高中数学知识体系 选择性必修第二册第二章 直线和圆的方程

一、直线的倾斜角与斜率。这一页要先解决一个老问题：一条直线除了「过哪些点」，还能用什么刻画？希腊人的办法是量角——托勒密留下的三角函数表是弦表，弦长对应圆心角。真正的问题被提出，是在坐标立起来之后：把「倾斜的程度」变成一个数。

这件事卡住了两百年。Katz 的《数学史引论》里记着一个值得注意的事实：点斜式 y − y′ ＝ a(x − x′) 在 17、18 世纪基本没人用过，连欧拉那些有影响力的微积分教材里都没提过，直到 1784 年蒙日在一篇论文里第一次明确写出这个式子，并且写清了「a 是这条直线与 x 轴所成角的正切」。同一个作者也在同一批工作里给出了平行与垂直的代数判据。

而「slope」这个词作为数学专门术语，要到 1880 年代才定型（OED 把它标在 1880s）。一个描述「斜」的普通英语词，早在十六世纪就有「倾斜」的意思了——概念走了两百年，名字才跟上来。

二、直线方程的五种形式。有了斜率，一条直线就可以被写成式子。但「写成式子」有不止一种合法的写法，这一页把它们排成了五种。它们的来历长短悬殊：斜截式在 17 世纪末已经通行，点斜式 1784 年才有，截距式和两点式是十八世纪的东西，一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 则是后人整理的结果。

一般式值得单独说一句。它的价值不在于「多一种写法」，而在于对称：y ＝ kx ＋ b 要把 y 解出来，而 x ＝ my ＋ b 要把 x 解出来，一般式不必挑哪一个。所以「垂直于 x 轴的直线」在一般式里不必单独讨论——它是 B ＝ 0 的情形，而不是例外。一个方程的选择标准，有时候是「它让哪些情形不再需要例外」。

三、两直线的位置关系。平行、垂直、相交、异面——这些在几何里是「看」出来的。这一页把它们全部换成可计算的判据，其中最关键的一条是蒙日的判据：两条直线 y ＝ ax ＋ α 与 y ＝ a′x ＋ α′ 垂直，当且仅当 aa′ ＋ 1 ＝ 0。乘积等于 −1，这个条件简单到有点可疑，但它确实是整条线索的锁眼。

至于「两条直线的交点」，在解析几何里就是二元一次方程组的解。而这一页末尾那几条距离公式与直线系方程，是同一个思路的延伸：任何几何条件，只要能写成关于坐标的式子，就都能算。

这一页下半段讲的是两种距离公式与直线系方程，也是同一个思路的延伸：任何几何条件，只要能写成关于坐标的式子，就都能算。

四、圆的方程。圆的方程看起来是个新东西，其实是勾股定理换了个写法：圆上任意一点到圆心的距离都是 r，所以 (x − a)² ＋ (y − b)² ＝ r²。欧几里得《原本》第一卷命题 47 给的正是这个三角形关系。

真正值得看的是这一页末尾那句：一般方程 x² ＋ y² ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 什么时候表示一个圆？配方之后右端必须是正数，于是有了 D² ＋ E² − 4F > 0 这个条件。换句话说，「这个方程是不是一个圆」变成了一个不等式——这是解析几何最典型的动作：把「是什么」变成「等于多少」或「大于多少」。

这一页接着处理「动」的圆：点与圆的三种位置关系，以及圆的参数方程。参数方程 x ＝ a ＋ r cos t, y ＝ b ＋ r sin t 的意思是：让一个角 t 从 0 走到 2π，圆就被「走」出来了。希腊人有一整套「轨迹」的著作，但没有「参数」这个概念——让一个变量自己变起来，把曲线当成运动来看待，这是十八世纪为处理动曲线才发展出来的。

五、直线与圆的位置关系。这一页把前面两条线接在一起：代入得判别式，或者比圆心距。核心是那三个结论：|d| > r 相离，|d| ＝ r 相切，|d| < r 相交。

这一页还带出一段长历史。作一个圆与给定的三个圆都相切，是古代最难的一类作图题之一——阿波罗尼斯问题。《圆锥曲线论》八卷里为此用掉整整一卷。它的现代解法是写方程组解出圆心坐标，与手稿里的「待定系数法」问的是同一个问题，只是工具换了。

六、圆与圆的位置关系。比较圆心距 d 与半径和差：d > R ＋ r 外离，d ＝ R ＋ r 外切，|R − r| < d < R ＋ r 相交，d ＝ |R − r| 内切，d < |R − r| 内含。这一串不等式在《几何原本》里全都有对应的图式——变的是记号，不变的是那五种图。

而这一页末尾的「公共弦的求法」，是把两个圆的方程相减，消掉二次项，剩下的一条直线就是公共弦所在的那条线——这一招后来被概括成一句话：mE ＋ m′E′ ＝ 0 是通过两条轨迹交点的曲线。

七、轨迹方程的求法。「轨迹」这个词是希腊语 τόπος（topos，位置）的拉丁译名。希腊人有一整批专门著作叫「轨迹」——欧几里得《论曲面轨迹》、阿波罗尼斯《平面轨迹》——但他们的轨迹问题指的是「在一条直线上找点，使某个比例关系成立」，是纯几何的作图题，不是方程。费马 1636 年就写了《平面与立体轨迹导论》，比笛卡尔还早一年，但身后 1679 年才出版，所以历来把解析几何归给笛卡尔。

这一页列的四种方法——定义法、相关点法、直接法、参数方程法——不是先后关系而是分工。定义法能用的场合最省事，因为定义本身就是轨迹的性质。

八、具备几何意义的量。斜率、截距、两点间距离、点到直线距离。四个量里有两个是最古老的东西：两点间距离就是勾股定理用两次，《原本》里就有；点到直线距离的写法则是十八世纪的产物。而斜率作为专门术语要到 1880 年代才定型——这一页把「哪些量有几何意义」单独立出来，实际是在问：这个代数式子，是否对应一段可以用尺子量出来的长度或角度？

九、与圆有关的常用二级结论。这一页收尾，几条二级结论看着像新东西，其实每一条都是老定理的坐标版：

圆上一点的切线——欧几里得《原本》第三卷命题 16：圆上一点的切线垂直于过该点的半径。两千三百年前就证完了。

直径圆方程——以 AB 为直径，圆上一点 P 满足 PA·PB ＝ 0，也就是 ∠APB ＝ 90°。这正是泰勒斯定理，《原本》第一卷命题 94。

阿氏圆——到两定点距离之比为定值的点的轨迹。公元前 3 世纪阿波罗尼斯的轨迹定理，以线段 AB 内分点与外分点的连线为直径。

圆系方程——用 λ 把两个圆方程组合起来，一句话就能同时表示一族圆。