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第37 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 课标达标
练................................................................................................................................................................................2
题型01 带电粒子在交变电场中的直线运动.....................................................................................................2
题型02 带电粒子在交变电场中的偏转...............................................................................................................3
题型03 带电粒子在复合场中的直线运动问题.................................................................................................3
题型04 带电粒子在复合场中的类平抛问题.....................................................................................................6
题型05 带电粒子在复合场中的单摆和圆周问题............................................................................................7
题型06 带电粒子在电场中的运动学、能量和动量问题.............................................................................11
02 核心突破练............................................................................................................................................16
03 真题溯源练............................................................................................................................................33
01 带电粒子在交变电场中的直线运动
1．（2025·黑龙江·模拟测试）如图甲所示，两平行正对的金属板A、B 间加有如图乙所示的交变电压，
一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处。若在t0
时刻由静止释放该粒子，
关于该粒子的运动正确的是（ ）
A．一开始向左运动，最后打到A 板上
B．一开始向右运动，最后打到A 板上
C．一开始向左运动，最后打到B 板上
D．一开始向右运动，最后打到B 板上
【答案】B
【详解】若在
时刻由静止释放该粒子，开始时A 板电势高，则带电粒子先加速向B 板运动，再
减速运动至零，然后再反方向向左加速运动、再减速运动至零，如此反复运动，每次向右运动的距离小于
向左运动的距离，最终打在A 板上。
故选B。
2．（多选）匀强电场的电场强度E 随时间t 变化的图像如图所示。当
时，在此匀强电场中由静止
释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．3s 末带电粒子回到原出发点
C．3s 末带电粒子的速度不为零
D．前3s 内，静电力做的总功为零
【答案】AD
【详解】A．带电粒子由静止释放后，在
时间内，由牛顿第二定律可知粒子的加速度大小为
在
时间内，粒子的加速度大小为
可知粒子由静止先以
加速度大小加速2s，再以
加速度大小减速1s，由于
，可知此时粒子速度
是零，同理在
时间内由静止又以
加速度大小加速2s，再以
加速度大小减速1s，此时粒子速度是
零，因此粒子在
时间内，带电粒子将始终向同一个方向运动，其速度时间图像如图所示，
A 正确；
B．由带电粒子的速度时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3s 末带电粒子回不到原出
发点，B 错误；
C．由带电粒子的速度时间图像可知，3s 末带电粒子的速度是零，C 错误；
D．在前3s 内，由动能定理可知
前3s 内，静电力做的总功是零，D 正确。
故选AD。
02 带电粒子在交变电场中的偏转
3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）如图（a）所示，在矩形MNQP 区域内有平行于MP 的匀强电场，
一电荷量为
、质量为m 的带电粒子（不计粒子重力）以初速度
从M 点沿MN 方向进入匀强电场，经
时间
刚好从Q 点射出，
。取匀强电场方向由M→P 为正方向，使匀强电场的电场强度按
图（b）或图（c）所示做周期性变化，图中
为未知量，现使该粒子在
时刻仍从M 点以
射入电场，
下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
的大小为
B．若电场按图（b）做周期性变化，则粒子到达NQ 边界上的位置与Q 相距
C．若电场按图（b）做周期性变化，则粒子到达NQ 边界时的速度大小为
D．若电场按图（c）做周期性变化，则粒子到达NQ 边界时的位置与Q 相距
【答案】AD
【详解】A．对粒子分析，粒子沿MN 方向做匀速直线运动，由运动学知识有
沿电场方向做匀加速直线运动，由运动学知识有
对粒子受力分析，由牛顿第二定律有
联立解得
，A 正确；
BC．若电场按图（b）做周期性变化，沿MN 方向做匀速直线运动，有
沿电场线方向，前
做匀加速直线运动，有
，
时间内，沿电场线方向做匀速直线运动，有
联立解得粒子到达NQ 边界上的位置与Q 相距
粒子到达NQ 边界时的速度大小为
，B 错误，C 错误；
D．若电场按图（c）做周期性变化，沿MN 方向做匀速直线运动，有
沿电场线方向，前
做匀加速直线运动，有
，
时间内，沿电场线方向做匀减速直线运动，有
，
联立粒子到达NQ 边界时的位置与Q 相距
，D 正确。
故选AD。
4．（2025·辽宁·三模）某同学为研究带电粒子的运动情况，通过仿真模拟软件设计了如图甲所示的实
验，装置由放射源、速度选择器、平行板电容器三部分组成。放射源P 靠近速度选择器，能沿水平方向发
射出不同速率的某种带电粒子，其中某速率的带电粒子能恰好做直线运动通过速度选择器，并沿平行于金
属板A、B 的中轴线
射入板间。已知速度选择器中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁
场，电场强度为E，磁感应强度为B．平行板电容器的极板A、B 长为L，两板间加有如图乙所示的交变电
压。不计粒子重力及相互间作用力，忽略边缘效应，以下说法中正确的是（ ）
A．从P 点射出的粒子一定带正电
B．只增大速度选择器中的电场强度E，仍能沿中轴线
射入平行板电容器的粒子，通过A、B 板的
时间不变
C．若
时刻粒子恰好沿
方向进入平行板电容器，则粒子飞出平行板电容器的方向不可能沿
方向
D．若t=0 时刻沿
进入平行板电容器的粒子离开电容器时方向也平行于
，则
【答案】D
【详解】A．无论粒子带正电还是负电都可以满足电场力和洛伦兹力平衡，因此不能确定粒子一定带正电，
A 错误；
B．根据粒子通过速度选择器的速度
增大电场强度E，速度也会增大，根据通平行板电容器的时间
可知，时间会减小，B 错误；
C．在
时刻进入电容器的粒子，在交变电场中经
时飞出的粒子，运动方向平行
于
，C 错误；
D．粒子在电容器中运动的时间
若粒子离开电容器时方向仍平行于
，则说明粒子在电容器中运动的时间是交变电压周期T 的整数倍，
即
，则
，D 正确。
故选D。
03 带电粒子在复合场中的直线运动问题
5．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板
正中有一小孔，初始时不带电。距小孔正上方高h 处不断有质量为m，电荷量为+q 的小液滴由静止滴落，
当带电液滴接触到下极板后会把电量全部传给极板，直到液滴不能到达下极板时停止释放液滴（空气阻力
忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g）。求：
（1）小液滴到达小孔处的速度；
（2）电容器所带电荷量的最大值；
（3）最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）因电容器上方无电场，故液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律得
解得
（2）当带电液滴刚好不能到达电容器下极板时电容器的电量达到最大，对刚好不能到达电容器下极板的
带电液滴运用动能定理得
根据
解得
（3）液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律
解得
液滴在电容器内部做匀变速运动，由运动学规律
解得
故最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间为
04 带电粒子在复合场中的类平抛问题
6．（2025·黑龙江·模拟预测）（多选）如图，不带电的平行板电容器正对水平放置，上极板接地，板
长为L，板间距离为d。左侧有质量为m、电荷量为
的油滴从两板正中间位置以速度
进入平行板，其
中第一滴油滴恰好落在下极板的中心位置O，前一滴油滴落在下极板上后，后一滴相同的油滴仍从同一位
置以相同速度进入平行板，第N 滴油滴恰好从下极板右边缘射出。已知电容器的电容为C，重力加速度大
小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．油滴进入平行板的速度
B．两板间的最大电压为
C．落在下极板上的油滴数
D．若保持油滴射入位置不变，仅将上极板下移，则落在下极板上的油滴数不变
【答案】BD
【详解】A．第一滴油滴在极板间做平抛运动，水平方向
竖直方向
解得
故A 错误；
BC．第N 滴油滴恰好从下极板右边缘射出，在水平方向
竖直方向
由牛顿第二定律得
极板间的电势差
解得
，
故B 正确，C 错误；
D．电容器的电容
落在下极板上的油滴滴数
解得
落在下极板上的油滴数与板间距离无关，仅将上极板下移，落在下极板上的油滴数不变，故D 确。
故选：BD
7．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，竖直平面内存在一匀强电场，面内有一圆心为O、半径为R 的
圆，MN 为圆的一条直径。质量为m、电荷量为
的粒子从M 点以速度v 水平射入电场，速度方向与MN
夹角
，一段时间后粒子运动到N 点，速度大小仍为v，不计粒子重力。则（ ）
A．电场强度的方向沿MN 方向
B．粒子在初速度方向做匀速直线运动
C．匀强电场的场强大小
D．若仅改变粒子入射速度大小，使粒子离开圆形区域的电势能最小，则入射速度大小为
【答案】D
【详解】A．从M 到N 粒子动能不变，电场力做功为0，所以MN 为等势线，由于粒子带正电且所受电场
力大致向下，所以电场强度方向垂直MN 斜向左下，故A 错误；
B．电场力可分解为水平向左和竖直向下，则粒子在初速度方向做匀减速直线运动，故B 错误；
C．粒子做类似斜抛的运动，沿MN 方向，粒子做匀速运动，则有
垂直MN 方向有
根据牛顿第二定律得
联立解得匀强电场的场强大小为
故C 错误；
D．如图所示，当粒子运动到P 点时，电势能最小。
则有
，
，
结合C 项解得
故D 正确；
故选D。
8．（2025·辽宁·模拟预测）空间中某一竖直面内存在水平方向的匀强电场，如图所示，将一质量为
、
电荷量为
的小球从地面上的
点先后两次抛出，第一次抛出时，速度方向与竖直方向的夹角为
，之
后小球又回到
点；第二次竖直向上抛出，之后小球回到地面上另外一点，运动都在同一竖直面内，速度
大小均为
，地面水平，不计空气阻力，重力加速度为
。
(1)求匀强电场的大小；
(2)求第二次抛出落地时的速度大小；
(3)小球按第一次的角度抛出，同一竖直面内调整匀强电场，使小球仍然能够落回抛出点
，求强电场的最
小值和方向。
【答案】(1)
(2)
(3)
，方向与地面成
斜向右上
【详解】（1）第一次抛出，小球能返回到
点，说明重力与电场力的合力与
的方向相反，则有
解得
（2）小球竖直方向做竖直上抛运动有
水平方向匀加速运动有
又
，
解得
（3）当电场方向与第一次抛出的初速度方向垂直时电场强度最小，如图所示
则有
电场强度的最小值为
方向与地面成
斜向右上。
05 带电粒子在复合场中的单摆和圆周问题
9．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一
根长为
的绝缘细线，细线一端固定在
点，另一端系一质量为
的带电小球。小球静止时细线与竖直方
向成
角，此时让小球获得初速度且恰能绕
点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为
，
不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最左侧时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】AC
【详解】A．对小球进行受力分析，如图所示
由平衡关系可知
解得
故A 正确；
B．小球静止时细线与竖直方向成
角，则A 点为小球绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等
效最高点
A 点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知
动能
故B 错误；
C．小球运动至圆周轨迹的最左侧时电势最低，通过受力分析可知小球带负电，故圆周轨迹的最左侧处电
势能最大，由能量守恒定律可知，机械能最小，故C 正确；
D．故圆周轨迹的最左侧处电势能最大，小球从初始位置开始，在竖直平面内沿逆时针方向运动一周的过
程中，其电势能先减小后增大再减小，故D 错误。
故选AC。
10．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，固定一由
内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆弧的圆心为O，竖直半径
，B 点和地面
上A 点的连线与地面成
角，
。一质量为m、电荷量为q 的小球（可视为质点）从地面上A
点以
的初速度沿AB 方向做直线运动，恰好无碰撞地从管口B 进入管道BD 中。重力加速度大小为
g。求：
(1)匀强电场的场强E 的大小和小球在B 点速度大小：
(2)小球在圆弧BD 间最小速度值。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）小球从地面上A 点以
的初速度沿AB 方向做直线运动，说明小球所受合外力与速度方
向在一条直线上，小球的受力情况如图所示
小球带正电，则
得
把电场力与重力的合力看成等效重力F，则
A 到B 过程由动能定理得
解得
（2）小球在圆弧BD 间最小速度值出现在等效最高点C，如图所示
B 到C 过程由动能定理得
解得
06 带电粒子在电场中的运动学、能量和动量问题
11．如图，足够长的平行金属板M、N 竖直放置，之间的电场可以看为匀强电场。A、B 为M、N 板上
两点，且A、B 在同一水平线上，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从A 点以初速度v 竖直向上抛出，
恰好运动到B 点，动能增加量为
，电势能减少量为
。将该粒子再次从A 点沿水平方向以初速度v 水平
抛出（重力加速度为g，忽略空气阻力，忽略边缘效应），该粒子到达N 板时（ ）
A．动能增加量等于
，电势能减少量等于
B．动能增加量大于
，电势能减少量等于
C．动能增加量等于
，电势能减少量大于
D．动能增加量大于
，电势能减少量大于
【答案】B
【详解】带正电粒子从A 点以初速度v 竖直向上抛出，恰好运动到B 点，由于A、B 在同一水平线上，可
知重力做功为0，根据动能定理可得动能增加量为
根据功能关系可知电势能减少量为
将该粒子再次从A 点沿水平方向以初速度v 水平抛出，粒子打到N 板的位置一定位于B 点下方，根据动能
定理可得动能增加量为
根据功能关系可知电势能减少量为
故选B。
12．（2025·黑龙江·一模）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一质量m=20g、电荷量
的小球以大小v0=20m/s 的初速度与水平方向成θ=30°的夹角由K 点斜向上射出，小球由K 点
运动至最高点P（图中未画出）时，其机械能的增加量为13J。取g=10m/s2，忽略空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．由K 至P，小球的电势能增加了13J
B．由K 至P，小球的重力势能增加了4J
C．小球在P 点的速度大小为40m/s
D．电场强度的大小为
【答案】C
【详解】A．由K 至P，小球的机械能的增加量为13J，则电场力做了13J 正功，小球的电势能减少了13J，
故A 错误；
B．小球竖直方向上的初速度
小球竖直方向上受重力作用，则小球竖直方向的分运动为竖直上抛运动，则由K 点运动至最高点P 的时间
为
上升的高度
由K 至P，小球的重力势能增加了
故B 错误；
C．取K 点所在水平面重力势能为零，由K 至P，根据已知条件可得
解得
故C 正确；
D．小球水平方向做匀加速直线运动，在K 点水平分速度为
由于P 点是最高点，此时竖直分速度为零，水平分速度为v，根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得
解得
故D 错误。
故选C。
13．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，在一个边长为l 的正方形abcd 区域内存在沿该平面的匀强电
场E，方向未知。某时刻，一质量为m、电荷量为q 的带电小球从a 点沿ab 方向以速度v 进入该区域，经
过一段时间，小球从bc 的中点e 处射出，经过e 点时的速度大小也为v。已知重力加速度大小为g，不计空
气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度先增大后减小
B．小球的速度先减小后增大
C．电场强度的最小值为
D．电场强度的最小值为
【答案】BC
【详解】AB．带电小球从a 点沿ab 方向以速度v 进入该区域，经过一段时间，小球从bc 的中点e 处射出，
经过e 点时的速度大小也为v，可建立等效重力场，显然ae 为等效水平面，等效重力垂直于ae 斜向右下方，
故小球的速度先减小后增大，故A 错误，B 正确；
CD．如图
当电场力与合力垂直时，电场强度最小，根据几何关系可知
根据几何关系可知
故C 正确，D 错误。
故选BC。
14．（2025·内蒙古赤峰·二模）（多选）喷墨打印机的原理图如图所示。板间电压可以调整，板间距
为
。在两板间的右侧
区域内，存在垂直纸面向里的磁感强度为
的匀强磁场。在两板间的左侧存在一
个可以上下移动的喷嘴，喷出水平的质量均为
的带电墨滴。电源电压为
时，墨滴在两板间无磁场区域
内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动。重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．墨滴带正电
B．墨滴所带电荷量为
C．墨滴从左侧飞出的最大速度为
D．墨滴从右侧飞出的最小速度
【答案】CD
【详解】AB．根据题意，电源电压为
时，上极板带正电，下极板带负电，可知电场方向向下，墨滴在两
板间无磁场区域内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动，对墨滴受力分析可知受到重力和电场力，两力合
力为零，可知墨滴受到电场力竖直向上与电场方向相反，可知墨滴带负电，根据平衡条件有
而
联立解得
故AB 错误；
CD．墨滴进入电场，磁场共存区域后，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力
解得
从上极板边缘射进的墨滴最容易从两板间射出，当刚好从左侧飞出，有最大速度，如图所示
则有
解得
同理，墨滴刚好从右侧飞出，有最小速度，由几何关系
由
联立解得
故CD 正确。
故选CD。
15．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，平行金属板竖直放置，M、N 极板分别带等量异号电荷，
两板间电场可看作匀强电场，两板间距离为d。长为L（L>d）的绝缘轻质细线一端固定在O 处，另一端栓
接质量为m、带电量为q 的小球，如图所示保持静止状态，此时细线与竖直方向成θ 角（θ<5°），小球始
终在板间运动，不计空气阻力，已知两极板足够长，重力加速度为g，不计小球半径。下列说法正确的是
（ ）
A．两板间的电场强度大小为
B．小球带正电，若把N 板向右水平移动一小段距离，则θ 角变小
C．剪断细线后，小球以加速度
做匀加速直线运动，小球运动到N 板的时间为
D．若电场瞬间消失，则小球由图示位置开始第一次运动到M 极板瞬间所用的时间为
【答案】C
【详解】A．由于小球处于静止状态，根据平衡条件可得
所以
故A 错误；
B．根据平衡条件可知，小球受到水平向右的电场力，所以小球带正电，当把N 板向右水平移动一小段距
离，根据
可知，电容C 减小，Q 不变，则U 增大，E 不变，所以θ 角不变，故B 错误；
C．根据牛顿第二定律可得
所以
小球做匀加速直线运动，则
所以
故C 正确；
D．若电场瞬间消失，则小球由图示位置开始第一次运动到M 极板瞬间所用的时间为
所以
故D 错误。
故选C。
16．（2023·黑龙江·一模）（多选）如图甲，真空中的两平行金属板间距为d、板长为L。A、B 两板
间加上如乙图所示的周期性变化电压。在t=0 时刻，一质量为m、电量为e 的电子以初速度v0从两板正中
间沿板方向射入电场，并在t=2T 时刻从板间射出，不计电子重力。下列说法正确的是（ ）
A．电子从板间射出时的速度大小为v0
B．电子在板间运动时，电场力的冲量不为零
C．电子从板间射出时机械能增加eU0
D．若电子在
时刻进入，将会水平射出
【答案】AD
【详解】AC.0-2T 内电场力做功为0，机械能增加量为0，所以电子从板间射出时的速度大小为v0，故A 正确，
C 错误；
B.电子在板间运动时，电场力的冲量为
故B 错误；
D.
时刻射入的电子，在
时间内，电子受到向上的电场力，向上做匀加速运动，在
时间内，
电子受到向下的电场力，向上做匀减速运动，在
时刻，电子的速度为
，方向水平。在
时间
内，电子受到向的下电场力，向下做匀加速运动，在
电子受到向上的电场力，向下做匀减速运动，
在
时刻，电子的速度为
，方向水平。如此反复，最后粒子在
时刻离开金属板，速度为
，
方向水平。故D 正确。
故选AD。
17．（2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）如图（a）所示，两水平平行正对的金属板M、N 向距为
d，加有如图（b）所示的交变电压。一质量为m 电荷量为q 的带正电的微粒，t=0 时刻微粒在两板正中间
的P 点以速度v0平行金属板运动，3t0时间内粒子未到达极板。则在0-3t0时间内，下列说法正确的是（ ）
A．0-t0时间内，微粒偏向M 板运动
B．t=2t0时，重力对微粒做功的瞬时功率为
C．0-2t0时间内，电场力对微粒做的功为
D．0-3t0时间内，微粒动能增量为
【答案】AC
【详解】A．0~t0时间内，UMN<0，电场由N 指向M，粒子带正电，因此受电场力方向指向M 板，故A 正确；
B．0~t0时间内，对粒子受力分析，粒子所受电场力为
方向竖直向上，因此此时合力的大小为mg，方向竖直向上，根据牛顿第二定律，粒子的加速度大小为g，
方向竖直向上。t0~2t0时间内，电场力方向改变，大小未改变，此时合力向下，大小为3mg，根据牛顿第二
定律，此时粒子的加速度大小为3g，方向竖直向下，根据运动学公式，t=2t0时粒子在竖直方向的速度大小
为
方向竖直向下，根据瞬时功率的公式
重力的瞬时功率为
故B 错误；
C．粒子在0~t0时间内的竖直位移为
方向竖直向上．粒子在t0~2t0时间内的竖直位移为
方向竖直向下，则0~2t0时间内，粒子竖直方向的总位移为0，则重力做的总功为0。根据动能定理，电场
力对微粒做的功为
故C 正确；
D．2t0~3t0时间内，粒子的受力与0~t0相同，故加速度与0~t0时间内相同，又因为
，
的速度为
方向竖直向下，则0~3t0时间内，微粒动能增量为
故D 错误。
故选AC。
18．（2024·辽宁·一模）如图（a）所示，两平行正对的金属板间距为d，两板间所加电压如图（b）所
示。在两板左侧中间位置O 点有一个粒子源，能沿两板中轴线
向外持续射出质量为m、电荷量为
初速度为
的粒子。已知极板长度为4d，不计粒子重力及粒子间的相互作用，
时刻两板间电场方向竖
直向下，此时射入板间的粒子恰好能从极板右侧射出，则（ ）
A．
时刻射入极板间的粒子离开电场时沿电场方向的位移为d
B．
时刻射入极板间的粒子离开电场时速度方向仍沿
方向
C．
时刻射入极板间的粒子将打在极板上
D．粒子从右侧射出时的最大动能为
【答案】B
【详解】A．粒子在电场中运动的时间为
时刻射入极板间的粒子竖直方向先向下加速，后向下减速，因粒子恰能从极板右侧射出，则离开电场
时沿电场方向的位移为
d，故A 错误；
B．由对称性可知，
时刻射入极板间的粒子离开电场时沿电场方向的速度减为零，则速度方向仍沿
方向，故B 正确；
C．
时刻射入极板间的粒子竖直方向先向上加速时间为
，然后向上减速时间
，则最终粒子恰能
从上极板边缘飞出，故C 错误；
D．由运动的对称性可知，无论何时进入电场的粒子，竖直方向都要经过先加速后减速到零，然后反向加
速后反向减速到零，即粒子出离电场时沿电场方向的速度均为零，可知粒子从右侧射出时的动能均为
故D 错误。
故选B。
19．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L 的绝
缘细线一端固定于O 点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静置于M 点。现给小
球一垂直于OM 向上的初速度
，使其在竖直平面内绕O 点恰好做完整的圆周运动，AB 为圆的竖直直径。
已知匀强电场的电场强度大小为
，重力加速度为g。当小球第二次运动到B 点时细线突然断裂，则
下列说法正确的是（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为mgL
B．小球第一次到B 点时，细线上的力大小为4mg
C．细线断裂后，小球动能的最小值为
D．从细线断裂到小球的电势能与在B 点时的电势能相等的过程中，重力势能减少了
【答案】ACD
【详解】A．小球静置于
点，小球所受重力与静电力的合力大小为
根据牛顿第二定律有
解得等效重力加速度
小球恰好做完整的圆周运动时，在等效最高点的小球具有最小动能，初始状态下，小球静置于
点，则该
点是小球的等效最低点，
点关于圆心对称的点是等效最高点，在等效最高点小球速度最小，且满足
解得最小动能
故A 正确；
B．设小球在
点时细线与竖直方向的夹角为
，则有
解得
小球运动到
点过程，根据能量守恒定律有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
故B 错误；
C．细线断裂后小球做类斜上抛运动，当沿合力方向速度为0 时，速度最小，则速度的最小值
故最小动能
故C 正确；
D．细线断裂后，小球水平方向只受静电力，小球先做减速运动，后做加速运动，当细线断裂后，小球水
平方向的位移为0 时，小球的电势能与在
点时的电势能相等，设所用时间为，以水平向右为正方向，
则有
，
解得
竖直方向只受重力，则有
则重力做的功
即重力势能减少了
，故D 正确。
故选ACD。
20．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）长为
的绝缘轻细线一端连接质量为
、电荷量为
的带正电小球，
另一端固定在光滑绝缘水平桌面上的
点，整个空间内存在着平行于桌面的匀强电场，带电小球恰好能在
桌面内沿顺时针做圆周运动，俯视图如图甲所示，
为轨迹圆的一条直径。以
点为起始点，小球运动
过程中的电势能
与小球运动的路程之间的关系如图乙所示，其中
。下列说法正确的是（ ）
A．小球做简谐运动
B．B．从
点到
点电场力对小球不做功
C．小球运动过程中速度的最小值为
D．小球运动过程中所受细线拉力的最大值为
【答案】C
【详解】A．带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动，则小球做圆周运动，故A 错误；
B．由图像乙可知当小球运动
时，转过的角度
电势能最大，则圆周上电势能最大的位置即为该
点，垂直于该点的切线方向，如下图所示即为电场线方向，小球转过
的位置所在的直径与圆周的交点
为同一等势面上的点（图中虚线
为等势线）。
可知小球转过
的过程中
电场强度的大小
由对称性可知
点的电势
从
点到
点电场力对小球做功
故B 错误；
C．带电小球恰好能在桌面内沿顺时针做圆周运动，在运动到
的位置取得速度的最小值，此时电场力
提供小球做圆周运动的向心力，即
解得
故C 正确；
D．小球运动过程中所受细线拉力的最大值在运动到
的位置取得，此时速度也最大。根据动能定理
在该点处合外力提供向心力，即
解得
故D 错误。
故选C。
21．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，ABCD 为竖直平面内的绝缘光滑轨道，其中AB 部分为倾
角
的斜面，BCD 部分为半径为R 的四分之三圆弧轨道，与斜面平滑相切于B 点，CD 为直径，整个
轨道固定在水平向右的匀强电场中。现将一电荷量为＋q、质量为m 的小滑块（视为质点）从斜面上的A
点由静止释放，小滑块在沿斜面加速的过程中对斜面始终没有压力，A、B 两点间的距离
，重力加
速度大小为g。
(1)求A、B 两点间的电势差
；
(2)小滑块通过C 点时求圆弧道对小滑块的支持力大小
；
(3)已知小滑块恰好通过D 点，求小滑块通过D 点后落在AB 上的落点到B 点的距离L。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小滑块在沿斜面加速的过程中对斜面始终没有压力，可知电场力与重力的合力方向沿斜面
向下，则有
解得场强大小为
则A、B 两点间的电势差为
（2）小滑块从A 点到C 点过程，电场力与重力的合力沿斜面向下，大小为
根据动能定理可得
在C 点，根据牛顿第二定律可得
联立解得圆弧道对小滑块的支持力大小为
（3）已知小滑块恰好通过D 点，在D 点电场力与重力的合力刚好提供向心力，则有
解得小滑块通过D 点速度大小为
小滑块离开D 点后做类平抛运动，从D 点到落在AB 上的落点过程，沿
方向有
沿合力方向有
，
联立解得
由几何关系可知，落在AB 上的落点到B 点的距离为
22．（2024·吉林长春·三模）如图（a），空间有一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电量为
的
小球用一长为L 的绝缘轻绳悬挂于O 点，其静止时轻绳与竖直方向的夹角
，重力加速度为g，小球
可视为质点，忽略空气阻力。（已知：
）
（1）求电场强度E 的大小和小球静止时轻绳对其拉力
的大小；
（2）若将小球拉到最低点，给小球垂直纸面向里的初速度
，使小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，
如图（b）所示，求小球初速度
的大小。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）小球静止时有
可得
根据几何关系
可得
（2）由题可知，小球做圆锥摆运动，运动平面与重力和电场力的合力
垂直，所以
根据牛顿第二定律可知
解得
23．（2025·黑龙江·模拟预测）如图甲所示，两板长和板间距均为L 的平行板M、N 水平固定放置，
在两板间加上如图乙所示的交变电压，图中
未知，T 已知，在两板中线最左端有一个粒子源P，沿中线
向右不断地射出初速度相同且质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，所有粒子穿过两板的时间均为T，
在
时刻射入的粒子恰好从N 板右侧边缘射出电场；在M、N 板的右侧有一边长为L 的正方形区域
ACDE，AC、DE 分别与M、N 板平齐，正方形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，所有粒子进入正方形
区域后经磁场偏转均刚好经过D 点，不计粒子的重力。求：
（1）粒子从P 点射出的初速度大小；
（2）
的大小；
（3）正方形区域内匀强磁场的磁感应强度大小及磁场的最小面积。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）根据题意可知，粒子在
点射出的速度大小
（2）从
时刻射入的粒子恰好从N 板的右侧边缘射出，则
根据牛顿第二定律
解得
（3）所有粒子射出两板时的速度方向均沿水平方向，速度大小均为
所有粒子在
边以垂直
的方向进入正方形区域，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，根据磁聚
焦原理可知，粒子做匀速圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律
解得
磁场最小面积如图所示
根据几何关系，最小面积
1．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1 所示。从离子
源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置
在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，
当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是
（ ）
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【详解】A．粒子在加速电场中被加速时
在偏转电场中做类平抛运动，则
解得
选项A 错误；
B．当
时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
解得
选项B 正确；
C．根据
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到
A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
2．（2024·浙江·高考真题）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面
的M、N 点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD 垂直MN 放置，其圆心O 在MN 的中点，半径
为R、AC 和BD 分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q 的小球套在圆环上，从A 点沿圆环以初
速度v0做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球从A 到C 的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B 点时的加速度
D．小球在D 点受到圆环的作用力方向平行MN
【答案】C
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，
则小球从A 到C 的过程电势增加，电势能增加，故A 错误；
B．当场强满足
时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B 错误；
C．根据动能定理
可求出小球到B 点时的速度vB，根据
可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律
可得小球的切向加速度
，再根据矢量合成可得B 点的加速度为
故C 正确；
D．小球在D 点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN 方向的等量异种点电荷的
电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN 平行，而另一
分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D 点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D 错误。
故选C。
3．（2025·福建·高考真题）（多选）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B 与水平向右的匀强电场E，一
带电体在复合场中恰能沿着MN 做匀速直线运动，MN 与水平方向呈45°，NP 水平向右。带电量为q，速度
为v，质量为m，当粒子到N 时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P 点，重力加速度为
,则（ ）
A．电场强度为
B．磁场强度为
C．NP 两点的电势差为
D．粒子从N→P 时距离NP 的距离最大值为
【答案】BC
【详解】AB、带电体在复合场中能沿着
做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。
由受力平衡可知
解得电场强度
，磁感应强度
，故A 错误，B 正确。
C、在
点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。
且加速度
粒子到达
点时，位移偏转角为
，故在
点，速度角的正切值
所以粒子在
点的速度
到
过程，由动能定理，有
解得
两点间的电势差
，C 正确；
D、将粒子在
点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且
故粒子能向上运动的最大距离
D 错误；
故选BC。
4．（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的
平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A 点处，由
静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B 点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬
间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k 倍（
）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B 点与左平板的距离为
l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B 点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A 点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)若
时，
，若
时，
【详解】（1）根据题意可知，颗粒在竖直方向上做自由落体，则有
水平方向上做匀加速直线运动，则有
，
解得
（2）根据题意可知，颗粒与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为
水平分速度为
则第一次碰撞后竖直分速度为
设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为
，则有
由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直，则有
联立解得
（3）根据题意可知，由于
，则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板，若颗粒第二次碰撞是和下绝缘
板碰撞，设从第一碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为
，则有
水平方向上做匀加速直线运动，加速度为
水平方向运动的距离为
则电场对颗粒做的功为
若
，则颗粒第二次碰撞是和右侧金属板碰撞，则颗粒从第一次碰撞到第二次碰撞过程中水平方向
位移为
，颗粒从A 点开始运动到第二次碰撞过程中，电场对颗粒做的功为
5．（2024·广东·高考真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀
强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板左
端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁
场，并在
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的
倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
【答案】（1）正电；
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运
动的周期为
根据洛伦兹力提供向心力
得
则粒子所带的电荷量
（2）若金属板的板间距离为D，则板长
粒子在板间运动时
出电场时竖直速度为零，则竖直方向
在磁场中时
其中的
联立解得
，
（3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，
在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电
场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电
场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
6．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
