. 新数列新定义：算前几项归纳，再翻译成熟悉递推

识别特征：给一个新名称（如"-可分数列"）或一条新递推、一个新约束，问题从"写出所有情形"到"证明对一切  成立"递进。

标准步骤：

（1）最小情形穷举，把所有可能写全，写完全部代回定义逐条验证，这一步本身常是第（1）问的答案。

（2）归纳猜想：把最小情形的构造推广，先用数学归纳法或"每增加 4 项自成一组"式的递推延拓证明存在性。

（3）概率型末问：先数清总选法，再给出可行选法的一个构造性下界，用分式放缩证不等式。

真题模板示例：2024 新课标 I 卷 T19（17 分）定义"-可分数列"：从公差不为 0 的等差数列  中删去  后，余下  项能均分成  组、每组 4 项都成等差数列。第（1）问  时，因原数列各项乘非零常数、加常数不改变等差性，问题等价于从下标  中删两个、余下四个下标等距，穷举只得删相邻两对（前两项或后两项）或删一首一尾，即  三组；第（2）问证  时 -可分，关键构造在  的 14 项上给出，之后每多 4 项自成一组，归纳延拓；第（3）问总选法为 ，构造给出的可行对数至少为 ，于是

2026 I T14（5 分）是同类思路的选填版：只给三倍下标的部分和 ，相邻作差得"每连续三项一块、第  块和为 "；连续 9 项的窗口在三分块格点上只能对齐 3 块或错位 2 块，对齐与等比性矛盾，错位给 ，最小可取 ，故  的最大值为 。

6. 新运算、新规则与构造型迁移：按定义逐条验证

识别特征：题目规定一套操作规则（分组配对、依次构造点、定义  一类的规则概率），规则本身就把答案的结构藏好了。

标准步骤：

（1）先把规则用自己的话复述一遍，并确认每一步操作后对象落在哪个范围（封闭性）。

（2）规则执行两三遍，观察是否产生等比、等差、对称、不变量；构造题特别注意"关于坐标轴对称"这一类操作带来的坐标变号。

（3）证明题把规则翻译成代数恒等式，利用曲线方程本身因式分解（如 ）收口。

真题模板示例：2024 新课标 II 卷 T19（17 分）在双曲线  上从  出发，过  作斜率为  的直线交左支于一点，再取该点关于  轴的对称点为 。 时直线恰好经过左顶点 ，故 。由  与双曲线方程可证  是公比为  的等比数列（数值验证：），再由底与高的轮换得相邻三角形面积相等，即 。2025 新课标 II 卷 T19（17 分）则定义  为"打完  个球后某方至少多 2 分"的概率，第（1）问直接翻译为二项概率：，；第（2）问  配合  解出 ；第（3）问对一般  作相邻项之差完成夹逼。

7. 选填新定义小题的快解与压轴书写规范

识别特征：选填最后一题出现陌生定义，或解答压轴需要把上面各块的论证写在卷面上。

标准步骤（快解）：

（1）特值试探：把抽象定义代到一个最简单的具体函数、数列或点集上，先看结论大概长什么样。

（2）极端与边界：、区间端点、空集、全集、正负分界点，往往一眼排除两个选项。

（3）利用对称与不变量：集合关于原点对称时总和为 0（2026 I T8），配对问题先用总和与奇偶性锁死参数再验证存在性（2026 I T7：12 个塔数总和 108，6 个组和成等差， 且组和全为偶数，选项中只有  可行，答案 B）。

书写规范（解答题踩分）：

（1）包含关系固定写"任取 ，则……，所以 "；单调性固定写"任取 ，令 "。

（2）反证法固定四段标题：反设、构造、矛盾、肯定。

（3）每一小问结尾回扣定义或题目原句；第（1）问算出的具体集合、第（2）问求出的  形状，都要在第（3）问显式调用，让阅卷人看见"前问是后问的引理"。

三、2024–2026 新高考考情表（新定义 / 创新压轴题）

考情小结：2024 I、2024 II、2025 II 的 T19 与 2026 I 的 T19 连续四年把最后一题交给"新规则 + 递进论证"，2026 I 还在 T7、T8、T14 三个选填位置同时设置新情境小题；2025 I 卷与 2026 II 卷未检索到以"定义新运算 / 新数列 / 新集合"包装的典型题（已通读全卷，不编造、不把普通题凑数）。北京、上海、天津卷的数列新定义压轴是同一能力谱系，可作补充训练，但不进入本表统计。

四、易错点

易错点 1：只读一遍定义就动笔，不举特例

新定义题最忌讳"望文生义"。不代入  算一次、不算数列前三项，后面所有证明都建立在自己想象的定义上。动笔前先花两分钟让定义在特例上"跑一遍"。

易错点 2：集合包含方向证反

 的标准动作是从  里任取元素、证它在  里。方向反了，证明再漂亮也是零分。建议在草稿纸上先写"任取 "这一行，再往下推。

易错点 3：漏掉特殊点与端点

、 的归属、区间开闭是三大高发丢分点。2026 I T19（1）的区间两端都因"函数值恰好相等"而取不到；（2）的条件  正是为了排除退化情形，分类时要显式交代。

易错点 4：反证法的反设写错

""的否定是""，不是""；"单调递增"的否定是"存在  使 "。反设必须与结论严格互补，写完反设先检查二者有没有遗漏第三种情形。

易错点 5："任意"与"存在"量词搞混

定义里"对任意  记 "与条件①"若  则……"是全称推出；T14 的"存在数列满足部分和条件"是存在性约束。翻译时先用符号 、 在题干上标一遍，证明中需要哪个量词，就去构造（存在）或任取（任意）。

易错点 6：新数列不验证最小初值就归纳

数学归纳法缺了 （或本题的 、）验证，延拓论证全部悬空。2024 I T19（2）必须先给出 14 项时  的具体分组，后面"每加 4 项自成一组"才成立。

易错点 7：把新运算想当然套用旧运算律

题目临时定义的规则，交换律、结合律、分配律全部要重新验证，不能默认成立。构造点列时"关于  轴对称"只改变横坐标符号，不能顺手把纵坐标也改掉；规则概率  不能直接套二项分布公式，要先翻译成"胜场差至少为 2"的事件再计数。

易错点 8：第（1）问的送分结论没有在后问复用

递进设问的前问几乎一定是后问的引理。2026 I T19（2）求出的  区间形状，正是（3）分类讨论的地图；2024 I T19（1）穷举出的三组删法，是（2）（3）构造的原型。做完末问回头检查：前问结论是否被显式调用过一次。

五、复习建议

（1）把 2026 I T19 完整重做到能默写两条"门槛引理"的程度，这是当前最贴近高考方向的母题；2024 I T19、2024 II T19、2025 II T19 各限时完整书写一遍，重点不是做对，而是把"任取""反设"的规范格式写熟。

（2）平时遇到任何新定义，先只做一件事：用自己的话写一句"它其实就是……"。翻译句写不出来，就回到定义再读，不进入证明。

（3）选填小题积累三招：特值代入、极端边界、对称配对。这三招覆盖了 2026 I T7、T8、T14 全部三个新情境小题的最快路径。

六、依据来源

[1] 教育部教育考试院. 教育部教育考试院发布2026年高考数学试题评析（人民网，2026-06-07；明确点名全国 I 卷第 19 题"创设了创新情境"、I/II 卷第 19 题"递进式的探究设问，前一问是为后一问做铺垫"、I 卷第 7 题一百零八塔新情境、第 8 题对称性简化计算）. http://edu.people.com.cn/n1/2026/0607/c1006-40735399.html

[2] 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷·数学）真题及解析（T7 一百零八塔答案 B、T8 答案 A、T14 答案 、T19 全题与答案  核对来源）. http://59.110.7.117/upload/file/20260608/1780886758179094231.pdf

[3] 锦宏教育. 2026 年全国统一高考数学试卷（新高考 I 卷）参考答案（本地原卷 i2026_jh.pdf 已渲染第 3、7、12、13 页看图核对，含 T19 两条门槛引理完整证明）. https://www.jhgk.cn/upload/file/20260610/1781056451180075214.pdf

[4] 2026 年全国一卷数学卷高考真题带答案带解析（阳光高考真题库 PDF，T19 题干、答案与分步解析交叉核对）. https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20260608/1780882894_8535.pdf

[5] Math173 高中数学好题赏析. 每日一题[3453] 可分数列（2024 新课标 I 卷 T19 详解：， 的 -构造与概率下界）. http://lanqi.org/everyday/36027/

[6] 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）数学真题原卷与答案（本地原卷 i2024_jh.pdf 已渲染第 14、15 页看图核对 T19 题面与解析）. https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20240611/1718078152_5550.pdf

[7] 锦宏教育. 2024 年全国统一高考数学试卷（新课标 I 卷）参考答案. https://www.jhgk.cn/upload/file/20240608/1717815889867001931.pdf

[8] 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷）数学真题及解析（本地原卷 ii2024.pdf 已渲染第 18、19 页看图核对 T19 双曲线构造点列题面、、公比 、）. https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20240609/1717916773_9867.pdf

[9] 2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 I 卷）数学真题原卷与答案（本地 i2025.pdf 通读全卷，未检索到典型新定义题，T14 为有放回取球期望常规题）. https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20250611/1749607160_3062.pdf

[10] 2025 年全国统一高考数学试卷（全国二卷）真题原卷（本地 ii2025.pdf 已渲染第 15、16 页看图核对 T19 规则概率题面： 定义、、、）. https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20250613/1749810784_2075.pdf

[11] 锦宏教育. 2025 年全国统一高考数学试卷（新高考 II 卷）参考答案（T19 交叉核对来源）. https://www.jhgk.cn/upload/file/20250611/1749606902734089600.pdf

[12] 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷·数学）真题及解析（通读全卷核对：T19 为椭圆对称中心探究题，未计入新定义题统计）. http://59.110.7.117/upload/file/20260608/1780889599078003768.pdf

[13] 人民教育出版社. 人教 A 版普通高中教科书·数学 必修第一册（2019 版）第一章 集合与常用逻辑用语、第三章 函数的概念与性质（集合表示、包含关系"任取"证法、奇偶性与函数单调性定义）. https://www.pep.com.cn/xw/zt/xkzt/gsazy/gsabx1/

[14] 电子课本网. 人教版高一必修第一册数学（A 版）电子课本（集合的基本关系、函数的基本性质小节）. http://www.dzkbw.com/books/rjb/shuxue/gzabx1/004.htm

[15] 人民教育出版社. 人教 A 版普通高中教科书·数学 选择性必修第二册（2019 版）第四章 数列（等差数列、等比数列、数学归纳法相关内容）. http://www.dzkbw.com/books/rjb/shuxue/gzaxzxbx2/001.htm

[16] 中国教育在线. 2026 年全国新一卷数学试题 + 参考答案（I 卷 T19 抽象函数新定义题独立交叉来源）. http://www.eol.cn/m/gaokao/202606/t20260608_2742417.shtml