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19.2.3 一次函数与方程、不等式
已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的
横坐标的值．
1．掌握一次函数与方程、不等式的关系； 探究点二：一次函数与一元一次不等式
(重点)
2．综合应用一次函数与方程、不等式的
关系解决问题．(难点)
一、情境导入
1．下面三个方程有什么共同点和不同
点？你能进行解释吗？ 对照图象，请回答下列问题：
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝ (1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?
－1. (2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?
能从函数的角度解这三个方程吗？ (3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?
2．下面三个不等式有什么共同点和不 解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x
同点？你能从函数的角度对这三个不等式 ＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－
进行解释吗？ x＋1的解；(2)直线y＝2x－5在直线y＝－x
(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜ ＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不
－1. 等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直线y＝2x
二、合作探究 －5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x
探究点一：一次函数与一元一次方程 的取值范围即为不等式2x－5＜－x＋1的解
集．
解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直
线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x
取2时，2x－5＝－x＋1；
(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x
－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数， －x＋1；
且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可 (3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x
求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( ) －5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜
A．x＝－1 B．x＝2 －x＋1.
C．x＝0 D．x＝3 方法总结：从函数的角度看，就是寻求
解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴ 使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的
解得∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝ 自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，
0，解得x＝－1.故选A. 就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部
方法总结：当某个一次函数的值为0时， 分所有的点的横坐标所构成的集合．
求相应的自变量的值．从图象上看，相当于 探究点三：一次函数与二元一次方程
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直角坐标系中有两条直线：y＝x
＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直
线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积． (1)求每种付酬方案y关于x的函数表
解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可 达式；
得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标 (2)当选择方案一所得报酬高于选择方
系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组 案二所得报酬时，求x的取值范围．
的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面 解析：(1)由图已知两点，可根据待定系
积公式列式计算即可得解． 数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方
程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择
方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬
时x的取值范围．
解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把
(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案
一y关于x的解析式为y＝40x；设方案二的
解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)
代入解析式，可得解得∴方案二y关于x的
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－ 解析式为y＝20x＋600；
3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－x＋6＝ (2)根据两直线相交可得 40x＝20x＋
0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)； 600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为
(2)如图所示，方程组的解是 30.当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S ＝ 择方案二所得报酬．
△PAB
×7×3＝. 方法总结：解决此类识图题，同学们要
方法总结：本题考查了二元一次方程 注意分析其中的“关键点”，还要善于分析
(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对 各图象的变化趋势．
应点分别在两条直线上，所以作出两个二元 三、板书设计
一次方程所对应的两条直线，求出交点，则 1．一次函数与一元一次方程的关系
交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组 2．一次函数与一元一次不等式的关系
的解． 3．用图象法求二元一次方程组的解
探究点四：运用一次函数与方程、不等 4．应用一次函数与方程、不等式解决实
式解决实际问题 际问题
某销售公司推销一种产品，设
x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)
是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的 在教学的过程中，学生是教学的主体，
月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任 所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课
选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： 是在一次函数的基础上教学的，是对学生学
习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现
了新课标的教学理念：教师为主导、学生为
主体，把课堂还给学生．
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