初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之试根法、主元法与待定系数法

常规提公因式、公式法、十字相乘大多适用于二次多项式或者结构简单的三次多项式。当遇到**三次及更高次单变量多项式**，或者**含有两个及以上字母的多元多项式**时，基础方法会失效。

试根法借助因式定理，快速找到多项式的一次有理因式，把高次多项式降次；主元法处理多元多项式，把多字母问题转化为单字母多项式，回归熟悉的二次分解模型；待定系数法依托多项式恒等的性质，先预判因式结构，再通过对比系数求出未知参数。

三种方法经常组合使用：先用试根法降次，再用待定系数法确定因式；多元式子优先用主元法整理，再十字相乘。

因式定理是试根法的理论基础。若x=a代入多项式，计算结果等于 0，则多项式一定含有因式(x-a)。

理解：多项式的值在x=a处为 0，说明x=a是方程的根，对应因式(x-a)。

有理根判定：整系数多项式的有理根，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数，即：有理根候选：常数项的因数 ÷ 最高次项系数的因数

1. 列出常数项、首项系数所有因数，枚举候选有理根，不要漏掉负因数；

2. 逐个代入多项式试根，找到使多项式等于 0 的根；

3. 根据根写出对应的一次因式；

4. 使用长除法 / 综合除法，用原多项式除以该一次因式，得到低次商式；

5. 继续分解商式，直到不能再分解。

是什么：在含有多个字母的多项式里，选定其中一个字母作为主元，其余字母全部看成常数，把原式整理成关于主元的降幂排列多项式，再用十字相乘、公式法分解。

理解：多元式子字母混杂难以观察，锁定一个主元，把多变量问题转化为单变量多项式，降低观察难度。

选主元原则：优先选择次数更低、对应项系数更简单的字母作为主元，简化后续计算。

1. 选定主元；

2. 重新整理多项式，按主元降幂排列，合并同类项；

3. 把其余字母组成的代数式当作常数项；

4. 对整理后的多项式做因式分解；

5. 展开检验，保证与原式一致。

是什么：如果能够预判多项式分解之后的因式形式，我们可以先设因式里带有未知参数，利用多项式恒等，则左右两边同次项系数一定相等这个性质，列出方程组求解参数。

理解：两个多项式恒等，不管字母取何值两边都相等，所以对应次数项的系数必须完全匹配。

1. 根据多项式次数，预判分解后的因式结构，设出带未知系数的因式；

2. 将右侧因式全部展开，合并同类项；

3. 对比等式左右两边同次项的系数，列出方程组；

4. 解方程组，求出所有待定系数；

5. 带回因式，展开验算，确认和原式相等。

• 试根时只试正数，遗漏负根，只能找到部分因式，造成分解不完整；

• 主元法重新整理多项式时，移项、合并同类项出现符号、系数抄写错误；

• 待定系数法预判的因式形式错误（次数不匹配），导致方程组无解；

• 求出待定系数之后，缺少验证步骤，出现假根、错解；

• 高次多项式分解得到商式之后，直接停止运算，商式还能继续分解，没有分解到底。

1、因式分解：x³-4x²+6x-4

【解析】

根据有理根规则，候选根为±1、±2、±4。试根得x=2是根，对应因式(x-2)，使用分组提取公因式（或综合除法）完成后续分解。

【答案】

解：当x=2时，原式=0

∴(x-2)是原式的一个因式

∴原式=(x-2)·(x²-2x+2)

2、因式分解：x²+xy-2y²+2x+7y-3

【解析】

选x作为主元，将多项式整理为关于x的二次三项式，把含y的代数式当作常数，再使用十字相乘法分解。

【答案】

解：以x为主元整理： 原式= x² + (y+2)x + (-2y² + 7y - 3)

先对常数项（关于y二次式）十字分解： -2y²+7y-3 = (-2y+1)(y-3)

验证交叉乘积之和，调整符号匹配一次项系数： 原式= (x + 2y - 1)(x - y + 3)

3、因式分解：x⁴+x³+x²+2

【解析】

原式是四次多项式，预判分解为两个二次三项式相乘，设出未知参数，展开对比系数，求解参数，最后验证。

【答案】

解：原式=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

=x⁴+(a+c)x³+(b+d+ac)x²+(ad+bc)x+bd

即

• a+c=1

• b+d+ac=1

• ad+bc=0

• bd=2

可推得

• a=-1

• b=1

• c=2

• d=2

∴原式=(x²-x+1)(x²+2x+2)