从另一个角度讲初中数学(七十)、三角形——三条边、三个角,把这块“硬骨头”啃下来

咱们上一课把相交线与平行线讲透了。

两条直线的关系，全在“三线八角”里：同位角、内错角、同旁内角。判定是角推平行，性质是平行推角。

那今天这一课，咱们进入初中几何的核心——三角形。

三角形是初中几何最重要的图形，没有之一。后面的全等、相似、勾股定理、三角函数……全都要围绕三角形展开。

今天这一课，咱们先认识三角形的基本构成、分类和性质。

一、什么是三角形？——三条线段围成的图形

三角形，就是三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。

三个顶点：A、B、C。

三条边：AB、BC、CA。

三个内角：∠A、∠B、∠C。

三角形的表示：△ABC。

注意：三条线段必须首尾相接，而且要围成封闭图形。 随便画三条线段，如果它们不能围成封闭图形，那就不是三角形。

二、三角形的分类——按角分、按边分

三角形有两种分类方式。

按角分类：

按边分类：

等腰三角形的特殊叫法：

相等的两条边叫腰，第三条边叫底边。两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。

等边三角形是等腰三角形的特殊情况——三条边都相等，三个角都是60°。

三、三角形的内角和——180°

三角形的三个内角加起来等于180°。

这个结论小学就学过。但小学是“记住”，初中是“证明”。

怎么证明？

过三角形的一个顶点，作对边的平行线。

过点C作一条直线平行于AB。

利用“两直线平行，内错角相等”：

• ∠B 和 ∠1 是内错角 → ∠1 = ∠B

• ∠A 和 ∠3 是内错角 → ∠3 = ∠A

• 而 ∠1 + ∠C + ∠3 = 180°（平角）

所以 ∠A + ∠B + ∠C = 180°。

证明完毕。

你看，这个证明用到了上一课学的平行线性质——内错角相等。

这就是几何证明的魅力：用已知推未知，每一步都有依据。

四、三角形的外角——内角的“邻居”

三角形的一个内角的邻补角，叫三角形的外角。

比如：

∠ACD 就是 ∠ACB 的外角。

外角的性质：

三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和。

也就是说：∠ACD = ∠A + ∠B。

推导：

因为 ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角）

又因为 ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（内角和）所以 ∠ACD = ∠A + ∠B。

推论：三角形的一个外角，大于任何一个和它不相邻的内角。

五、三角形的三边关系——两边之和大于第三边

三角形三条边之间有什么关系？

三角形的任意两边之和，大于第三边。

也就是说：

• a + b > c

• a + c > b

• b + c > a

为什么？

两点之间线段最短。

从B点到C点，直接走线段BC最短。如果绕道A点（B→A→C），那 BA + AC 肯定比 BC 长。

所以：AB + AC > BC。

同理：AB + BC > AC，AC + BC > AB。

这个性质有什么用？

用来判断三条线段能不能组成三角形。

例： 三条线段长度分别是 3、4、8，能组成三角形吗？

3 + 4 = 7，7 < 8。

两边之和小于第三边，所以不能组成三角形。

六、三角形的高、中线、角平分线

三角形里有三条特殊的线段，统称“三角形中的主要线段”。

高： 从三角形的一个顶点，向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

AH 就是 BC 边上的高。

注意： 钝角三角形的高可能在三角形外部。

中线： 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。

M 是 BC 的中点，AM 就是 BC 边上的中线。

中线的性质： 三角形的三条中线交于一点，这个点叫重心。

角平分线： 三角形的一个内角的平分线，与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

AD 就是 ∠A 的角平分线。

角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫内心（内切圆的圆心）。

七、三角形的稳定性——三条边定了，形状就定了

三角形有一个独特的性质：稳定性。

什么叫稳定性？

只要三条边的长度确定了，三角形的形状就完全确定了。 你掰不动它，也拉不歪它。

对比一下四边形：四条边长度确定了，但形状还能变——可以拉成长方形，也可以拉成平行四边形。这叫“不稳定性”。

三角形的稳定性在生活中有大量应用：

• 自行车架是三角形的

• 房屋的屋顶是三角形的

• 电线杆的支架是三角形的

• 桥梁的钢架是三角形的

因为三角形一旦三条边确定，就不会变形。

讲到这里，咱们把三角形的基本概念彻底讲清楚了：

• 三角形：三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。

• 分类：按角分（锐角、直角、钝角），按边分（不等边、等腰、等边）。

• 内角和：三角形三个内角加起来等于180°。

• 外角：等于不相邻的两个内角之和。

• 三边关系：任意两边之和大于第三边。

• 主要线段：高、中线、角平分线。

• 稳定性：三条边确定了，形状就确定了。

好，三角形的基本概念搞清楚了。下一个问题：两个三角形放在一起，什么情况下它们“完全一样”？

比如：你画了一个三角形，我也画了一个三角形。什么时候可以说“咱俩画的三角形一模一样”？

这就是全等三角形——初中几何最重要的内容之一。下一课，咱们就讲全等三角形的判定。

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