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题型9 电磁感应建模问题
1.(11 分)某物理兴趣小组设计了一个电流天平,如图甲所示。“E”形磁体的两侧为S 极,中心为N 极,
磁极之间的磁场是沿半径向外的辐向磁场,磁场只分布在图乙左右各α=60°的范围内,距离中心r 处
的磁感应强度大小为B=C
r
(C 为已知常数);一半径为r 的圆形线圈P,套在一个绝缘框架上,与上方的
秤盘连为一体,线圈两端C、D 与外电路连接,秤盘与磁体N 极之间连接一轻质弹簧。当把待测重物
放在秤盘上时,秤盘和线圈一起向下运动,弹簧被压缩,随后通过CD 两端对线圈供电,使秤盘和线圈恢
复到未放重物时的位置并静止,由此时对应的供电电流便可确定重物的质量。已知线圈匝数为n,电
阻为R,弹簧劲度系数为k,秤盘、框架和线圈的总质量为m0,空气阻力忽略不计。
(1)外电路对线圈P 供电时,电流要从C 端还是D 端流入?若供电的电流为I,每一匝线圈受到安培力的
长度为多少?待测重物的质量m 是多大?
(2)图丙是一备用线圈P',材料、匝数与线圈P 完全相同,但半径r'比线圈P 的半径r 要大,当使用备用
线圈测量重物质量时,通过计算说明测量值会发生怎样的变化?(“变大”“变小”还是“不变”)
(3)如果把供电电源撤去、重物取走,将线圈P 的C、D 两端短接,待秤盘静止后,再将质量为m1的重
物轻轻置于秤盘上,秤盘会做阻尼振动,振动图像如图丁所示,m1、A0为已知,求:
①从把m1的重物轻轻放秤盘上到最终秤盘停止运动,线圈中产生的焦耳热;(已知弹簧的弹性势能
Ep=1
2
kx2,k 为弹簧的劲度系数,x 为弹簧的形变量)
②t1~t2时间内安培力的冲量大小。(t1时刻x=0,t2时刻x=A0)
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2.(11 分)如图甲为永磁式径向电磁阻尼器,由永磁体、定子、驱动轴和转子组成,永磁体安装在转子
上,驱动轴驱动转子转动,定子上的线圈切割“旋转磁场”产生感应电流,从而产生制动力。如图乙所
示,单个永磁体的质量为m,长为L1,宽为L2(宽度相对于所在处的圆周长度小得多,可近似为一段小圆
弧)、厚度很小可忽略不计,永磁体的间距为L2,永磁体在转子圆周上均匀分布,相邻磁体磁极安装方
向相反,靠近磁体表面处的磁场可视为匀强磁场,方向垂直于线圈平面向上或向下,磁感应强度大小为
B,相邻磁体间的磁场互不影响。定子的圆周上固定着多组金属线圈,每组线圈有两个矩形线圈组成,
连接方式如图乙所示。每个矩形线圈的匝数为N,电阻为R,长为L1,宽为L2,线圈的间距为L2。转子半
径为r,转轴及转子质量不计,定子和转子之间的缝隙忽略不计。
(1)求电磁阻尼器中线圈的个数n1和永磁体的个数n2;
(2)当转子的角速度为ω1时,求流过每组线圈电流I 的大小:
(3)若转子的初始角速度为ω0,求转子转过的最大角度θm;
(4)若在外力作用下转子加速,转子角速度ω 随转过的角度θ 的图像如图丙所示,求转过θ1过程中外力
做的功W 外。
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3.(11 分)(1)图甲为单层螺线管的截面图,其轴线上任意一点沿轴线方向的磁感应强度大小为B10=1
2
μ0n0I[
1
2 l+ x
√
r
2+(
1
2 l+ x)
2 +
1
2 l - x
√
r
2+(
1
2 l - x)
2]
,其中I 为线圈中的电流,n0为螺线管单位长度的线圈匝数,r
为螺线管的半径,x 为螺线管中心O 到该点的距离,l 为螺线管的长度,μ0为常量。若螺线管的长度l 远
远大于螺线管的半径r,求螺线管轴线上的磁感应强度大小。
(2)图乙为利用螺线管制成的定位装置的部分简化模型图,两螺线管的半径均为r1、长度均为
l1(l1≫r1),管中的电流大小为I1,螺线管单位长度的线圈匝数为n1。两管所夹区域间有两平行放置的金
属导轨(电阻不计),导轨左端连接阻值为R 的定值电阻,导轨间距为2r1,垂直于导轨放置一电阻不计的
导体棒,导体棒以速度v0匀速向右运动。两螺线管间的磁场可看成匀强磁场,磁感应强度与轴线处的
磁感应强度相同,管外侧的磁场可忽略。
①取导体棒运动到螺线管最左侧时为t=0 时刻,求电阻两端的电压与时间的关系。
②求导体棒在磁场区域运动过程中通过电阻R 的电荷量。
③若规定电流沿逆时针方向(从上向下看)通过回路时为“1”,顺时针方向通过回路时为“0”,某位置
从左到右的编号为“1010010”,请在图丙(俯视图)中标出正确的磁感应强度方向(“×”表示垂直于纸面
向里,“·”表示垂直于纸面向外)。
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参考答案
题型9 电磁感应建模问题
1.【答案】 (1)D 端流入 2π r
3
2π nIC
3 g
(2)不变 (3)①m1
2 g
2
2k
②4 n
2π
2C
2 A0
9 R
【解析】 (1)当线圈P 通电后在磁场中受到安培力作用,结合题意,安培力方向应该竖直向上,由
左手定则可知,电流应从D 端流入。
每匝线圈在磁场中受到安培力的有效长度为2π r
3
由平衡条件得
mg=nBI2π r
3
将B=C
r
代入上式可得
m=2π nIC
3 g
。
(2)设备用线圈P'在距离N 极中心处磁感应强度为B',有
B'r'=C
由mg=nB'I·2π r '
3
可得m=2π nIC
3 g
测量重物质量与线圈半径无关,故测量值不变。
(3)①没放重物时,弹簧的压缩量
x1=m0 g
k
最终静止时,弹簧的压缩量
x2=(m0+m1)g
k
由能量守恒定律得
(m0+m1)g(x2-x1)=Q+1
2 k x2
2- 1
2 k x1
2
联立得Q=m1
2 g
2
2k
。
②安培力的冲量大小为
I 安=F安·Δt=nBI · 2π r
3
·Δt=2n π C I
3
·Δt
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平均电流
I =
B· 2n π r
3
·v
R
= 2n π C ·v
3 R
tt~t2时间内线圈向上运动的位移
A0=v·Δt
联立得
I 安=4 n
2π
2C
2 A0
9 R
。
2.【答案】 (1) π r
2 L2
π r
L2
(2) NB L1ω1r
R
(3) mR ω0
N
2B
2 L1
2
(4)π ω1θ1 N
2B
2 L1
2r
3
2 R L2
+ π mω1
2r
3
2 L2
【解析】 (1)依题意可知
n1=2π r
4 L2
= π r
2 L2
n2=2π r
2 L2
= π r
L2
。
(2)根据法拉第电磁感应定律,有
E=2NBL1ω1r
根据欧姆定律,有
I= E
2 R = NB L1ω1r
R
。
(3)根据安培力公式可知
F=2NBIL1=2 N
2B
2 L1
2ωr
R
。
规定安培力的方向为正方向,根据动量定理得
∑2 N
2B
2 L1
2ωr
R
Δt=mΔv
结合θ=ωt 可知
θm= mR ω0
N
2B
2 L1
2。
(4)一组永磁体在转过Δθ 过程中克服安培力做功
ΔW=FrΔθ=2 N
2B
2 L1
2r
2ω
R
Δθ
根据图像的面积可知一组永磁体转过θ1过程中克服安培力做功
W= N
2B
2 L1
2r
2ω1θ1
R
所有永磁体转过θ1过程中克服安培力做功
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W 总=2π r
4 L2
W=π ω1θ1 N
2B
2 L1
2r
3
2 R L2
所有永磁体转过θ1过程中动能的增加量
ΔEk=1
2
n2m(r ω1)
2= 1
2 × π r
L2
m(r ω1)
2= π mω1
2r
3
2 L2
转过θ1过程中外力做的功
W 外=W 总+ΔEk=π ω1θ1 N
2B
2 L1
2r
3
2 R L2
+ π mω1
2r
3
2 L2
。
3.【答案】 (1)μ0n0I
(2)①E=4μ0n1I1v0√2v0r1t - v0
2t
2(t ≤2r1
v0 )
②2π μ0n1 I 1r1
2
R
③见解析图
【解析】 (1)根据题意可知,螺线管的长度l 远远大于螺线管的半径r,由数学知识有
√
r
2+(
1
2 l+ x)
2
≈1
2
l+x,√
r
2+(
1
2 l - x)
2
≈1
2
l-x
则螺线管轴线上的磁感应强度大小为
B10=1
2
μ0n0I
1
2 l+ x
√
r
2+(
1
2 l+ x)
2 +
1
2 l - x
√
r
2+(
1
2 l - x)
2 =1
2
μ0n0I(
1
2 l+ x
1
2 l+ x
+
1
2 l - x
1
2 l - x)
=μ0n0I。
(2)①结合(1)中分析可知,单根螺线管轴线上的磁感应强度大小为
B1=μ0n1I1
则两螺线管所夹区域内的磁感应强度大小为
B1'=2μ0n1I1
设导体棒在螺线管间运动的时间为t,则导体棒到距螺线管最左端的距离为v0t,导体棒切割磁感
线的长度为
x'=2√r1
2-(r1- v0t )
2
导体棒产生的感应电动势为
E=B1'x'v0
导体棒穿过磁场的时间t0=2r1
v0
得E=4μ0n1I1v0√2v0r1t - v0
2t
2(t ≤2r1
v0 )。
②设导体棒在磁场区域运动过程中产生的平均感应电动势为E,回路中的平均电流为I,由法拉第
电磁感应定律,有E = ΔΦ
Δt
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由闭合电路欧姆定律,有I = E
R
则导体棒在磁场区域运动过程中通过R 的电荷量为
q=IΔt=2π μ0n1 I 1r1
2
R
。
③第1 个位置电流沿逆时针方向,导体棒向右运动,由右手定则可知磁感应强度方向垂直于纸面
向里,以此类推,磁场的方向如图所示。
