怎样提升初中数学解题能力?以几何为例,一文说清

不少家长问我：孩子面对几何综合题，图看得懂，也知道考察的是哪块知识，可为什么就是思路不清、证不出来，到底该怎样才能提高数学解题能力？对此，我今天来聊聊提升初中数学解题能力的对策，顺便梳理一下初中几何的学习方法。文章篇幅较长，第一部分说解题能力不足的原因，第二部分提出学习对策，码了快四千字，希望同学们看完后能有所收获。

一、低效根源

中考数学需要通过几何大题来区分成绩，因此，这类题目往往对于学生的推理能力，尤其是分析与综合的数学思维要求较高。同学们初步接触比较严谨的数学证明体系，对于这些题目，难免会感到困难。那么，我们应该怎样学习几何知识与开展习题训练，才能更好地应对几何大题呢？

当前的主流做法是：先掌握基础知识，再学习常见模型（或者说题型），同时保证足够的刷题量，以此训练同学们的解题能力，并反过来巩固基础知识。这种路径本身没有问题，但很多同学照着做，却没有达到预期效果，问题出在哪儿？是训练量不够吗？其实，同学们已经相当努力了——除了学校布置的作业和试卷，各位还会努力学习各类教辅，包括知识、模型、题型、母题大全等，以及各种习题集和试卷册。

既然不是数量问题，那就是质量问题，即学习效率低下问题。波利亚在《怎样解题》里表达过这样一个判断：对解题者来说，知识仓库贵在组织良好，良好的组织让知识随取随用，这甚至比知识广泛更重要。所以问题往往不在时间投入的总量，而在知识在头脑里的组织方式和训练的质量。就几何学习领域而言，我想起了教育家傅种孙（教过钱学森的数学）的一句话：“几何之务，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然”，这句话的意思大致是，学几何不能只知道结论，还要知道是怎么推理的，更进一步，还要明白是怎么想到这个思路的。从这个观点出发，即可发现导致孩子几何学习效率低下的众多根源，其中，我重点聊聊以下三方面问题。

其一，“基础不牢，地动山摇”。在基础知识不扎实的情况下一味追逐习题训练，无异于在沙滩上盖楼。有的学校老师虽然反复强调基础，但受大班教学限制，只能按统一标准和进度把教材过一遍；多数同学又没有“夯实基础”的意识，老师顾不过来时，自己也不知道该怎么打基础。结果，同学们说不清基础知识中的定义、推理、结论与整体体系等，知其所以然成为空谈。

如果按我以前的说法，很多同学的学习只停在“听懂”层面，远远没有达到基础扎实的地步——数学知识的掌握有“知、懂、会、熟、活”几个水平，“知”“懂”只是输入，多数同学只做到了这一层。由此，孩子按照这种学法，效率往往比基础扎实的同学低得多——因为那些题型结论的推导，本质上只是基础知识的综合应用。最终，孩子花费大量时间才在脑海里形成知识与题型的基本体系，可谓是学得又累又迷糊。

其二，“思维的懒惰”，没意识甚至不想去做到“何由以知其所以然”。如今教育内卷严重，很多同学急功近利、耐心不足，只盯着教材与题型结论、模型识别技巧等流于表面的内容，却不愿把知识的发展过程严谨地完整梳理一遍（尤其是各种结论的推理），更别说按照学好几何的要求，去探索这些研究思路或解题思路是怎么想出来的（这些都是硬骨头，必须吃苦啃下来，才能学好数学）。

就拿大家比较关注的“作辅助线”来说，明明背下了各种作法，为什么还是做不出综合大题？那我问一句，各位同学在平时是否真正明白每种模型中辅助线作法的缘由？或者放大到整个初中几何，我们在平时做的工作，是否足够扎实——例如，我们是否做到了，将正向的由条件到结论的演绎推理，以及逆向的由结论到条件的合情推理，熟练地同时使用（正如波利亚强调的：数学推理有两条腿，演绎推理靠“证”，合情推理靠“猜”，解题是二者交替作用的过程）。很多孩子成绩上不去，恰恰就败在逆推训练上——正推容易滋生思维惰性，逆推对思考活跃度的要求高得多。

其三，缺乏综合运用。什么是综合解题能力训练，是综合使用各种知识，解决一个函数图象与几何图形相结合的压轴题吗？其实不止，我们还需要深刻的习题复盘，这个复盘需要回到基础总结与静心感悟中。综合解题能力对于解决陌生的问题具有重要意义，在中高考日益强调创新和反套路的背景下，这种能力会越来越重要——多数题目都可以从教材或者教辅中找到类似的题型思路（解题套路），这种题目还比较好应付，只要扎扎实实地学，争取做到“何由以知其所以然”，基本都没问题；但遇到一些反套路的题目，解题的灵感就很依赖综合解题能力了。在初中几何学习中，要获取这种能力，除了需要一定的刷题量，更需要扎实的基础知识、对常见模型的良好把握、持续的基础回归与题型总结，以及我们对于复杂题目的拆解分析，等等，只有在这些过程中我们有所领悟和感悟，才能提升知识综合运用水平。

二、五步学习对策

我知道大家的时间是很宝贵的，那么，在数学学习时间有限的情况下，如何提高学习质量，进而提升综合解题能力？我的建议有很多，今天我给出一条闭环学习路径，以供各位参考，这条对策的基本链路是：熟悉基础知识→学习几何模型→吃透基础知识→知识综合运用→复盘与感悟。

第一步，以夯实基础知识为目的，熟悉教材知识（特别是常见几何结论及其证明过程），教材习题完整过一遍（简单的问题心里有思路就行，难一点的就上手做一下），初步建立完整的初中几何知识体系。要提醒的是，熟悉教材不等于把结论背一遍，而是弄清每个几何结论是怎么来的：不仅知道“是什么”，还要理解“为什么”，最好能自己完整推导一遍。检验的标准也很简单——能不能把这个“为什么”清楚地讲给别人听清楚。

第二步，利用优秀教辅，梳理初中常见几何模型，重点在于独立推导模型，以加深对基础知识的理解和运用。市面上的优秀教辅已经把模型整理得相当系统，比如三角形全等就有平移、轴对称、旋转、一线三等角、三垂直、手拉手、倍长中线等多种基本模型。不过，解题不为寻求机械模仿的“套路方法”，而是通过对解题过程的深入分析，总结出缘由与通法。因此，模型是帮助理解基础知识的工具，不是替代理解的拐杖。进而，梳理模型时，要重点做两件事：一是独立推导每个模型的结论，二是搞清楚模型推理的底层逻辑，比如辅助线“为什么要这么作”。

第三步，再次回归基础，充分挖掘教材内容，理清知识脉络与习题设计意图，真正吃透教材。所谓知识脉络，就是知识点从哪里来、到哪里去，顺着这条路径熟读教材，教材每个部分，例如“思考”“探究”栏目的设计意图就都看得见了。所谓习题设计意图，就是反过来想：教材配这道例题、习题，是想巩固哪个概念、强调哪种方法、为后面哪个知识点做铺垫，和我之前训练的几何模型又有什么关联？想通了这一层，就会发现教材是一张环环相扣的网，理解了这张网，我们就可以在大脑里构建更为完整的知识与题型网络。

第四步，综合刷题，保证足够的刷题量，通过拆解典型中考题，特别是压轴大题，感受解题思路，提升对于模型和基础知识的理解，训练分析与综合的推理能力。这里主要说说拆题，所谓拆题，就是拿到压轴大题后，做好以下事情：一看条件，逐个追问每个条件能推出什么、对应哪个知识块或模型；二看结论，从要证的结论出发倒推，要证这个，得先有哪块拼图；三看联系，把条件的“输出”和结论的“需求”对上号。这样一来，一道压轴题就拆成了几道基础题，模型和基础知识也在这个过程中真正盘活了。

第五步，经历综合训练后，复盘基础知识与综合大题，说清背后的内在联系，构建初中几何整体认知。这个部分其实就是深度总结的过程，如果按照我的要求，同学们可以从解题策略的视角出发去总结，归类每个知识块的主要解题策略，以及它们在具体题型中的表现，由此我们才能更好自下而上地贯通初中几何的知识体系，并进一步领会数学学科逻辑、感悟数学基本思想。

这条学习路径下，全过程都要注意做到“何由以知其所以然”，真正打通“基础—模型—运用—感悟”的闭环，培养综合解题能力与数学思维能力。另外，我还需要再补充说明两个东西。第一，既然要求加强思考的深度，自然也会花上更多的学习时间，对此，我们可以通过减少机械刷题的时间（重复性的题目采用看题法，有思路就行）、提高运算能力（在平时练习心算能力；试卷限时训练）等办法来挤出这些时间。第二，初中前两年半按照这个方法走，会比较辛苦一点，但到最后半年的中考冲刺，一定会非常轻松，毕竟一轮基础和二轮专题突破的精髓，这套学习方法基本已经包括了。

结语

当然，这里说的解题能力提升对策，不只适用于几何，也适用于整个初中数学（剩下的主要就是代数）。数学不同模块内容各有特点，知识侧重和解题思维都有差异，具体对策自然要相应调整，但就底层逻辑来说，数学的学习方法都是相通的，我甚至可以说，一招鲜吃遍天完全适用于数学学习领域。

最后，我想说，初中几何难，难在它要求年少的孩子用严格的逻辑去说话、去推理。但换个角度看，这也正是它最珍贵的地方——它训练的不只是解题，更是一种“有理有据”的思维习惯与理性精神，而这便是数学育人的要义之一。路虽远，行则将至，同学们好好加油，希望你们都能在几何学习中收获知识，以及信心。