初中数学代数题

三元组合求最小值问题

已知正实数a b c，满足2a+b+3c=4 则（a+b+2c）/（b+c）+1/（a+c）的最小值

用配凑法，常数项代换

解：原式=（a+b+2c）/（c+b）+4/4（a+c）

=（a+b+2c）/（b+c）+（2a+b+3c）/4（a+c）

=[（a+c）+（b+c）]/（b+c）+[（2a+2c）+（b+c）]/4（a+c）

=（a+c）/（b+c）+1+1/2+（b+c）/4（a+c）

=3/2+（a+c）/（b+c）+（b+c）/4（a+c）≥3/2+2√[（a+c）/（b+c）×（b+c）/4（a+c）]

=3/2+2*1/2=5/2

最小值 5/2