高中数学必修一_第14讲_函数的应用

函数的应用，就是把实际问题转化为数量关系，再用函数性质解决问题。 学会建模，就能分析费用、产量和利润，找到合理方案。📘

一、先识别：该选哪种模型？

• 一次函数：自变量每增加一个单位，函数值的变化量固定，适合单价固定、速度恒定等问题。
• 二次函数：常用于面积、利润的最值问题。开口向下时，顶点对应最大值；开口向上时，顶点对应最小值，前提是顶点在实际取值范围内。
• 幂函数模型：数量关系呈幂次变化，要结合定义域和实际意义使用。例如平方根函数在非负数范围内递增。
• 指数函数模型：适合按固定比例增长或衰减的现象，底数必须为正且不等于一。
• 分段函数：不同范围采用不同规则，常见于阶梯收费。

二、建模的五步走 🧩

审题、建模、求解、还原、检验。

先明确哪个量可以变化，把它作为自变量；再确定随它变化的因变量，写出数量关系和定义域，也就是自变量允许的取值范围。

常用关系要记牢：

营业额等于售价乘销售量；利润等于营业额减成本；总费用等于固定费用加单位费用乘数量。

求解后，必须说明结果的单位和实际含义。

三、一个例子，抓住最值思路

矩形周长为20，一边长确定后，另一边长就是10减去这一边长，两条边都必须为正。

把面积表示为边长的函数，再用配方法求最值，可得：

两边都为5时，面积最大，为25。

关键不只是找到顶点，还要检查它是否满足实际条件。

四、这些细节最容易丢分 ⚠️

• 定义域不能漏：边长为正，人数、件数通常取整数。
• 分段点不能错：“不超过”包含临界值，“超过”不包含。
• 阶梯费用别重复算：提高单价的往往只是超出部分。
• 端点未必能取到：用单调性求最值时，要检查端点是否属于定义域。
• 总量与增量要区分：总产量图象仍上升但越来越平缓，表示总产量增加、增长速度减慢；水平则表示停止生产。

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