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2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．剪纸是传统手工艺术，南宁剪纸被公布为南宁市非物质文化遗产代表性项目名录．下列剪纸图形中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形
与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图象与中心对称图形的定义
2．“生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚
烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将402000000写成 的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法表示绝对值大于1的数。
3．下列几何体中，其三种视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三视图的有关知识，找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可，注
意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
【详解】解：A、圆柱的主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，故选项不符合题意；
B、球的主视图、左视图和俯视图都是圆，故选项符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故选项不符合题意；
D、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考察三视图的定义
4．已知 ， 且 ，则 的绝对值为（ ）
A． B．5或1 C．1 D．以上都不对
【答案】B
【分析】此题考查了有理数的加法和减法、绝对值等知识，根据运算法则分两种情况计算，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 ， 时， ，满足 ，则 ， 的绝对值为1；
， 时，满足 ，满足 ，则 ，， 的绝对值为5．
综上可得 的绝对值为5或1，
故选：B【点睛】本题考查有理数的加法和减法、绝对值
5．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦
九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角形的面积为
．如图，在 中， ， ， 所对的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，直接代入确定 ，然后代入面积计算公式即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴ ．
故选：B．
【点睛】题目主要考查求代数式的值，理解题意是解题关键．
6．已知 ，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若 ，则 的度数为
（ ）
A．100° B．135° C．155° D．165°
【答案】D
【分析】作 ，利用平行线的性质结合三角板的性质求得 和 的度数，再利用平角的定义即可求
解．【详解】解：作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及平角的概念
7．如图，将 先向右平移 个单位，再绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，则点 的对应点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移作图、旋转作图，根据题意，按要求作出图形，在平面直角坐标
系中数形结合即可得到答案，
【详解】解：将 先向右平移 个单位，再绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，如图所示：，
故选：C．
【点睛】熟练掌握平移作图、旋转作图是解决问题的关键．
8．如图，在圆 上有 点，分别连接 ，其中 为圆 的直径， 为圆 的切线，
延长 与 相交于点 ， ，圆 的半径为3，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】图中阴影部分面积可以看作 的面积减去 的面积，再减去扇形 的面积，具体见详
解．
【详解】解： 为圆 的切线
圆 的半径为3
设 ，则由勾股定理得
解得 或 （舍去）
如图，连接 ，过点 作 于
则 ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆的切线性质，勾股定理．
9．如图是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：
① ；②方程 的两根分别为 ， ；③当 时， ；④ ；其
中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D【分析】本题考查的是抛物线的性质及对称性，利用 时， ，可对①进行判断；利用对称性确定抛
物线与 轴的另一个交点坐标为 ，则根据抛物线与 轴的交点问题可对②进行判断；利用抛物线在
轴下方对应的自变量的范围可对③进行判断；根据 ， ，进而可判断④．
【详解】解：∵ 时， ，
∴ ，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
而抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
∴方程 的两根分别为 和1，所以②正确；
当 时， ，所以③错误；
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，所以④正确；
故选：D．
【点睛】掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的关系是关键．
10．如图，在矩形 中， ，点P是 的中点， ，点M、N在线段 上，
若 是等腰三角形且底角与 相等，则 的值为（ ）
A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或【答案】D
【分析】分类讨论① 为等腰 的底边② 为等腰 的腰两种情况即可求解.
【详解】解：分两种情况：
① 为等腰 的底边时，作 于F
则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形且底角与 相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ；
② 为等腰 的腰时，作 于F
由①得： ， ，
设 ，则 ，
在 中，
解得： ，即 ；
综上所述， 的长为 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握相关结论
是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11． ．
【答案】
【分析】解题的关键是根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算
12．舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江山图》为创作背景，以
时间为主轴，以“青绿”为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，展现中国古典艺术之美
和优秀传统文化的时代气息．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长
为3.4米、宽为2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬的宽度相等．问：边衬
的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
设边衬的宽度为x米，用x的代数式表示装裱后整幅图画宽与长，再根据宽与长的比是9:14，列出方程即
可．
【详解】设边衬的宽度为x米，装裱后，整幅图画的宽为 米，长为 米，根据题意，得
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式方程的应用．
13．有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数 ， ， ，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取
一张，所得卡片上的数记为 ，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为 ，则方程
没有实数根的概率为 ．
【答案】 /
【分析】先画树状图展示所以12种等可能的结果，通过计算找出满足 的结果
数，然后根据根的判别式的意义和概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中满足 的有 ， ； ， ； ，，
共有3种结果数，
所以方程 没有实数根的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事
件的结果数目，然后根据概率公式计算事件的概率．也考查了根的判别式．
14．在菱形 中，对角线 相交于点O，且 ，点E，F分别是线段
上的两个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】能够确定 的最小值是解决问题的关键．作 关于 的对称点 ，则 ，
当 时， 最小，根据勾股定理求出 ，再根据菱形的面积公式求出 即
可．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，则 ，
，
四边形 是菱形，
在线段 上，
当 时， 最小，
四边形 是菱形， ， ， ， ， ，
， ，
在 中，，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称 路径最短问题，菱形的性质
15．如图，点A，C在双曲线 上，点B，D在双曲线 上， 轴，且四边形 是平行四
边形，则 的面积为 ．
【答案】8
【分析】由平行于y轴的直线上的点横坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形面积公式求解即可．
【详解】解：设 ， ，
轴，四边形 是平行四边形，
轴， ，
，
， ，
，
，边上的高 ，
的面积 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积
16．如图，四边形 是 的内接四边形， ，对角线 、 相交于点 ， 是直径，
于点 ， ． 若 ，则 的值是 ．
【答案】108
【分析】先证明 可得 ，再根据圆周角定理、直角三角形的性质可得 进
而得到 ，即 ，进而得到 ；再证明 可得 ，即
．
【详解】解： ，
，
，
，
；
，
为 的直径， ，
，
， ，
，
，，
，
，
， ，
，
因为弧AB=弧AD，
，
，
，
，
．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了圆的弦、圆周角的关系、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与象征、圆
周角定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．如图，已知 ，请用直尺和圆规在图中作菱形 ，要求点 、 、 分别在边 、 和
上（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【分析】先作 的平分线 再作 的垂直平分线得到 ，则四边形 为菱形；
【详解】解：如图：
菱形 为如图所示：【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解不等式组∶ ，并写出其整数解．
【答案】（1） ， ；（2） ，整数解是
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 代入计算即可得出答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组解集，进而求出答案．
【详解】解：（1）原式 （ ）
当 时，
原式 ；
（2）
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，所以不等式组的解集为 ，整数解是 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺
序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
19．东方市教育局为了解本市中学生对海南省学业水平体育科目考试中选考科目（ ：篮球， ：排球，
：足球， ：跳绳， ：游泳）的喜好程度，随机抽取了部分中学生进行调查（每人必选且只能选一
项）．图1和图2是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图：
根据所给的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______．（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)这次被调查的学生共有______人；补全条形图；在扇形统计图中“跳绳”所对应圆心角为______度；
(3)若全市共有 名学生参加体育考试，请你估计这 名学生中约有______人喜欢足球；
(4)在喜欢篮球项目的同学中，由于甲，乙，丙，丁四人的成绩突出，现决定从他们中任选两名参加省级比
赛．则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是______．
【答案】(1)抽样调查
(2) ，
(3)
(4)
【分析】
（1）根据题意即可求解；
（2）根据 篮球的人数与百分比即可求解抽样人数，根据圆心角度数的计算方法即可求解；
（3）根据样本百分比求总量的方法即可求解；
（4）运用列表法或画树状图法求随机事件的概率即可求解．
【详解】（1）解：了解本市中学生对海南省学业水平体育科目考试中选考科目（ ：篮球， ：排球， ：
足球， ：跳绳， ：游泳）的喜好程度，随机抽取了部分中学生进行调查，
∴是抽样调查，故答案为：抽样调查；
（2）解： 篮球有 人，所占百分比为 ，
∴被调查的学生共有： （人），
∴ 跳绳的人数为： （人），
补全条形图如下，
∴“跳绳”所对应圆心角为： ，
故答案为： ， ；
（3）解： （人），
故答案为： ；
（4）解：列表法或画树状图法把所有选择结果表示出来，如图所示，
共有 种等可能结果，恰好选中甲，乙两位同学参加的结果有 种，
∴恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关运用，掌握样本百分比计算样本总量，圆心角的计算方法，列表
法或画树状图法求随机事件的概率的方法是解题的关键．
20．圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆
（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在
表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 （高约3.27米）垂直圭 ，冬至正午
日影长为 ，此时太阳高度角为 ，夏至正午日影长为 ，此时太阳高度角为 ．测得夏至
正午日影长 约为1米．
(1)试计算该市夏至正午太阳高度角（即 的度数；
(2)已知夏至日正午太阳高度角 与冬至日正午太阳高度角 的差约为 （注：正午太阳高度由
当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其
纬度差值为 ，取近似数约为 ．请计算 的长．（结果精确到0.1米．参考数据 ，
， ，
【答案】(1)
(2)5.7米
【分析】
（1）根据垂直定义可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利
用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1） ，
，
在 中， 米， 米，
，
，
该市夏至正午太阳高度角（即 的度数约为 ；
（2）由题意得： ，在 中， 米，
（米 ，
米，
（米 ，
的长约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得
与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边
缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是
抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位：
）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距
离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(2)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
，球网高 为 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为 ．请你计
算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 处时，击球高度的 值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)① ； ；②
(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【分析】（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时，
；
②待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当 时，
，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐
标为 ，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移
22．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案
(1)第5个图案有______颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为______；
(2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理
由．
【答案】(1)34；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解；
（2）令第n个图形的代数式等于2024，求得n的值为正整数就能，否则就不能．
【详解】（1）解：由图可得，第一个图形有 个黑色棋子；
第二个图形有 个黑色棋子；
第三个图形有 个黑色棋子；
第四个图形有 个黑色棋子；
⋯，
由此可得，第五个图形有 个黑色棋子，
第n个图形有 个黑色棋子；
故答案为：34； ；
（2）解：不能；理由如下：
设第n个图形有2024颗黑色棋子，
由（1）可得， ，
解得， ，
∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案．
【点睛】规律问题，根据图像总结规律是解题关键。
23．如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点E，点F在 上， ，连接 交
于点O，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若E、F分别为 的中点， ， ，求点D到 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)点D到 的距离为
【分析】（1）根据条件可证 得 ，进一步可得四边形 是平行四边形；结合
即可求证；
（2）求出 的面积即可求解；
【详解】（1）证明：在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：由（1）知四边形 是菱形， 是它的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵F为 的中点， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
∵在 中，E、F分别为 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
点D到 的距离即为 的 边上的高，
∴设点D到AB的距离为h，
则 ，
∴ ．
即点D到 的距离为 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解
题关键.
24．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象相交于
两点．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点C为坐标轴上一点，且满足 ，求点C的坐标．
【答案】(1)4，(2)
【分析】
（1）先求出 点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出 的长，再由 并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，可求得 的长，进而解决问题．
【详解】（1）解： 点 在一次函数 的图象上，
．
点 的坐标为 ．
反比例函数 的图象经过点 ，
．
反比例函数的解析式为 ．
（2）过 点作 轴的垂线，垂足为点 ，
，
则 ， ．
由勾股定理，得 ．
由图象的对称性，可知 ．
又 ，
．
点的坐标为 ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
25．如图，二次函数 的图象与 轴交于 （ 为坐标原点）、 两点，且二次函数的最小值
为 ，点 是其对称轴上一点，点 在 轴上， ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点 ，连接 ， ，求 面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请
直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为 ，将点 代入即可求函数的解
析式；
（2）设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，直线 的解析式，则点Q的坐标为
，可得 ，当 时， 有最大值 ，即可得 的最大值；（3）设N点坐标为 ，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建
立方程求n的值即可求N点坐标．
【详解】（1）∵二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为 ，
设二次函数解析式为 ，
将点 代入得， ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，则点Q的横坐标为t，
令抛物线解析式的 ，得到 ，
解得 ， ，
∴A的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
将 ， 代入，得
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴点Q的坐标为 ，∴
，
∴当 时， 有最大值 ，
∴ 面积的最大值为 ；
（3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，
熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
26．如图（1），在四边形 中， ， ， ， ， ，动点
从点 开始沿 边匀速运动，动点 从点 开始沿 边匀速运动，它们的运动速度均为 ．点 和
点 同时出发，设运动的时间为 ， ．(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值；
(3)如图（ ），延长 ， ，两延长线相交于点 ，当 为直角三角形时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）过点 作 于 ，得矩形 ，则 ， ，
，由勾股定理可求得 的长，从而可得 ；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分 和 两种情况考虑，再由相似三角形的性质即可求得 的值．
【详解】（1）解：过点D作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
， ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
，．
（2）①当 时，则有 ，
，
解得 ．
②当 时，则有 ，
，解得 ．
综上所述，当 或 时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似；
（3）①当 时， 为直角三角形，如图，
过点 作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
∵ ，
，
， ，
， ，，
由 ，得 ，
解得 ．
②当 时， 为直角三角形，如图：则 ，
，
，
，即 ，
解得 ．
综上所述，当 或 时， 是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性
质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
