1. 初中用变化关系定义：x 的变化导致 y 的变化。

2. 高中改用集合的语言：设 A、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 为从 A 到 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。

3. 关键在「数集」两个字：A、B 都必须是数的集合，不能是别的集合。

💡 老师原话：「初中的定义是用变化关系来定义的，x 的变化导致 y 的变化；高中是用两个集合的一种对应关系来定义函数的。」

1. 不是所有对应关系都是函数，第一个要求叫单值对应。

2. 一对一、多对一都是函数；一对多不是函数。也就是说，多个 x 可以对应同一个 y，但一个 x 不能对应两个 y。

3. 图象上的判定办法（竖线检验）：任意作一条竖线，如果它与图象有两个或两个以上的交点，这张图象就不是函数图象。

4. 另外还有两条要求：A、B 都必须是非空数集；A 中的元素必须全部被对应过去，一个都不能剩下（任意性）。

💡 老师拿圆举例：画一条竖线 x，它与圆有两个交点，因为同一个横坐标对应了两个 y，所以圆不是函数图象。「函数图象可以这样，但不能弯回来。」

1. 定义域：A 集合中所有元素组成的集合，也就是自变量 x 的取值全体。

2. 值域：B 集合中所有被对应到的元素组成的集合。

3. 值域是 B 的子集，但不一定等于 B——B 里可能有元素没被对应到。

1. 三要素：定义域、值域、对应关系（通常写成解析式）。

2. 定义域就是自变量 x 的取值范围，也就是集合 A。

1. 若 f(x) 是整式，定义域是一切实数。如 y=ax²+bx+c。

2. 若 f(x) 是分式，要求分母不等于 0。如 y=1x+1 的定义域是 x≠−1。

3. 若 f(x) 是偶次根式，要求被开方式大于或等于 0。如 y=√x+1 的定义域是 x≥−1。

4. 若 f(x) 由几部分式子组成，定义域是各限制条件都成立的公共部分，即取交集。

5. 若 f(x) 由实际问题列出，还要保证符合实际意义。

6. 零次幂的底数不等于 0，因为 0⁰ 没有意义。看到 (x+1)⁰ 就要写 x+1≠0。

💡 老师强调第 4 条：写定义域时用一个大括号，大括号本身就表示「且」，也就是所有条件同时成立。

1. 区间是集合的另一种写法，本质上仍然是集合。

2. x≠−1 写成 (−∞,−1)∪(−1,+∞)。

3. x∈ R 写成 (−∞,+∞)。

4. x≥−1 写成 [−1,+∞)。

💡 题目一旦要求「用区间表示」，就必须用区间。哪怕范围本身是对的，写成集合形式仍然算错——这一点老师反复讲了两遍。

💡 课堂要点：先把式子里的所有限制条件一条不落地列出来（这题是根号 + 分母两条），写进同一组大括号，再逐条解、最后取交集。思路固定下来，式子再长也不慌。

1. 没有给出具体解析式的函数，都叫抽象函数。如 y=f(x)、y=f(x+1)。

2. 判断两个函数是不是同一个函数：定义域相同，并且对应关系相同（值域随之确定）。

3. y=f(x) 与 y=f(x+1) 不是同一个函数。外壳 f 是同一个运算，但运算对象不同：一个是 x，一个是 x+1。

4. 把 f 具体化看得更清楚：设 f(x)=2x+1，则 f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3。

💡 老师原话：「它的壳是同一个壳，但是里边的运算对象不一样。」

1. 原则一：定义域永远是自变量 x 的范围，不是括号里的范围。

2. 原则二：同一个 f，括号（运算对象）整体的范围不变，可以整体迁移过去。

3. 还要分清两件事：不同解析式里的 x 不是同一个自变量，互不相干；但同一个字母出现在参数位置上时必须一致。

💡 老师用榨汁机打比方：放苹果进去切一半，放梨进去也切一半，机器「口径」不变——只是能塞进去的东西不能超过口径。

💡 课堂要点：目标是求 f(2x−3) 中 x 的范围。f(x) 里的 x 和 f(2x−3) 里的 x 不是同一个自变量，能把两者联系起来的只有「括号整体」。

💡 课堂要点：这一问最容易「搞反」。方向和题 2 正好相反：先由 x 的范围算出括号的范围，再把括号的范围还给 f(x) 里的 x。课堂上第一位同学直接答 [5/2,3]，就是把两端当成 x 的范围用了。

💡 课堂要点：这题括号里一个减 1、一个加 1，方向不同，但只要抓住「括号整体范围不变」这一条，就不会把加减方向搞混。

1. 先把函数图象画出来，值域就是图象在纵坐标上的投影范围。

2. 若 x 有范围，只取对应那一段图象，看最低点和最高点。

3. 值域同样要用区间表示。

💡 课堂要点：画图的顺序是先找对称轴、再画抛物线，然后只在 [1,3] 上截那一段，最后看这一段的最低点和最高点。顶点纵坐标算法是 y=3×49−4×23+2=23，但因为 2/3 不在区间内，这个顶点取不到。

整理者补解：课堂上老师算出顶点纵坐标为 2/3 后说「我不说了，把它图像画出来」，未在课堂内算完最大值与最小值。上面第 3 至第 5 步为整理者依据板书补全，结论 [1,17] 已用「最小值在左端点、最大值在右端点」与单调性互相校验。