八上习题16.1:幂的运算怎样逆用?统一底数怎么求指数?

教材原题｜习题16.1 拓广探索

8.（1）已知2ᵐ＝a，32ⁿ＝b，求2³ᵐ⁺¹⁰ⁿ； （2）已知x＋2y－7＝0（x，y是正整数），求2ˣ·4ʸ的值。

9. 若aᵐ＝aⁿ（a＞0，a≠1），则m＝n。 请利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×8ˣ×16ˣ＝2²²，求x的值； （2）如果（9ˣ）²＝3⁸，求x的值。

同学们，幂的运算不仅是把式子算得更短，还可以反过来使用：为了让已知条件派上用场，我们有时需要把一个幂拆开；为了求出指数中的未知数，又需要把不同底数统一起来。关键不是数字有多大，而是结构能不能对上。

先猜一猜

第8题第二问只有一个等式，却出现两个未知数，是否必须先分别求出它们？第9题出现八、十六、九这些底数，是不是要先把大数乘出来？先观察它们与二、三的关系，再决定计算方向。

01 · 先识别已知的指数块，再拆目标式

第8题（1）分析：怎样让a和b同时出现？

分析：题目已经告诉我们二的m次幂等于a，所以指数中的三m很容易对应a的三次方。另一个条件是三十二的n次幂等于b，而三十二就是二的五次方，因此二的五n次幂等于b。

目标指数中的十n，恰好是五n的两倍。于是把整个指数看成“三个m加两个五n”，就能把目标式拆成含a、b的乘积。无需单独求出m、n，更不需要引入尚未学习的求指数方法。

第8题（1）解｜结果为a³b²

解：∵ 32＝2⁵，32ⁿ＝b， ∴ 2⁵ⁿ＝b。 ∴ 2³ᵐ⁺¹⁰ⁿ ＝2³ᵐ·2¹⁰ⁿ ＝（2ᵐ）³·（2⁵ⁿ）² ＝a³b²。

第一步把指数里的和拆成两个同底数幂相乘，第二步把指数里的乘法改写成幂的乘方。这两步都是运算法则的逆向使用，等号两边的值始终不变。

第8题（2）分析：不求单个数，直接求整体

分析：四是二的平方，所以四的y次幂就是二的二y次幂。它与二的x次幂相乘后，指数恰好变成x＋2y，而这正是已知等式能够直接给出的整体。

这类题不要被“两个未知数”吓住。我们要求的是一个式子的值，不一定需要知道每个字母各是多少。先化简目标式，再与已知条件对照，往往比列举尝试更快。

第8题（2）解｜结果为128

解：∵ x＋2y－7＝0， ∴ x＋2y＝7。 ∴ 2ˣ·4ʸ ＝2ˣ·（2²）ʸ ＝2ˣ·2²ʸ ＝2ˣ⁺²ʸ ＝2⁷＝128。

正整数条件可以帮助检查：当y＝1、2、3时，x分别是5、3、1。这三组都使x＋2y＝7，所以目标式都等于128。列举是验证，不是本题必须经过的求解步骤。

也就是说，x、y本身不唯一，但目标式的值可以唯一。只要整体x＋2y确定，化简后的幂就确定；不能把“字母取值不唯一”误判成“题目没有答案”。

02 · 统一底数，再把幂相等转化为指数相等

第9题（1）分析：全部改写成以2为底

分析：八是二的三次方，十六是二的四次方，最前面的二也要写成二的一次方。同底数幂相乘时指数相加，就能把左边合并成一个幂。

第9题（1）解｜x＝3

解：∵ 2×8ˣ×16ˣ＝2²²， ∴ 2¹·（2³）ˣ·（2⁴）ˣ＝2²²， ∴ 2¹⁺³ˣ⁺⁴ˣ＝2²²， ∴ 1＋7x＝22， ∴ x＝3。

检验：代入x＝3，左边的总指数为1＋9＋12＝22，恰好与右边一致。特别留意最前面的二，它贡献的是指数一，不能合并时把它漏掉。

第9题（2）解｜x＝2

分析：九是三的平方，而整个九的x次幂还要再平方，因此这里有两层幂的乘方。

解：∵（9ˣ）²＝3⁸， ∴［（3²）ˣ］²＝3⁸， ∴ 3⁴ˣ＝3⁸， ∴ 4x＝8， ∴ x＝2。

检验：x＝2时，（9²）²＝9⁴＝3⁸，符合原式。每一层幂的乘方都让指数相乘，不是看到两个二就把它们加在一起。

三个最常见的失分点

第一，同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘。两条法则不能混用。第二，指数中的加法对应幂的乘法，不是把整个式子拆成两个幂相加。第三，合并指数时不能漏掉没有写出的指数一。

为什么比较指数要看底数条件？

第9题已经给出结论：底数大于零且不等于一时，同底数的幂相等，可以得到指数相等。本题统一后的底数分别是二和三，都满足条件，所以能够这样推理。

条件不能省成“只要底数相同，指数就相同”。例如一的二次方与一的三次方都等于一，指数却不相等。对于负数底数也不能直接套用题给结论，例如负一的二次方与四次方相等。

用一个小例子分清两条法则

把二的三次方与二的二次方相乘，相当于把三个二与两个二连着相乘，一共有五个二，所以指数相加。把二的三次方再平方，则是把“含三个二的乘积”取两份，一共有六个二，所以指数相乘。

用这种含义检查第九题第二问：九先换成三的平方，再取x次幂，最后整体平方，每一层都在增加乘积的份数。看清括号包住了谁，就不会误把幂的乘方当成两个幂相乘。

做完以后，怎样检查更省力？

不必把大数全部算出来。可以把求得的指数代回原式，继续统一底数，只比较两边最终的指数。例如第九题第一问，左边指数应由三部分组成；第二问，要检查两层乘方是否都保留下来。这样的检验既简洁，也更容易定位错误。

名师方法｜先看目标，再决定拆还是合

已知某些幂的值，就把目标式拆出相同的结构；已知指数的组合，就把目标式合并成这个整体；遇到求指数的方程，就统一底数、合并指数，再用题给结论转化为一元一次方程。每一步都先看法则是否适用。

当堂检测

1. 若2ᵐ＝a，32ⁿ＝b，2²ᵐ⁺⁵ⁿ等于什么？ 2. 若x＋2y＝6，2ˣ·4ʸ等于多少？ 3. 若2×8ˣ＝2¹³，x等于多少？

想好再看：a²b；64；4。最后一题的指数关系是1＋3x＝13，别漏掉最前面的二。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十六章《整式的乘法》第102页，习题16.1“拓广探索”第8、9题。