文档内容
第 12 讲 余数
内容概述
掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数
的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解
“物不知数’问题．
典型问题
兴趣篇
1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？
【答案】1或5
【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或5
2. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？
【答案】8或16
【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或
16
3. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？
【答案】8；0，8；0
【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；
除以8的方法：末三位除以8， 808÷8=101…0；
除以25的方法：末两位除以25， 8÷25=0…8；
除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11， 2+0+0+0=2，
0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2…0
4. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比
赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？
【答案】5
【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…
1，最多打了5盘
5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产
300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最
后一包有多少个零件？【答案】16
【解析】余数问题，求128×23×300÷17的余数
128÷17=7…9 23÷17=1…6 300÷17=17…11
9×6×11=594 594÷17=34…16
6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多
少？
【答案】（1）4；（2）4；（3）2
【解析】因为23除以7的余数是1，20=3×6+2，所以220除以7的余数就是22除以7的余数
即为4；同理，1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是2
7． 除以5的余数是多少？
【答案】2
【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是2
8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？
【答案】437
【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是437
9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？
【答案】5
【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是5
10．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，
最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学
报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？
【答案】141
【解析】根据题意，可转化为一个 100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和
13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友
拓展篇
1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．
【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是
95
2．(1) 除以4和125的余数分别是多少？
(2) 除以9和11的余数分别是多少？
【答案】（1）1，46；（2）3，5
【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；
（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11余0，最后还剩一个808，8+8=16，
16÷11 余5
3．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包
的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？
【答案】15
【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为15
4．自然数 的个位数字是多少？
【答案】7
【解析】找出2的n次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，
所以个位数字是8－1＝7
5．算式 计算结果的个位数是多少？
【答案】1
【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3
次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，
0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位
数字是1
6．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？
【答案】9
【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？
【答案】237
【解析】7+23k-9能被19整除，最小为237
8．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2
只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4只；如果每7只兔子关在
一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？
【答案】404
【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数
是404
9． 除以99的余数是多少？
【答案】90
【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是90
10．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有
分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？
【答案】20
【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是 25，可以把这三个数相加，根据余数
的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的
水果剩下20个
11．有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．
【答案】19
【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求
（38，57）＝19
12．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余
数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？
【答案】17
【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。90×2＝180，180－61＝119，再分解质因数，
119＝7×17，所以这个数是17超越篇
1．从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多
少？
【答案】4
【解析】奇数位数字之和：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+0）×9+1+3+5+7+9=430，
偶数位数字之和：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10+2+4+6+8=470，差为40，
如果差是44就能被11整除了，所以个位的9-4=5，这样差就是44，
即12345678910……9895能被11整除，
因此12345678910……9899被11除余数是4
2．算式 计算结果的末两位数字是多少？
【答案】00
【解析】末两位数字分别为：07，49，43，01，07，49，43，01……4个数为一个周期，
2008为4的倍数，7＋49＋43＋1＝100，所以末两位数字为00
3．算式 计算结果的末两位数字是多少？
【答案】25
【解析】因为没有偶数，所以末两位可能是25或75，而1×5除以4余1，3×7除以4余
1，依次这样分组，所以不是75，末两位数字只能是25
4．有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9
根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．
原来一共有牙签多少根？
【答案】5039
【解析】[5，6，7，8，9，10]=2520，所求的数为2520k-1，
因为是5000多，所以2520×2－1＝5039
5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是
多少？
【答案】160
【解析】根据题意可转化为一个数除以9余0，除以7余1，除以5余2，求出这个最大的
数为162，所以这三个数中最小的数是1606．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．
【答案】285，636
【解析】因为除以7余数最大是6，
除以11余数最大是10，
除以13余数最大是12，
这样求出最小的数是1000，不符合题意，所以再减少1，
即除以7余5，
除以11余10，
除以13余12；
或除以7余6，
除以11余9，
除以13余12；
或除以7余6，
除以11余10，
除以13余11.最后求出符合题意的有285和636
7．已知 那么四位数 是多少？
【答案】5140
【解析】21！里有4个5，所以末四位是0000，所以D＝0，再94C是8的倍数，所以C＝
4，剩下的数再从9和11的倍数考虑，最后A＝5，B＝1，所以 =5140
8．有一些自然数n，满足：2n - n是3的倍数，3n - n是5的倍数，5n - n是2的倍数，请
问：这样的，n中最小的是多少？
【答案】47
【解析】因为5n - n是2的倍数，则n是奇数，n=2k+1,又因为2n - n是3的倍数，n又是
奇数，2n 除以3的余数为2，所以n是除以3余2的数，n=3k+2，所以n=6k+5,经试验，当
k=7时，n=6×7+5=47最小
