八上习题14.1:不是对应角,为什么也相等?找准公共角

教材原题｜习题14.1 拓广探索第5题

5. 如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边。∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？

同学们，学习全等三角形后，我们知道对应边相等、对应角相等。但这道题要比较的两个角，并不是一对可以直接照搬的对应角。真正的关键是：先找到一对相等的大角，再从它们中减去同一个公共角。只要读准图形，证明可以很简洁。

先猜一猜

∠ACD和∠BCE都在顶点C处，它们是不是因为“顶点相同”就相等？两个全等三角形交叠在一起，能不能把附近的角都看成对应角？先别急着写相等，我们从对应关系开始检查。

01 · 对应顺序比图形朝向更可靠

第一步：全等式中的字母顺序告诉了什么？

△ABC≌△DEC的书写顺序给出对应顶点：A对应D，B对应E，C对应C。因此AB对应DE，AC对应DC，BC对应EC。

题目又特别说明CA和CD、CB和CE是对应边，正好帮助我们确认C处的对应关系。由这两组对应边夹出的角可知，∠ACB与∠DCE是一对对应角。

由全等三角形的对应角相等，得到∠ACB＝∠DCE。这里先写出的是两个大角，不是最后要证明的两个小角。

02 · 先确认射线位置，才能拆角

第二步：目标角到底由哪两条射线组成？

∠ACD的顶点是C，两边是CA和CD；∠BCE的顶点也是C，两边是CB和CE。读角名时，中间字母确定顶点，两端字母帮助寻找射线。

按补全后的题图，围绕C观察，相关射线依次为CD、CA、CE、CB。这样就能看见：∠DCE包含∠DCA和∠ACE；∠ACB包含∠ACE和∠ECB。

∠DCA就是∠ACD，∠ECB就是∠BCE，交换角名两端字母不会改变这个角。把这些名称认清，后面的减法就有了准确对象。

03 · 等角减去同一个角，余角相等

第三步：找出两个大角重叠的公共部分

两个大角都包含∠ACE，这就是本题的公共角。用文字描述：左边的大角等于左侧目标角加公共角；右边的大角等于公共角加右侧目标角。

写成等式就是： ∠DCE＝∠ACD＋∠ACE； ∠ACB＝∠ACE＋∠BCE。

既然两个大角相等，从它们中分别减去同一个∠ACE，剩下的两部分自然相等。所以∠ACD＝∠BCE。

也可以把这个过程想成两条一样长的纸带，各剪去同样长的一段，剩余长度仍然相等。这里只是把长度换成了角的大小，使用的都是等量关系。

规范书写｜分析与证明

分析：要说明∠ACD与∠BCE相等，可以先找到包含它们的一对等角。由△ABC≌△DEC可得∠ACB＝∠DCE，再分别减去公共角∠ACE，即可得到结论。

证明：∵ △ABC≌△DEC， ∴ ∠ACB＝∠DCE（全等三角形的对应角相等）。 ∴ ∠DCE−∠ACE＝∠ACB−∠ACE。 又∵ ∠ACD＝∠DCE−∠ACE， 　　∠BCE＝∠ACB−∠ACE， ∴ ∠ACD＝∠BCE。

本题已经给出两三角形全等，可以直接使用对应角相等的性质。参照教材例题的推理格式书写即可，不必再列三角形全等的判定条件。

为什么不能说“它们是全等三角形的对应角”？

∠ACD的两条边分别来自不同三角形，∠BCE也是如此，它们都不是这两个三角形中可以直接配对的内角。正确的对应角是∠ACB与∠DCE。

因此，“两个三角形全等，所以所求两角相等”少了重要的一步。必须说明如何从对应大角中减去公共角，才能把已知与结论连接起来。

图形换个方向，怎样保持对应关系不乱？

不要只根据一个角画在左边还是右边来找对应角。全等三角形可以经过平移、旋转或翻折后重合，位置改变并不改变对应关系。优先查看全等式字母顺序，再用题目给出的对应边核对。

不过，拆角时必须看具体位置。这里能把两个大角都写成“目标角加公共角”，依据是题图的射线排列。若换了图形位置，要重新检查应该作加法还是减法，不能不看图就套同一句话。

为什么题目没有度数，也能完成证明？

我们只需证明两个角相等，不一定需要知道它们各是多少度。全等关系提供两个大角相等，公共角又是同一个，已经足够确定剩余部分相等。

例如，假设两个对应大角都是50°，公共角是30°，那么两个目标角都是20°。这只是说明思路的例子，不是题目给出的数据，也不能反过来把原图中的目标角直接写成20°。

怎样检查自己有没有减错角？

先用手指沿着大角的两条边描一遍，再确认被减的小角完全在它内部。减去以后，剩下的两条边是不是目标角的边？如果还夹着另一块角，或者减去的角在大角外面，拆分就不成立。

本题两个大角的共同部分都由CA与CE围成，所以两边减去的确实是同一个角，而不是两个看起来相近的角。这个核对比量角器测量更能保证推理正确。

名师方法｜找对应，认公共，作和差

先根据全等关系写出直接得到的等角，再观察目标角与这些等角之间隔着哪一部分。若隔着同一个公共角，就尝试同加或同减。不要看到全等就急着下结论，让每条等量关系都在图中找到位置。

当堂检测

1. 与∠ACB对应的是哪个角？ 2. 两个大角共同减去的是哪个角？ 3. 若对应大角为60°、公共角为25°，两个目标角各是多少？

想好再看：∠DCE；∠ACE；各35°。第三问是另设数据的练习，不是原题角度。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十四章《全等三角形》第31页，习题14.1“拓广探索”第5题。

对应角是起点，公共角是连接已知与结论的关键。