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北京一零一中 2022-2023 学年度第二学期高三数学统考四
一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ．若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集结果可知 ，进而可构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】解： ，
， 且
， ， ，解得： 且
的取值范围为 且
故选：D
2. 如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为.
A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得
考点：复数相关概念
3. 设 为数列 的前n项和．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】
【分析】根据给定条件，结合 ，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】 为数列 的前n项和，且 ，
当 时， ， ， ， ，则 ，
当 时，有 ， ， ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
的
4. 若抽气机每次可抽出容器内空气 60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）
（参考数据： ）
A. 6次 B. 7次 C. 8次 D. 9次
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得抽取 次后容器内的空气为 ，然后解出不等式 即可.
【详解】由题意可得抽取 次后容器内的空气为
由 可得
所以要使容器内的空气少于原来的0.1%，至少要抽8次
故选：C
5. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果.
【详解】由 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，
若 ，则 与 可能相交、平行或 ，A错；
若 ，则 或 ，B错；
若 ，则 或 相交，C错；
若 ，则 确定一个平面，设为 ，
又 ，所以 ，
则由面面平行的判定定理得 ，D正确.
故选：D
6. 某物体做直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式 ，那么该物体在 s时
的瞬时速度是（ ）
A. 2m/s B. 4m/s C. 7m/s D. 12m/s
【答案】D
【解析】
【分析】
对 求导，将 代入导函数，可求出答案.
【详解】对 求导，得 ，
当 时， （m/s），
所以物体在 s时的瞬时速度是12m/s.
故选：D.
【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
7. 直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为( )A. 3或－1 B. 0或3 C. 0或－1 D. －1或0或3
【答案】C
【解析】
【分析】
两直线无公共点，即两直线平行,先按照 和 分两种情况讨论，再按照 和 分两种情况
讨论，即可得到答案.
【详解】两直线无公共点，即两直线平行．
当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；
当a≠0时，由－ ＝－ ，解得a＝3或a＝－1.
若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍
去；
若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．
综上，a＝0或a＝－1.
故选：C
【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了两条直线平行的条件，属于基础题.
8. 已知点 .若点 在函数 的图象上，记 的面积为 ，则使得
的点 的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线AB的方程，然后利用点到直线距离求出 ，解方程即可判断点 的个数.
【详解】因为 ，所以直线AB： 即 ，
则点 到直线AB： 的距离为 ，
又 ，所以 ，
则 ，由题意 ，
所以 ，即 ，所以 或 ，
即 或 ，解得 或 或 ，
故使得 的点 有3个.
故选：B
9. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排
一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是
A. 48 B. 72 C. 84 D. 168
【答案】D
【解析】
【分析】
分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和
分类计数原理可得.
【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有 种
第二步：分三类
①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查
另2名理科生所在的班级，有 种
②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生
互查所在的班级，有 种
③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去
检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有 种
根据分步分类技术原理可得，共有 不同的安排方法
故选：D【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类
去完成是解题的关键.
10. 函数 ，则（ ）
A. 若 ，则 为奇函数 B. 若 ，则 为偶函数
C. 若 ，则 为偶函数 D. 若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项中 的关系，代入 的解析式，对AD用特值说明 不是奇函数，对BC用奇
偶性的定义验证即可.
【详解】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正确；
对C：若 ， ，
，故 不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
故选：B二､填空题共5小题.
11. 函数 的图像沿向量 平移后得到函数 的图像，则 在 上的
最大值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】先根据向量平移得出函数解析式，再求余弦函数的最值即可.
【详解】函数 的图像沿向量 平移后得到函数 的图像,
则函数 的图像沿向量 平移后得到 ,
,
,
,
当 .
故答案为:0.
12. 若 ，则 __________(用数字作答)．
【答案】-80
【解析】
【详解】分析：由题意可得， 是展开式的第四项的系数，即为 的系数，由此求得结果.
解析： ，则 .
故答案为：-80.
点睛：解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件．使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的
是第r＋1项，而不是第r项；②通项公式中a和b的位置不能颠倒．
13. 已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是 上的一点，且
，则 的周长是__________．
【答案】34
【解析】
【分析】由双曲线定义可得 ，再利用 之间的关系求得 ，从而得到所求周长.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，则 ，
又 ，故 ，则 ， ，
所以 的周长为 .
故答案为：34.
14. 已知菱形 的边长为 ， ， （ ）．当 时，
________；当 取得最小值时， ________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当 时， ，根据向量的三角形法则和数量积的运算法则计算可得 的值；而 ，再根据二次函数的性质可得出当 取得最小值时 的值.
【详解】当 时， ，
；
，
所以
所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出 ，从而利用二次
函数的性质解决问题.
15. 已知平面直角坐标系中的点集 ，给出下列四个结论：
（1）当直线 为 时， 与 没有公共点；（2）存在直线 与 有且只有一个公共点；
（3）存在直线 经过 中的无穷个点；
（4）存在直线 与 没有公共点，且 中存在两点在 的两侧．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】（2）（4）
【解析】
【分析】令 ，由直线与圆的位置关系的判定可判断（1）；分别找两条直线，可判断（2）、（4）；
用极限思想判断（3）.
【详解】令 ，点集 即为圆 ，圆心为 ，半径为2，
直线 的方程即为 ，则圆心到直线 的距离 ，
所以直线 与圆相交，故（1）错误；
取直线 ： ， 时，点集 为 ，显然直线 与 无交点；
当 时，点集 表示以 为圆心， 为半径的圆，
则圆心到直线 的距离 ，
当 时， ，则 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时有 ；
当 时，即 时， ，
当且仅当 时取“=”号，
综上有 ，当且仅当 时取“=”号，
所以 ，当且仅当 时取“=”号，即当 时，直线 与圆 相切，有一个公共点，
当 时，直线 与圆 相离，没有公共点，故（2）正确；
设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
当 时， ，
所以直线 只能与有限个圆相交，故（3）错误；
取直线 ： ，
则对于任意的 ，有 ，
故此时圆 均在直线 的下方；
对于任意的 ，有 ，
故此时圆 均在直线 的上方；
而 时，点集 表示原点，在直线 的下方，
的
综上，点集 中所有 点均不在直线 上，且存在点在直线 的两侧，
故（4）正确.
故答案为：（2）（4）
三､解答题共6小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中， ．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：① ；② ， ；③ ，若这三个条件
中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求 的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】（1）
（2）正确条件为①③，（i） ，（ii）
【解析】
【分析】（1）利用和角正弦公式可得 ，结合三角形内角和性质即可求B的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦
定理求 ；
（ii）由角平分线性质求得 ，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出 ，
再根据正弦定理求BD的长．
【小问1详解】
由题设 ，
而 ，
所以 ，故 ；
【小问2详解】
若①②正确，则 ，得 或 ，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则 ，可得 ，即② 错误条件，
为
综上，正确条件为①③，
（i）由 ，则 ，即 ，又 ，可得 ，
所以 ，可得 ，则 ，
故 ；
（ii）因为 且 ，得 ，
由 平分 得 ，
在 中， ，
在 中，由 ，得 ．
17. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌
牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
（1）从这 种不同品牌的牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．
①求 的值；②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售
价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
【答案】（1） ；（2）① ；②分布列见解析；期望为 ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）求出销售价格低于 元的频率，用频率来衡量概率；
（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量 的可能取值为 ，然后求出各自对应的概率，
即可列出分布列，求出期望；
（3）求出平均值比较即可
【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取 管，其销售价格低于 元”为事件 ．
由题设， ．
（2）①由题设，品牌 的牙膏抽取了 管，
品牌 的牙膏抽取了 管，
所以 ．
（ⅱ）随机变量 的可能取值为 ．
；
；．
所以 的分布列为：
的数学期望为 ．
（3） ．
（理由： ，设品牌 的市场占有额为
， 市场占有额分别为 ，则
）
18. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ．（ⅰ）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（ⅱ）求点 到平面 的距离；
（ⅲ）设点 为线段 上任意一点（不包含端点），证明：直线 与平面 相交.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） ；（ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系用坐标法计算即可.
【小问1详解】
因为底面 是正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
（ⅰ）如图建立空间直角坐标系 ，
则
所以 ，为
设直线 与直线 所成角 ，则
（ⅱ）
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
于是 ．
所以点 到平面 的距离
（ⅲ）设 是线段 上一点，设 ．
则
因为 ，
所以直线 与平面 相交.
19. 已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为 ；
（Ⅲ）比较 与 的大小，并加以证明．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .【解析】
【详解】试题分析：（1）求出 的值可得切点坐标，求出 ,可得 的值，从
而得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程；（2）由已知
，只需证明方程 在区间 有唯一解，先利用导数证
明 在区间 单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当 时，利
用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 可 得 ， 即
，令 即可的结果.
试题解析：（1）函数 的定义域是 ，
导函数为 ． 所以 ， 又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
（2）由已知 ．
所以只需证明方程 在区间 有唯一解．
即方程 在区间 有唯一解．
设函数 ，则 ．
当 时， ，故 在区间 单调递增．
又 ， ，
所以 存在唯一的 ，使得 ．
综上，存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为 ．（3） ．证明如下：首先证明：当 时， ．
设 ，则 ．
当 时， ， 所以 ，故 在 单调递增，
所以 时，有 ，即当 时，有 ．
所以 ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题.
求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的
切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）
由点斜式求得切线方程 .
20. 已知椭圆 的左、右顶点为 ，离心率为 ，直线
与椭圆 交于 不同的两点，直线 分别与直线 交于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：以 为直径的圆恒过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆方程定义和离心率，解得 ；
（2）设点坐标，联立方程组得 表示出直线 ， 的方程进而可得， ，然后利用向量关系结合条件即得.
【小问1详解】
由题可得 ，
解得： ，
所以 ；
【小问2详解】
由题可知 ，
联立 得， ，
∴ ．设 ，则 ，
所以 ，直线 的方程为： ，
令 ，可得 ．
由 ，直线 的方程为： ，
令 ，可得 ．以 ， 为直径的圆方程为，
，
由坐标表示可猜测得顶点坐标在直线 上，
猜测定点 ，验证：
同理，
因此以 为直径的圆 ，恒过定点 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 设A是如下形式的2行3列的数表，
a b c
d e f
满足性质P：a，b，c，d，e，f ，且a+b+c+d+e+f=0
记 为A的第i行各数之和（i=1,2）, 为A的第j列各数之和（j=1,2,3）记 为中的最小值．
（1）对如下表A，求 的值
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
(2)设数表A形如
1 1 -1-
2d
d d -1
其中 ，求 的最大值
（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求 的最大值．
【答案】1
【解析】
【详解】（1）因为 ， ，所以
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以
当d=0时， 取得最大值1
（3）任给满足性质P的数表A（如图所示）
a b c
d e f
任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表 仍满足性质P，并且，因此，不妨设 ， ，
由 得定义知， ， ， ，
从而
所以， ，由（2）知，存在满足性质P的数表A使 ，故 的最大值为1
【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能
力
