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专题50 导体棒在导轨上运动问题（二）
32．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l 的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R 的定值电阻，一质量为m 的金属杆放在导轨上。金属
杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设
金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R 以外不计
其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为
，求：
（i）这段时间内电阻R 上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
【答案】（1）
，
；（2）（i）
，（ii）
【解析】（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E = Blv0
则金属杆中的电流
由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动则有
根据功率的计算公式有
（2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆在水平外力作用下以
速度v0向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为
解得
当电子沿金属杆定向移动的速率变为
时，有
解得
v′ =
根据能量守恒定律有
解得
（ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v0变到
，设这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆
定向移动的距离为d，规定水平向右为正方向，则根据动量定理有
由于
解得
33．（2021·湖北·统考高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L 的足够长平行光滑金属导轨，
竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子
元件Z 和阻值为R 的电阻。元件Z 的
图像如图（b）所示，当流过元件Z 的电流大于或等于
时，电
压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。
忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取
，
。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R 表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的
时间，求S 断开瞬间金属棒的加速度大小a。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】[关键能力]本题考 查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等知识，意在考查考生综合电磁学
知识以及力学规律处理问题的能力。
[压轴题透析] 3 第（1）问通过对金属棒的受力分析以及运动分析，求出当金属棒的加速度为零时的最大速
度；第（2）问首先应分析比较第（1）问中的电流与图（b）中Z 元件的电压达到最大时的电流大小关系，
然后通过定值电阻表示出回路中的最大电流，进而求出金属棒的最大速度；第（3）问的关键在于求出开
关断开瞬间回路中的电流，得出导体棒所受的安培力大小，再根据牛顿第二定律求出金属棒的加速度。
【解析】（1）闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安
培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则
由法拉第电磁感应定律得
由欧姆定律得
解得
（2）由第（1）问得
由于
断开开关S 后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z 两端的电压恒为
此时定值电阻两端的电压为
回路中的电流为
又由欧姆定律得
解得
（3）开关S 闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
断开开关S 的瞬间，元件Z 两端的电压为
则定值电阻两端的电压为
电路中的电流为
金属棒受到的安培力为
对金属棒由牛顿第二定律得
解得
34．（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
、
间距
，其电阻不
计，两导轨及其构成的平面均与水平面成
角，N、Q 两端接有
的电阻。一金属棒
垂直导轨
放置，
两端与导轨始终有良好接触，已知
的质量
，电阻
，整个装置处在垂直于导轨
平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小
。
在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度
沿导轨向上开始运动，可达到最大速度
。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度
。
（1）求拉力的功率P；
（2）
开始运动后，经
速度达到
，此过程中
克服安培力做功
，求该过程
中
沿导轨的位移大小x。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）在
运动过程中，由于拉力功率恒定，
做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，
加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为
，有
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
受到的安培力
由功率表达式，有
联立上述各式，代入数据解得
（2）
从速度
到
的过程中，由动能定理，有
代入数据解得
35．（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为
的光滑固定斜面的顶端放有质量
的U 型导体框，
导体框的电阻忽略不计；一电阻
的金属棒
的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路
；
与斜面底边平行，长度
。初始时
与
相距
，金属棒与导体框同时由静止开始下
滑，金属棒下滑距离
后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底
边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的
边正
好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应
强度大小
，重力加速度大小取
。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【分析】、
【解析】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，
之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可
有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
当金属棒刚好离开磁场区域时，则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF 刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
36．（2020·北京·统考高考真题）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现
安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1 所示为该列车在进站停车过程中设
定的加速度大小
随速度的变化曲线。
(1)求列车速度从
降至
经过的时间t 及行进的距离x。（保留1 位小数）
(2)有关列车电气制动，可以借助图2 模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回
路中的电阻阻值为
，不计金属棒
及导轨的电阻。
沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动
过程，可假设
棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开
始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1 中的
点。论证电气制动产生的加速度大小随列
车速度变化的关系，并在图1 中画出图线。
(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从
减到
的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
【答案】. (1)
，
；(2) 列车电气制动产生的加速度与列车的速度成正比，为过P 点的
正比例函数，论证过程见解析。画出的图线如下图所示：
(3)
【解析】（1）列车速度从
降至
的过程中做匀减速直线运动，根据运动学公式可得
（2）设金属棒MN 的质量为m，磁感应强度为B，导轨宽度为l，MN 棒在任意时刻的速度大小为vMN。
MN 棒切割磁感线产生的感应电动势为
回路中的电流为
MN 棒所受安培力大小为
MN 棒的加速度大小为
由上式可知
与
成正比。又因为MN 棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气化制动产生
的加速度成正比，所以电气制动产生的加速度a 电气与列车的速度v 成正比，则电气制动产生的加速度大小
随列车速度变化图线如图1 所示。
（3）制动过程中，列车受到的阻力是由电气制动、机械制动和空气阻力共同引起的。由（2）可知，电气
制动的阻力与列车速度成正比；空气阻力随速度的减小而减小；由题图1 并根据牛顿第二定律可知，列车
速度在20m/s 至3m/s 区间所需合力最大且不变。综合以上分析可知，列车速度在3m/s 左右所需机械制动
最强。
37．（2020·全国·统考高考真题）如图，一边长为l0的正方形金属框abcd 固定在水平面内，空间存在方向
垂直于水平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一长度大于
的均匀导体棒以速率v 自左向右在金属
框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac 垂直且中点位于ac 上，导体棒与金属框接触良好。已知导体
棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a 点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大
小随x（
）变化的关系式。
【答案】
【解析】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l 时，由法第电磁感应定律可知导体棒上感应电动势
的大小为
由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为
式中R 为这一段导体棒的电阻。按题意有
此时导体棒所受安培力大小为
由题设和几何关系有
联立各式得
38．（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在
水平面内，固定放置着间距为l 的两平行金属直导轨，其
间连接有阻值为R 的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R 两端的电压。
两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。
时一质量为m、长为l 的导体棒在外力F 作
用下从
。位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲
线。取
，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导
轨运动。（提示：可以用
图象下的“面积”代表力F 所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力
随时间t 的变化规律；
（2）求在0 至0.25T 时间内外力F 的冲量；
（3）若
时外力
，求外力与安培力大小相等
时棒的位置坐标和速度。
【答案】(1)
(2)
(3)
和
；
和
；
和
【解析】（1）由显示的波形可得
安培力随时间变化规律：
（2）安培力的冲量：
由动量定理，有：
解得：
（3）棒做简谐运动，有：
当
时：
当
时，设
，
根据动能定理：
解得：
和
；
和
39．（2017·海南·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨置于水平面(纸面)内，导轨间距为L，左端连有
阻值为R 的电阻．一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁
场区域．已知金属杆以速度v0向右进入磁场区域，做匀变速直线运动，到达磁场区域右边界(图中虚线位
置)时速度恰好为零．金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好．除左端所连电阻外，其他电阻忽略不计．求
金属杆运动到磁场区域正中间时所受安培力的大小及此时电流的功率.
【答案】
,
【解析】设金属杆运动的加速度大小为a，运动的位移为x，
根据运动学公式，有
设金属杆运动到磁场区域中间位置时的速度为v，
根据运动学公式，有
联立以上各式解得:
金属杆运动到磁场区域中间位置时，产生的感应电动势为E=BLv
通过金属杆的电流为
金属杆受到的安培力为F=BIL
解得：
电流的功率为
解得：
40．（2019·海南·高考真题）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨间距为l；两根相同
的导体棒AB、CD 置于导轨上并与导轨垂直，长度均为l；棒与导轨间的动摩擦因数为
（最大静摩擦力
等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。从
时开始，对
AB 棒施加一外力，使AB 棒从静止开始向右做匀加速运动，直到
时刻撤去外力，此时棒中的感应电流
为；已知CD 棒在
时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒的质量均为
m，电阻均为R，导轨的电阻不计。重力加速度大小为g。
(1)求AB 棒做匀加速运动的加速度大小；
(2)求撤去外力时CD 棒的速度大小；
(3)撤去外力后，CD 棒在
时刻静止，求此时AB 棒的速度大小。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】(1)设AB 棒做匀加速运动的加速度大小为a，在t=t0时刻AB 棒的速度为v0=at0，
此时对CD 棒：
联立解得：
(2)在t1时刻，AB 棒的速度
；
此时
解得
(3)撤去外力后到CD 棒静止，对CD 棒由动量定理：
，
对AB 棒：
联立解得：
41．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁
场垂直．已知线圈的面积S=0.3m2、电阻R=0.6Ω，磁场的磁感应强度B=0.2T.现同时向两侧拉动线圈，线圈
的两边在Δt=0.5s 时间内合到一起．求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q．
【答案】（1）E=0.12V；（2）I=0.2A（电流方向见图）
；（3）q=0.1C
【解析】（1）由法拉第电磁感应定律有：
感应电动势的平均值
磁通量的变化
解得：
代入数据得：E=0.12V；
（2）由闭合电路欧姆定律可得：
平均电流
代入数据得I=0.2A
由楞次定律可得，感应电流方向如图：
（3）由电流的定义式
可得：电荷量q=I∆t 代入数据得q=0.1C．
42．（2019·天津·高考真题）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放
置的两根金属棒
和
长度也为、电阻均为
，两棒与导轨始终接触良好．
两端通过开关
与电
阻为
的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量
．图中虚线右
侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
．
的质量为
，金属导轨足够长，电阻忽
略不计．
（1）闭合
，若使
保持静止，需在其上加多大的水平恒力
，并指出其方向；
（2）断开
，
在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为
的加速过程中流过
的电荷量为
，求
该过程安培力做的功
．
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
【解析】（1）设线圈中的感应电动势为
，由法拉第电磁感应定律
，则
①
设
与
并联的电阻为
，有
②
闭合
时，设线圈中的电流为
，根据闭合电路欧姆定律得
③
设
中的电流为
，有
④
设
受到的安培力为
，有
⑤
保持
静止，由受力平衡，有ⅠⅡⅢⅣ
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
⑦
方向水平向右．
（2）设
由静止开始到速度大小为
的加速过程中，
运动的位移为
，所用时间为
，回路中的磁
通量变化为
，平均感应电动势为
，有
⑧
其中
⑨
设
中的平均电流为
，有
⑩
根据电流的定义得
⑪
由动能定理，有
⑫
联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬式得
⑬
43．（2016·全国·高考真题）如图，两条相距的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接
一阻值为
的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为的区
域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小为
随时间的变化关系为
，式中
为
常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界
（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小
为
，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在
时
刻恰好以速度
越过
，此后向右做匀速运动，金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均
忽略不计，求：
（1）在
到
时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
（2）在时刻（
）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）在金属棒未越过MN 之前，t 时刻穿过回路的磁通量为
设在从t 时刻到
的时间间隔内，回路磁通量的变化量为
，流过电阻R 的电荷量为
，由法拉第
电磁感应有
由欧姆定律有
由电流的定义有
联立可得
由⑤可得，在t=0 到t=
的时间间隔内，流过电阻R 的电荷量q 的绝对值为
（2）当
时，金属棒已越过MN，由于金属棒在MN 右侧做匀速运动，则有
式中f 是外加水平恒力，F 是匀强磁场施加的安培力，设此时回路中的电流为I，F 的大小为
此时金属棒与MN 之间的距离为
匀强磁场穿过回路的磁通量为
回路的总磁通量为
式中
仍如式所示，则在时刻t（
）穿过回路的总磁通量为
在t 到
的时间间隔内，总磁通量的改变
为
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为
由欧姆定律有
联立可得
44．（2019·浙江·高考真题）【加试题】如图所示，倾角θ=370、间距l＝0.1m 的足够长金属导轨底端接有
阻值R=0.1Ω 的电阻，质量m=0.1kg 的金属棒ab 垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ=0.45．建立原点
位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x．在0.2m≤x≤0.8m 区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t=0 时
刻起，棒ab 在沿x 轴正方向的外力F 作用下从x=0 处由静止开始沿斜面向上运动，其速度与位移x 满足
v=kx（可导出a=kv）k=5s-1．当棒ab 运动至x1=0.2m 处时，电阻R 消耗的电功率P=0.12W，运动至
x2=0.8m 处时撤去外力F，此后棒ab 将继续运动，最终返回至x=0 处．棒ab 始终保持与导轨垂直，不计其
它电阻，求：（提示：可以用F－x 图象下的“面积”代表力F 做的功
（1）磁感应强度B 的大小
（2）外力F 随位移x 变化的关系式；
（3）在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q．
【答案】（1）
；（2）无磁场区间：
；有磁场区间：
；（3）
【解析】（1）由
E=Blv，
解得
（2）无磁场区间：
，a=5v=25x
有磁场区间：
（3）上升过程中克服安培力做功（梯形面积）
撤去外力后，棒ab 上升的最大距离为s，再次进入磁场时的速度为v＇，则：
解得v＇=2m/s
由于
故棒再次进入磁场后做匀速运动；
下降过程中克服安培力做功：
45．（2014·江苏·高考真题）如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为
3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度
大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀
速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻
为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
（2）导体棒匀速运动的速度大小v；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
【答案】（1）tanθ；（2）
；（3）
【解析】（1）导体棒在涂层段做匀速运动，根据平衡条件有
①
解得
②
（2）导体在非涂层段做匀速运动时，产生的感应电动势为
③
回路中的感应电流为
④
导体棒所受安培力大小为
⑤
根据平衡条件有
⑥
联立③④⑤⑥解得
⑦
（3）导体棒在两个非涂层段运动时电阻内有电流通过，根据能量守恒定律有
⑧
46．（2015·四川·高考真题） 如图所示，金属导轨MNC 和PQD，MN 与PQ 平行且间距为L，所在平面与
水平面夹角为α，N、Q 连线与MN 垂直，M、P 间接有阻值为R 的电阻；光滑直导轨NC 和QD 在同一水
平面内，与NQ 的夹角都为锐角θ。均匀金属棒ab 和ef 质量均为m，长均为L，ab 棒初始位置在水平导轨
上与NQ 重合；ef 棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ 较小），由导轨上的小立柱1 和
2 阻挡而静止。空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）。两金属棒与导轨保持良好接触。不计所有导
轨和ab 棒的电阻，ef 棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重
力加速度为g。
（1）若磁感应强度大小为B，给ab 棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行
一段距离后停止，ef 棒始终静止，求此过程ef 棒上产生的热量；
（2）在（1）问过程中，ab 棒滑行距离为d，求通过ab 棒某横截面的电荷量；
（3）若ab 棒以垂直于NQ 的速度v2在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ 位置时取走小立柱1 和2，且运
动过程中ef 棒始终静止。求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab 棒运动的最大距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向竖直向上
或竖直向下均可，
【解析】（1）设ab 棒的初动能为Ek，ef 棒和电阻R 在此过程产生热量分别为Q 和Q1，有
Q+Q1=Ek
且根据并联电路特点和焦耳定律Q＝I2Rt 可知，电阻R 和ef 棒中产生的焦耳热相等
Q=Q1
由题意
Ek=
得
（2）设在题设的过程中，ab 棒滑行的时间为△t，扫过的导轨间的面积为△S，通过△S 的磁通量为△Φ，
ab 棒产生的电动势为E，ab 棒中的电流为I，通过ab 棒某截面的电荷量为q，则
且
△Φ=B△S
电流
又有
由图所示
联立解得
（3）ab 棒滑行距离为x 时，ab 棒在导轨间的棒长Lx为
Lx=L
2
﹣xcotθ
此时ab 棒产生的电动势Ex为
E=Bv2Lx
流过ef 棒的电流Ix为
Ix=
ef 棒所受安培力Fx为
Fx=BIxL
联立解得
可得，Fx在x=0 和B 为最大值Bm时有最大值F1。
由题意知，ab 棒所受安培力方向必水平向左，ef 棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析
如图所示，图中fm为最大静摩擦力，有
F1cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F1sinα）
联立得
Bm就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．
可知，B 为Bm时，Fx随x 增大而减小，x 为最大xm时，Fx为最小值，如图可知
F2cosα++μ（mgcosα+F2sinα）=mgsinα
联立得
【点评】本题是对法拉第电磁感应定律的考查，解决本题的关键是分析清楚棒的受力的情况，找出磁感应
强度的关系式是本题的重点．
47．（2017·浙江·高考真题）间距为的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图所示,
倾角为θ 的导轨处于大小为
，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅰ中，水平导轨上的无磁场区间静
止放置一质量为3
的“联动双杆”（由两根长为的金属杆，
和
，用长度为L 的刚性绝缘杆连接而
成），在“联动双杆”右侧存在大小为
，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅱ，其长度大于L，质
量为
，长为的金属杆
，从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨（无能量损失），杆
与
“联动双杆”发生碰撞后杆
和
合在一起形成“联动三杆”，“联动三杆”继续沿水平导轨进入磁场
区间Ⅱ并从中滑出，运动过程中，杆
、
和
与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直．已知杆
、
和
电阻均为
．不计摩擦阻力和导轨
电阻，忽略磁场边界效应．求：
（1）杆
在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小
；
（2）联动三杆进入磁场区间II 前的速度大小；
（3）联动三杆滑过磁场区间II 产生的焦耳热
【答案】(1)
(2) 1.5m/s (3)0.25J
【解析】沿着斜面正交分解，最大速度时重力分力与安培力平衡
(1)感应电动势
电流
安培力
匀速运动条件
代入数据解得：
（2）由动量守恒定律
解得：
（3）进入B2磁场区域，设速度变化大小为
,根据动量定理有
解得：
出B2磁场后“联动三杆”的速度为
根据能量守恒求得：
综上所述本题答案是：(1)
(2) 1.5m/s (3)0.25J
【点睛】本题比较复杂，根据动能定理求出ab 棒下落到轨道低端时的速度，再利用动量守恒求出碰后三者
的速度，结合动量定理求出进出磁场的初末速度之间的关系，并利用能量守恒求出系统内增加的热量．
48．（2018·天津·高考真题）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置．
图1 是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l 的两条平行光滑金属导轨，电
阻忽略不计，ab 和cd 是两根与导轨垂直，长度均为l，电阻均为R 的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底
部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m．列车启动前，ab、cd 处于磁感应强度为B 的
匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1 所示，为使列车启动，需在M、N 间连接电动势为E
的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计，列车启动后电源自动关闭．
（1）要使列车向右运行，启动时图1 中M、N 哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a 的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2 所示的一系列磁感应强度为B 的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁
场间距均大于l．若某时刻列车的速度为
，此时ab、cd 均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前
方至少需要多少块这样的有界磁场？
【答案】（1）M 接电源正极，理由见解析（2）
（3）若
恰好为整数，设其为n，则需设置n 块
有界磁场，若
不是整数，设
的整数部分为N，则需设置N+1 块有界磁场
【解析】试题分析：结合列车的运动方向，应用左手定则判断电流方向，从而判断哪一个接电源正极；对
导体棒受力分析，根据闭合回路欧姆定律以及牛顿第二定律求解加速度；根据动量定理分析列车进入和穿
出磁场时动量变化，据此分析；
（1）M 接电源正极，列车要向右运动，安培力方向应向右，根据左手定则，接通电源后，金属棒中电流
方向由a 到b，由c 到d，故M 接电源正极．
（2）由题意，启动时ab、cd 并联，设回路总电阻为
，由电阻的串并联知识得
①；
设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有
②
设两根金属棒所受安培力之和为F，有F=BIl③
根据牛顿第二定律有F=ma④，联立①②③④式得
⑤
（3）设列车减速时，cd 进入磁场后经
时间ab 恰好进入磁场，此过程中穿过两金属棒与导轨所围回路的
磁通量的变化为
，平均感应电动势为
，由法拉第电磁感应定律有
⑥，其中
⑦；
设回路中平均电流为
，由闭合电路欧姆定律有
⑧
设cd 受到的平均安培力为
，有
⑨
以向右为正方向，设
时间内cd 受安培力冲量为
，有
⑩
同理可知，回路出磁场时ab 受安培力冲量仍为上述值，设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为
，有
⑪
设列车停下来受到的总冲量为
，由动量定理有
⑫
联立⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫式得
⑬
讨论：若
恰好为整数，设其为n，则需设置n 块有界磁场，若
不是整数，设
的整数部分为N，则
需设置N+1 块有界磁场．⑭．
【点睛】如图所示，在电磁感应中，电量q 与安培力的冲量之间的关系，如图所示，以电量为桥梁，直接
把图中左右两边的物理量联系起来，如把导体棒的位移 和速度联系起来，但由于这类问题导体棒的运动
一般都不是匀变速直线运动，无法直接使用匀变速直线运动的运动学公式进行求解，所以这种方法就显得
十分巧妙，这种题型难度最大．
49．（2018·浙江·高考真题）所图所示，匝数N=100、截面积s=1.0×10-2m2、电阻r=0.15Ω 的线圈内有方向
垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场B1，其变化率k=0.80T/s．线圈通过开关S 连接两根相互
平行、间距d=0.20m 的竖直导轨，下端连接阻值R=0.50Ω 的电阻．一根阻值也为0.50Ω、质量m=1.0×10-
2kg 的导体棒ab 搁置在等高的挡条上．在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场B2．
接通开关S 后，棒对挡条的压力恰好为零．假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和
导轨电阻．
（1）求磁感应强度B2的大小，并指出磁场方向；
（2）断开开关S 后撤去挡条，棒开始下滑，经t=0.25s 后下降了h=0.29m，求此过程棒上产生的热量．
【答案】（1）0.50T，垂直纸面向外（2）
【解析】（1）线圈的感应电动势为
流过导体棒的电流
导体棒对挡条的压力为零，有
或
，解得
，
因为安培力向上，棒中电流向左，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向外
（2）根据动量定律
，
，解得
ab 棒产生的热量
，解得
50．（2017·江苏·高考真题）如图所示，两条相距d 的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值
为R 的电阻．质量为m 的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ 的磁感应强度大小为
B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v．导轨和金属杆
的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
（1）MN 刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
（2）MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
（3）PQ 刚要离开金属杆时，感应电流的功率P．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【分析】本题的关键在于导体切割磁感线产生电动势E=Blv，切割的速度（v）是导体与磁场的相对速度，
分析这类问题，通常是先电后力，再功能．
（1）根据电磁感应定律的公式可得知产生的电动势，结合闭合电路的欧姆定律，即可求得MN 刚扫过金
属杆时，杆中感应电流的大小I；
（2）根据第一问求得的电流，利用安培力的公式，结合牛顿第二定律，即可求得MN 刚扫过金属杆时，
杆的加速度大小a；
（3）首先要得知，PQ 刚要离开金属杆时，杆切割磁场的速度，即为两者的相对速度，然后结合感应电动
势的公式以及功率的公式即可得知感应电流的功率P．
【解析】（1）感应电动势
感应电流
解得
（2）安培力
牛顿第二定律
解得
（3）金属杆切割磁感线的速度
，则
感应电动势
电功率
解得
【点睛】该题是一道较为综合的题，考查了电磁感应，闭合电路的欧姆定律以及电功电功率．对于法拉第
电磁感应定律是非常重要的考点，经常入选高考物理压轴题，平时学习时要从以下几方面掌握．
（1）切割速度v 的问题
切割速度的大小决定了E 的大小；切割速度是由导体棒的初速度与加速度共同决定的．同时还要注意磁场
和金属棒都运动的情况，切割速度为相对运动的速度；不难看出，考电磁感应的问题，十之八九会用到牛
顿三大定律与直线运动的知识．
（2）能量转化的问题
电磁感应主要是将其他形式能量（机械能）转化为电能，可由于电能的不可保存性，很快又会想着其他形
式能量（焦耳热等等）转化．
（3）安培力做功的问题
电磁感应中，安培力做的功全部转化为系统全部的热能，而且任意时刻安培力的功率等于系统中所有电阻
的热功率．
（4）动能定理的应用
动能定理当然也能应用在电磁感应中，只不过同学们要明确研究对象，我们大多情况下是通过导体棒的．
固定在轨道上的电阻，速度不会变化，显然没有用动能定理研究的必要．
51．（2017·上海·统考高考真题）如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻
值为R 的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面．质量为m 的金
属杆ab 以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置．在运动过程中，ab
与导轨垂直且接触良好，不计ab 和导轨的电阻及空气阻力．
（1）求ab 开始运动时的加速度a；
（2）分析并说明ab 在整个运动过程中速度、加速度的变化情况；
（3）分析并比较ab 上滑时间和下滑时间的长短．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）ab 开始运动时产生的感应电动势：E=BLv0
回路中的感应电流：
杆所受的安培力：
由牛顿定律：
解得：
（2）分析如下：杆上滑时：合力
，与运动方向相反，杆减速；随着速度的减小，F 安减小，
合力减小，加速度减小；因此杆做加速度减小的减速运动，到达一定高度后速度为零；
在最高点：杆速度为零，加速度为gsinθ，方向沿斜面向下；
杆下滑时：合力
，与运动方向相同，杆加速；随着速度的增加，
F 安增大，合力减小，加速度减小；因此杆做初速度为零，加速度减小的加速运动；
（3）分析如下：下滑与上滑经过的位移大小相等；而上滑时杆加速度大于gsinθ，下滑时杆加速度小于
gsinθ,因此上升时平均加速度下雨下降时的平均加速度，由运动规律可知，上滑所需的时间小于下滑所需时
间.
52．（2016·上海·统考高考真题）如图，一关于y 轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B 的匀
强磁场与平面垂直．一足够长，质量为m 的直导体棒沿x 轴方向置于轨道上，在外力F 作用下从原点由静
止开始沿y 轴正方向做加速度为a 的匀加速直线运动，运动时棒与x 轴始终平行．棒单位长度的电阻为ρ，
与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky
（SI）．求：
（1）导体轨道的轨道方程y=f（x）；
（2）棒在运动过程中受到的安培力Fm随y 的变化关系；
（3）棒从y=0 运动到y=L 过程中外力F 的功．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为（±
），安培力的功率
棒做匀加速运动
代入前式得
轨道形状为抛物线．
（2）安培力
=
以轨道方程代入得
（3）由动能定理
安培力做功
棒在
处动能
外力做功
．
【点睛】根据安培力的功率，匀变速直线运动位移速度关系，导出轨道的轨道方程和安培力随y 的变化关
系；通过动能定理计算棒运动过程中外力做的功．
53．（2016·浙江·高考真题）小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l＝0.50
m，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05 Ω 的电阻．在导轨间长d＝0.56 m 的区域内，存在方向垂直导
轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0 T．质量m＝4.0 kg 的金属棒CD 水平置于导轨上，用绝缘绳索
通过定滑轮与拉杆GH 相连．CD 棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝0.24 m．一位健身者用恒力F
＝80 N 拉动GH 杆，CD 棒由静止开始运动，上升过程中CD 棒始终保持与导轨垂直．当CD 棒到达磁场上
边界时健身者松手，触发恢复装置使CD 棒回到初始位置(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计其它
电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)．求：
(1)CD 棒进入磁场时速度v 的大小；
(2)CD 棒进入磁场时所受的安培力FA的大小；
(3)在拉升CD 棒的过程中，健身者所做的功W 和电阻产生的焦耳热Q.
【答案】（1）2.4m/s（2）48N（3）64J；26.88J
【解析】(1)由牛顿第二定律：
进入磁场时的速度：
(2)感应电动势：
感应电流：
安培力：
代入得：
(3)健身者做功：
由牛顿定律：
CD 棒在磁场区做匀速运动
在磁场中运动时间：
焦耳热：
54．（2015·上海·统考高考真题）如图（a）两相距L=0.5m 的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与
阻值R=2Ω 的电阻连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场，质量m=0.2kg 的金属杆垂直于导
轨上，与导轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略，杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，
并始终与导轨垂直，其v-t 图像如图（b）所示，在15s 时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆
中电流为0，求：
（1）金属杆所受拉力的大小为F；
（2）0-15s 匀强磁场的磁感应强度大小为
；
（3）15-20s 内磁感应强度随时间的变化规律．
【答案】（1）0.24N；（2）0.4T；（3）
【解析】（1）由v-t 关系图可知在0-10s 时间段杆尚未进入磁场，因此
F-μmg=ma1
由图可知a1=0.4m/s2
同理可知在15—20s 时间段杆仅有摩擦力作用下运动
μmg=ma2
由图可知a2=0.8m/s2
解得F=0.24N
（2）在10—15s 时间段杆在磁场中做匀速运动，因此有
以F=0.24N，μmg=0.16N 代入
解得B0=0.4T
（3）由题意可知在15—20s 时间段通过回路的磁通量不变，设杆在15—20s 内运动距离为d，15s 后运动的
距离为x
B(t)L(d+x)=B0Ld
其中d=20m
x=4(t-15)-0.4(t-15)2
由此可得
【考点定位】牛顿第二定律；导体棒切割磁感线
55．（2015·北京·高考真题）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度
，一端连接
的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
．导体棒
放在导轨上，其
长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．导轨和导体棒的电阻均可忽略不计．在平行于导轨的拉力
作
用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度
．求：
（）感应电动势
和感应电流
；
（
）在
时间内，拉力的冲量
的大小；
（）若将
换为电阻
的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压
．
【答案】（）
，
；（
）
（3）
．
【解析】（1）根据动生电动势公式得E=BLv = 1T ×0.4m ×5m /s =2V
故感应电流
（2）金属棒在匀速运动过程中，所受的安培力大小为F 安= BIL =0.8N，
因匀速直线运动，所以导体棒所受拉力F = F 安= 0.8N
所以拉力的冲量 IF=
=0.8 N×0.1s=0.08 N s
（3）其它条件不变，则有电动势
由全电路的欧姆定律
导体棒两端电压
56．（2016·天津·高考真题）电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理
是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两
根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ．一质量为m 的条形磁铁滑入两铝条
间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、
铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d 的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区
域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ．为研究问题方便，铝条中
只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少
的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g．
（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v 的表达式；
（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b'>b 的铝条，磁铁仍以速度v 进入铝条间，试简
要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
【答案】（1）
（2）v=
（3）见解析
【解析】试题分析：（1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等均为F 安，有
F 安=IdB①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有
F=2F 安②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有F–mgsin θ=0③
联立①②③式可得I=
④
（2）磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有E=Bdv⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有R=ρ
⑥
由欧姆定律有I=
⑦
联立④⑤⑥⑦式可得 v=
⑧
（3）磁铁以速度v 进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式
可得F=
⑨
当铝条的宽度b'>b 时，磁铁以速度v 进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F'，有F'=
⑩
可见，F'>F="mgsin" θ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下
滑，此时加速度最大．之后，随着运动速度减小，F'也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速
度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小．综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动．直到
F'="mgsin" θ 时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑．
【学科网考点定位】安培力、物体的平衡、电阻定律、欧姆定律
【名师点睛】此题以电磁缓冲器为背景设置题目，综合考查了安培力、物体的平衡、电阻定律及欧姆定律
等知识点，要求学生首先理解题意，抽象出物理模型，选择适当的物理规律列出方程求解；此题综合性较
强，能较好地考查考生综合分析问题与解决问题的能力．
57．（2014·上海·统考高考真题）如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ 边的电阻不计，MP 边
的电阻阻值R=1.5Ω，MN 与MP 的夹角为135°，PQ 与MP 垂直，MP 边长度小于1m．将质量m=2kg，电
阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平行．棒与MN、PQ 交点G、H 间的距离L=4m.空间存在
垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．在外力作用下，棒由GH 处以一定的初速度向左做直线
运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等．
（1）若初速度v1=3m/s，求棒在GH 处所受的安培力大小FA．
（2）若初速度v2=1.5m/s，求棒向左移动距离2m 到达EF 所需时间Δt．
（3）在棒由GH 处向左移动2m 到达EF 处的过程中，外力做功W=7J，求初速度v3．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】试题分析：（1）导体棒切割磁感线产生感应电动势
感应电流
金属棒受到安培力
（2）运动过程电流始终不变，而电阻不变，即感应电动势不变．初始感应电动势
所以平均感应电动势
根据几何关系可得从GH 到EF，线框面积变化量
代入计算可得运动时间
（3）根据几何关系可得
根据运动过程电流不变判断电动势不变，设末速度为
，则有
可得
运动过程电流
电动势
运动时间
克服安培力做功
根据动能定理有
整理可得
或
（舍去）
考点：电磁感应
58．（2014·北京·高考真题）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定
于水平面的U 形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN 在与其垂直的水平恒力F 的作用下，
在导线框上以速度v 做匀速运动，速度v 与恒力F 方向相同，导线MN 始终与导线框形成闭合电路，已知
导线MN 电阻为 R，其长度L，恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框
的电阻。
（1）通过公式推导验证：在时间内
， F 对导线MN 所做的功W 等于电路获得的电能
，也等于导线
MN 中产生的焦耳热Q；
（2）若导线的质量m=8.0g，长度L=0.1m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1 个自由电子，计算导线
MN 中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v（下表中列出了一些你可能用到的数据）。
阿伏加德罗常数
6.0×1023mol-1
元电荷e
1.6×10-19C
导线MN 的摩尔质量
μ
6.0×10-2kg/mol
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动自由电子和金属离子（金属原子失去电子后剩余部分）
的碰撞，展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子运动模型：在此基础上，求出导线MN 中金属离子
对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力
的表达式。
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】（1）导线运动时产生的感应电动势为
导线中的电流为
导线受到的安培力为
物体匀速运动，拉力和安培力相等，所以拉力为
拉力F 做功
将F 代入得到
电能为
产生的焦耳热为
由此可见
（2）导线MN 中的总电子数
N=
导线MN 中电子的电量为
通过导线的电流为
这些电量通过导线横截面积的时间为
联立以上各式得
（3）方法一：动量解法
设电子在每一次碰撞结束至下一次碰撞结束之间的运动都相同，设经历的时间为
，电子的动量变化为零．
因为导线MN 的运动，电子受到沿导线方向的洛伦兹力为
的作用，有
沿导线方向，电子只受到金属离子的作用力和
作用，所以
联立解得电子受到的平均作用力为
方法二：能量解法
设电子从导线的一端到达另一端经历的时间为t，在这段时间内，通过导线一端的电子总数为
电阻上产生的焦耳热是由于克服金属离子对电子的平均作用力做功而产生的，有
在t 时间内电子运动过程中克服阻力所做的功，可以表示为
电流产生的焦耳热为
联立解得
59．（2014·安徽·高考真题）如图1 所示，匀强磁场的磁感应强度
为
。其方向垂直于倾角
为
的
斜面向上。绝缘斜面上固定有
形状的光滑金属导轨
（电阻忽略不计），
和
长度均为
，
连线水平，长为
。以
中点
为原点、
为
轴建立一维坐标系
。一根粗细均匀的金属杆
，长度
为
、质量
为
、电阻
为
，在拉力
的作用下，从
处以恒定的速度
，
在导轨上沿
轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。
取
（1）求金属杆
运动过程中产生的感应电动势
及运动到
处电势差
；
（2）推导金属杆
从
处运动到
点过程中拉力
与位置坐标
的关系式，并在图2 中画出
关系
图像；
（3）求金属杆
从
处运动到
点的全过程产生的焦耳热。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；
（3）
【解析】（1）根据题意，由法拉第电磁感应定律可知，金属杆
在匀速运动过程中产生的感应电动势为
由几何关系可得
接入导轨之间的有效长度为
金属杆
运动过程中产生的有效感应电动势为
金属杆
运动到
处时的有效电动势为
这一段相当于电源，而且轨道没有电阻，所以电源是被短接的，电源的路端电源为零，所以
两端电势
差就由剩余两段的导体棒产生，又由右手定则判断
比
电势高，则有
（2）根据题意可知，接入电路的导体棒的电阻为
感应电流为
则安培力为
由平衡条件有
整理可得
画出的
图像如图所示
（3）由上述分析可知，安培力为
因安培力的大小
与位移
成线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值为
则整个过程中产生的焦耳热为
60．（2014·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电
阻不计，间距L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN.Ⅰ中的匀强
磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在
区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω 的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ
中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω 的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始
终处于区域Ⅱ的磁场中，ab，cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：
（1）cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向；
（2）ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
（3）从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab 上产生的热量Q
是多少．
【答案】（1）由a 流向b （2）5m/s (3)1.3J
【解析】（1）由右手定则可知，电流由a 流向b；
（2）开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，由平衡条件得：Fmax=m1gsinθ，
ab 刚好要上滑时，感应电动势：E=BLv，
电路电流：
ab 受到的安培力：F 安=BIL，
此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，
由平衡条件得：F 安=m1gsinθ+Fmax，
代入数据解得：v=5m/s；
（3）cd 棒运动过程中电路产生的总热量为Q 总，
由能量守恒定律得：m2gxsinθ=Q 总+
m2v2，
ab 上产生的热量：
解得：Q=1.3J；
点睛：本题是复杂的电磁感应现象，是电磁感应与力学知识的综合，分析导体棒的运动情况，要抓住甲匀
加速运动的过程中，外力与安培力大小相等．分别从力和能量两个角度进行研究．
