高中·数学 | 导数与恒成立问题：高考常见题

恒成立问题最坑人的地方，就是看着像要硬算。其实它考的就一件事：先翻译。

题目说“对任意 x 都属于 [0,3]，f(x) ≥ m”。说白了，m 只要不超过 f(x) 在这个区间里的最小值就行。这就把恒成立变成了求最值。

拿 f(x)=x³-3x²+2 练手。求导找零点，算出在 [0,3] 上，x=2 时取到最小值 -2。所以 m ≤ -2。

不过，要是把条件换成“存在 x 属于 [0,3]，使 f(x) ≥ m”呢？这时候就不看最小了，得找最大值。最大是 2，所以 m ≤ 2。

记一句口诀：全称看最值，存在看反向。

做题最容易栽在三个地方。一是只求极值忘了比端点；二是把“任意”和“存在”搞反；三是边界值要不要取等号没看清。

家长辅导也别急着讲法。先逼孩子问自己一句：这是任意还是存在？要找最大还是最小？这一步想顺了，后面求导计算才不会乱。