文档文本内容
微专题二 力学中三大观点的综合应用
目录
01 析•考情精解...................................................................................................................2
02 构•知能架构...................................................................................................................3
03 破•题型攻坚...................................................................................................................3
题型一 力学三大观点的综合应用....................................................................................................................3
真题动向
动力学观点：侧重多过程受力分析，常结合传送带、板块模型考查加速度与运动状态转
变。
动量观点：聚焦碰撞、爆炸等瞬时作用，强调系统动量守恒与冲量定理的精准应用。
能量观点：优先处理非匀变速与相对位移问题，突出机械能损失与内能转化的定量计
算。
必备知识
知识1 力学三大观点对比.........................................................................................................10
关键能力
能力1 解动力学问题的三个基本观点.....................................................................................11
能力2 力学规律的选用原则.....................................................................................................11
命题预测
考向1 力学三大观点解决综合问题.........................................................................................11
考向2 力学中的多过程组合问题.............................................................................................14
命题
轨迹
透视
从近三年高考试题来看，试题涵盖选择题及计算题，题目难度中等。
命题趋势：高考物理中“力学三大观点”的综合应用是高频核心考点，常以多过
程、多阶段情境为载体，如“传送带+弹簧+滑块”或“圆周运动+摩擦+能量损耗”
等复合模型。命题者偏好将牛顿运动定律用于瞬时加速度分析，动量观点处理碰
撞、冲量与系统动量守恒，能量观点则聚焦功能关系与机械能转化，三者在题干中
交替嵌套，尤其注重临界条件（如速度相等、恰好不滑动）的判断。近五年全国卷
中，该类题多出现在计算力学压轴题，分值较高，解题关键在于明确各阶段主导观
点，避免观点混用。
考点
频次
总结
考点
2025 年
2024 年
2023 年
力学中三大观点
的综合应用
每年均有涉及，考频较高
2026
命题
预测
预计在2026 年高考中将延续"基础+创新"的双重导向：一方面，传统模型如板块摩
擦、子弹打木块、弹簧振子等仍会是考查重点，但会通过增加变量（如非匀强场、
变质量系统）提升难度；另一方面，命题将更强化真实情境的物理建模能力，如新
能源汽车制动系统中的动能回收、航天器变轨中的动量与能量协同调控等，考查动
量守恒与能量转化的动态过程。题目还可能引入传感器数据或图像信息，要求考生
从非传统情境中剥离出三大观点的适用区间，并建立分段动力学方程。
素养
目标
1.掌握解决力学综合问题常用的三大观点。
2.会灵活运用三个观点解决力学综合问题。
核心
能力
掌握牛顿运动定律思想、动量观点思想、能量观点思想、模型构建方法、系统的思
想、守恒与转化的思想、整体法与隔离法等解题方法
题型一 力学三大观点的综合应用
1．（2025·天津·T11）如图所示，半径为R = 0.45m 的四分之一圆轨道AB 竖直固定放置，与水平桌面在B
点平滑连接。质量为m = 0.12kg 的玩具小车从A 点由静止释放，运动到桌面上C 点时与质量为M =
0.18kg 的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m 至D 点停止。A 点至C 点光
滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g 取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小车运动至圆轨道B 点时所受支持力FN的大小；
(2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v 的大小；
(3)组合体与水平桌面CD 间的动摩擦因数μ 的值。
【考向】力学三大观点的综合应用
【解题指导】准确划分运动阶段，明确各阶段适用的核心物理规律（机械能守恒、牛顿第二定律、动量
守恒、动能定理），并注意前后阶段物理量的衔接。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小车运动至圆轨道B 点时的速度大小为
，由机械能守恒定律，有
由牛顿第二定律，有
代入数据，联立解得
（2）小车与物块在C 点碰撞，在水平方向由动量守恒，有
代入数据，联立解得
（3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C 点匀减速运动至D 点静止，由动能定理，有
代入数据，联立解得
命题解读
新情境：以“玩具小车”在四分之一圆轨道和水平桌面上的运动为背景，构建了一个
包含圆周运动、碰撞、匀减速直线运动的连贯物理过程。情境贴近生活，易于学生想
象和理解物理过程。
新考法：多过程综合：本题将机械能守恒定律（A 到B）、牛顿第二定律（B 点圆周运
动向心力）、动量守恒定律（C 点碰撞）、动能定理（或匀变速运动学公式，C 到D 减
速）四大核心规律串联在一个题目中。模型衔接：重点考查学生对不同运动阶段（曲
线运动→碰撞→直线运动）之间速度、能量、动量如何传递与转化的理解。
新角度：基础规律的应用熟练度：不涉及复杂变形，直接考查对三大观点（能量、动
量、力与运动）基本公式的准确记忆和应用条件判断。分步计算与逻辑链条：强调解
题的步骤性，前一问的结果是后一问的已知条件，考查学生严谨的逻辑思维和计算能
力。
2．（2025·浙江·T17）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB 是倾角为
的斜轨道，
BC 是以恒定速率
顺时针转动的水平传送带，紧靠C 端有半径为R、质量为M 置于光滑水平面上的可动
半圆弧轨道，水平面和传送带BC 处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m 的物块，从轨道AB
上与B 相距L 的P 点由静止下滑，经传送带末端C 点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为
，
其余接触面均光滑。已知
，
，
，
，
，
。不计空气
阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块
(1)滑到B 点处的速度大小；
(2)从B 点运动到C 点过程中摩擦力对其做的功；
(3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度；
(4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。
【考向】力学三大观点的综合应用
【解题指导】细致分析物块在每个运动子过程中的受力与运动状态变化，灵活运用动能定理、动量守恒
和能量守恒处理复杂相互作用，并注意对数学结果的物理意义进行甄别。
【答案】(1)4m/s
(2)0.9J
(3)0.2m
(4)3N
【详解】（1）滑块从P 点到B 点由动能定理
解得到达B 点的速度
（2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功
（3）物块在传送带上加速运动的加速度为
加速到共速时用时间
在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度
（4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知
，
联立解得
（另一组
，因不合实际舍掉）
对滑块在最高点时由牛顿第二定律
解得F=3N
命题解读
新情境：设计了一个包含斜面、传送带、圆弧轨道的复合传送装置，模拟了实际工业
生产或物流中的传输场景，物理情境复杂且综合性强。
新考法：多功能关系综合：全面考查了动能定理（求B 点速度）、功的计算（摩擦力
做功）、相对运动与滑痕（传送带上的划痕长度）、动量守恒与机械能守恒（圆弧槽
内运动）以及圆周运动向心力（最高点压力）。临界与多解分析：第（4）问求解最
高点压力时，通过联立方程可能得到多解，需要根据物理实际（如速度方向、能量关
系）进行合理性判断并舍去不合实际的解。
新角度：复杂过程分析能力：要求学生能清晰分析物块在多个不同性质轨道上的受力
与运动变化。数学模型与物理意义的结合：尤其在滑痕计算和圆弧槽内相互作用问题
上，考查学生将物理过程转化为数学模型（如运动学公式、守恒方程），并能对数学
结果做出物理解释的能力。
3．（2025·北京·T19）关于飞机的运动，研究下列问题。
(1)质量为m 的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x 时速度为v。在此过程中，飞机
受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
(2)飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该
位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。已知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为
，减速时最
大加速度大小为
。求该位置距起点的距离d。
(3)无风时，飞机以速率u 水平向前匀速飞行，相当于气流以速率u 相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼，
方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力
大小F 与u 的关系满足
，并确定
的值。
【考向】力学三大观点的综合应用
【解题指导】前两问紧扣基本规律列式求解；第三问的关键在于将“气流对机翼的作用”合理建模为
“气流动量发生变化”，并正确应用动量定理和几何关系进行推导。
【答案】(1)
(2)
(3)论证见解析，
【详解】（1）根据动能定理
可得牵引力对飞机做的功
（2）加速过程，设起飞速度为
，根据速度位移关系
减速过程，根据速度位移关系
联立解得
（3）在无风的情况下，飞机以速率u 水平飞行时，相对飞机的气流速率也为u，并且气流掠过机翼改
变方向，从而对机翼产生升力。根据升力公式，升力与气流的动量变化有关，根据动量定理
可得
又
，
联立可得
又
可知
即
命题解读
新情境：以飞机起飞这一真实科技工程为背景，层层递进，从基础的功和能计算，到
起飞决策的临界位置分析，最后上升到飞机升力产生的流体动力学原理模型。
新考法：梯度设问，能力分层：三小问难度和考查维度明显递进。(1)问是动能定理
的直接应用；(2)问是运动学公式的综合应用，考查临界分析与推理；(3)问是模型建
构与理论推导，要求学生基于动量定理等规律，自主建立模型并推导物理量关系
（F∝u ²）。建模与论证能力：第（3）问是典型的“类科研”设问，跳出了套用公式
的范畴，重点考查学生的物理建模能力和逻辑论证能力。
新角度：从解题到解决问题：命题意图在于区分只会套用公式的学生和真正理解物理
原理并能用于分析新情境的学生。理论联系实际：引导学生关注物理规律在高端工程
技术中的应用，体现物理学科的应用价值。
4．（2025·江西·T13）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P 点，另一端经光滑孔钉Q 连
接质量为m 的小球A，该球穿过与水平直杆
（足够长）成
角的直杆
，两杆平滑连接。点P、Q
和O 在同一竖直线上，
间距为弹力绳原长。将小球A 拉至与Q 等高的位置由静止释放。当小球A 首次
运动到斜杆底端O 点后，在水平方向与穿在直杆
且静止于O 点、质量为
的小球B 发生弹性碰撞。
小球A、B 与杆间的动摩擦因数均为
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内
且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能
与伸长量x 的关系为
。已知重力加速度为g，
间距为
。
(1)求小球A 下滑过程中滑动摩擦力的大小；
(2)若从碰撞后开始计时，小球A 第一次上滑过程中离O 点的距离x 与时间t 关系为
（
为
常数），求小球A 第一次速度为零时，小球B 与O 点的距离。
【考向】力学三大观点的综合应用
【解题指导】（1）问核心是结合几何关系精确分析弹力绳夹角变化导致的支持力与摩擦力变化；（2）
问核心是识别简谐运动模型，并统筹弹性碰撞结果与两球后续不同的运动（简谐运动 vs 匀减速）时间
与空间关系。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示
以
点为坐标原点，沿倾斜直杆ON 向上为x 轴正方向建立坐标系。任意选取小球A 下滑过程中的某一
位置
，设此时弹力绳的伸长量为，小球A 受到的滑动摩擦力为
，小球A 对倾斜直杆的压力为
，
小球A 所受弹力绳的拉力为F，弹力绳与倾斜直杆的夹角为
，孔钉Q 到倾斜直杆的距离为
。设
对小球A 进行受力分析，可知
，
，
由几何关系可得
联立解得
（2）设小球A 下滑到斜杆底端
点时的速度为
，小球由静止释放运动到
点的过程中，由动能定理
可得
可得
由小球A、B 发生弹性碰撞后瞬间的速度分别为
、
，由动量守恒定律和能量守恒定律有
，
解得
，
由
，可知小球A 上滑过程做简谐运动，小球A 第一次速度为零时，距离达到最大值
，则有
解得
小球B 碰撞后开始在直杆OM 上做匀减速运动，加速度为
，设小球B 速度减为0 所经历的时间为
，
则
因
，则小球A 在碰撞后第一次速度为零时，小球B 与
点的距离为，则有
联立解得
命题解读
新情境：构建了一个包含弹力绳、倾斜与水平双杆、双球弹性碰撞的复杂力学系统。
情境抽象，对学生的空间想象力和抽象建模能力要求极高。
新考法：高端数学与物理结合：第（1）问要求建立坐标系进行变力（摩擦力）分
析，涉及几何关系与三角函数综合；第（2）问融合了弹性碰撞（动量与能量守
恒）、简谐运动识别（由x-t 关系判断）以及匀变速运动，需要极强的综合分析能
力。信息转化与运用：题目直接给出了小球A 上滑过程的运动学方程 x = A
sin(ωt)，考查学生能否识别出这是简谐运动特征，并从中提取振幅、角频率等信息
用于解题。
新角度：选拔性考核：本题属于压轴题难度，旨在选拔顶尖学生。考查重点在于处理
多对象、多过程、变力问题的综合能力。运用数学工具解决物理问题：突出考查利用
坐标系、几何关系、三角函数以及运动学方程解析式等数学工具，严谨推导和解决复
杂物理问题的能力。
知识1 力学三大观点对比
力学三大观点
作用效果
对应规律
表达式
选用原则
动力学观点
力的瞬时作
用效果
牛顿第二定律
F 合=ma
求解物体某一时刻的受力及加速度
时,可用牛顿第二定律列式解决,有
时也可结合运动学公式列出含有加
速度的关系式。
匀变速直线
运动规律
v=v0+at
x=v0t+1
2at2
v2-v0
2=2ax 等
能量观点
力对空间积
累效果
动能定理
W 合=ΔEk
①在涉及位移、速度,不涉及时间时
要首先考虑选用动能定理。
②在涉及相对位移问题时优先考虑
能量守恒定律,即系统克服摩擦力所
做的总功等于系统机械能的减少量,
即转变为系统的内能。
机械能守恒定律
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
功能关系
WG=-ΔEp等
能量守恒定律
E1=E2
动量观点
力对时间积
累效果
动量定理
FΔt=mv'-mv
①在涉及时间和速度,不涉及位移和
加速度时要首先考虑运用动量定
理。
②若研究的对象为相互作用的物体
组成的系统,一般考虑用动量守恒定
律去解决,注意是否符合守恒条件。
③碰撞、爆炸、反冲等问题因作用
时间极短,一般都可以运用动量守恒
定律。
动量守恒定律
p1+p2=p1'+p2'
能力1 解动力学问题的三个基本观点
1. 动力学观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
2. 能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
3. 动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．用动量定理可简化问题的求解过程．
能力2 力学规律的选用原则
1.如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
2.研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理
( 涉及时间的问题
) 或动能定理
( 涉
及位移的问题
) 去解决问题．
3.若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问
题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
4.在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，
即转化为系统内能的量．
5.在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形
式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
考向1 力学三大观点解决综合问题
1．（2026·安徽淮南·一模）如图所示，一不可伸长轻绳系一质量为
的小球（可看作质点）竖直悬挂在O
点，现将小球拉至与O 等高的
点，由静止自由释放小球。若球运动过程中经过
点时，重力的瞬时功率
最大，此时绳与竖直方向的夹角为
，重力加速度为
，以下判断正确的是（ ）
滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光
滑或受其他外力时，需选用动力学观点解题。
A．小球下摆到最低点的过程中，轻绳拉力先增大后减小
B．小球运动至
点时，轻绳对小球的拉力大小
C．
D．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0
【答案】C
【详解】AB．令轻绳长为L，绳与竖直方向夹角为
，根据动能定理有
对小球进行分析，小球做圆周运动，则有
解得
小球向下运动过程中，
减小，则细绳拉力一直增大，小球运动至
点时，轻绳对小球的拉力大小
，故AB 错误；
C．小球重力的瞬时功率
若有
对函数求导有
当导数值为0 时，重力的瞬时功率达到最大，解得
，故C 正确；
D．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为
小球下降高度不为0，可知重力平均功率不为0，故D 错误；
故选C。
2．
（2025·湖南·二模）打桩机是基建常用的工具。某兴趣小组为研究打桩机的工作原理，制作
了如图所示的简易模型。重物
、
、
的质量均为
，三者通过不可伸长的轻绳跨过两个等高的光滑
定滑轮连接。
与滑轮等高时（图中实线位置），与两滑轮间的距离均为
。某次打桩时，
由图中实线
位置静止释放，在
、
、
的总动能最大时，
刚好与正下方质量为
的静止桩
正碰，设碰撞时间
极短，碰撞后瞬间
的速度变为零。重力加速度大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．总动能最大时，
下落的高度为
B．总动能最大时，
下落的高度为
C．碰撞前瞬间
的速度大小为
D．碰撞后瞬间
的速度大小为
【答案】D
【详解】AB．总动能最大时，系统的加速度为零，整个系统处于平衡状态，则拉C 的两根绳子拉力为
mg，则根据力的合成及几何关系可知，两根绳子夹角为120°，则C 的下落高度为
，
故AB 错误；
C．系统机械能守恒，则有
解得
，故C 错误；
D．C 与D 碰撞时间极短，C 和D 组成的系统在竖直方向上动量守恒，则有
解得碰撞后瞬间
的速度大小为
，故D 正确。
故选D。
3．
（2025·湖南·二模）一倾角为
足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立
直
角坐标系，其中
轴水平，如图1 所示。从
开始，将一可视为质点的物块从
点由静止释放，同时对
物块施加沿
轴正方向的力
和
，其大小与时间的关系如图2 所示。已知物块的质量为1kg，重力加速
度
取
，
，
，不计空气阻力，则（ ）
A．
内物块始终做匀变速曲线运动
B．
内物块在
方向受合力
C．
时物块速度大小为
D．
内
和
对物块做的总功为
【答案】C
【详解】AB．根据题图乙可知
，
则F1、F2的合力为
物块在y 轴方向受到的力不变，大小为
沿x 轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，加速度在改变，所以物块做的不是匀变速曲线运动，故
AB 错误；
C．t=2s 时，沿x 轴正方向，对物块，根据动量定理得
沿y 方向的速度大小为
解得
则物块的合速度大小为
，故C 正确；
D．前2 秒物块沿y 方向运动的位移为
重力对物块所做的功
根据动能定理可得
，故D 错误；
故选C。
考向2 力学中的多过程组合问题
4．（2026·广东湛江·一模）某弹射游戏装置如图所示，由以下部分依次平滑连接而成（竖直和水平轨道互
不影响）：光滑水平轨道
、半径为
的竖直光滑半圆轨道
、半径为
的竖直光滑半圆轨道
、长度
的水平直轨道
、长度
且以恒定速率
顺时针转动的水平传送带
，以及足够长的光滑水平轨道
。其中，
点为半圆轨道
的最高点。在光滑水平轨道
上，
一轻弹簧一端固定于墙壁，另一端与质量
的小滑块（可视为质点）接触但不连接。弹簧初始时
在
点处于压缩锁定状态，弹性势能
。解除锁定后，小滑块被弹出，恰好能通过
点，之后依
次滑经轨道
和传送带
，最终冲上静置于轨道
上表面光滑的四分之一圆弧形物块
，其质量
，半径
。已知滑块与轨道
及传送带
之间的动摩擦因数均为
，重力
加速度
取
，空气阻力不计。
(1)求半圆轨道
的轨道半径
；
(2)求小滑块第一次向右滑过传送带的过程中，小滑块和传送带因摩擦产生的热量
；
(3)判断小滑块从
点滑上圆弧形物块
后是否能从
点冲出圆弧轨道。
【答案】(1)
(2)
(3)能从J 点冲出圆弧轨道
【详解】（1）小滑块恰好能通过半圆轨道ABC 的C 点，根据牛顿第二定律有
根据能量守恒定律有
解得
（2）对小滑块从弹簧解除锁定后到G 点过程，根据能量守恒定律有
解得
由于
，所以小滑块先做匀减速直线运动，假设小滑块可以减速到与传送带共速，对小滑块，根据
动量定理有
根据动能定理有
解得
，
所以小滑块先做匀减速直线运动后做匀速直线运动，小滑块到达H 点的速度
小滑块匀减速运动过程中，传送带位移的大小
所以小滑块和传送带因摩擦产生的热量
解得
（3）假设小滑块从I 点滑上圆弧形物块后不能从J 点冲出圆弧轨道，根据水平方向动量守恒有
根据能量守恒定律有
解得
故小滑块能从J 点冲出圆弧轨道。
5．（2026·广东·一模）如图为货物“绿色”传输的示意图。工人将货物甲从倾斜轨道AB 的顶端静止释放，
货物甲无机械能损失地滑上静止在水平面上的节能反弹车，货物甲运动到反弹车的最右端时恰好与反弹车
共速，此时反弹车与吸能反弹装置碰撞，货物甲滑上水平工作台，并与静止在C 点的货物乙发生弹性正碰，
碰撞后货物乙最终停在D 点，而反弹车经碰撞后反弹，恰好能返回B 点。已知轨道AB 的距离
、
倾角
，反弹车右端与反弹装置的距离
，工作台C、D 间的距离
，货物与轨道
AB、工作台的动摩擦因数
，反弹车与地面的摩擦力为反弹车对地面压力的0.1 倍，货物甲、乙是可
以看成质点的相同货物，不计空气阻力，重力加速度
取
，
，
，求：
(1)货物甲在B 点的速度大小；
(2)反弹车与吸能反弹装置碰撞后的动能与碰撞前的动能比值
；
(3)货物甲的质量与反弹车的质量比值
。
【答案】(1)
(2)0.2
(3)1.5
【详解】（1）设货物甲的质量为
，货物甲从A 点到达B 点的过程中，由动能定理得
解得货物甲在B 点的速度大小为
（2）设货物甲运动到反弹车的最右端时与反弹车刚好共速的速度为
，两货物发生弹性碰撞，碰后的
速度分别为
和
，则根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得
，
货物乙从
点运动到
点的过程中，由动能定理得
解得
设反弹车的质量为
，碰后反弹车的速度设为
，反弹车从
点到达
点的过程中，由动能定理得
解得
所以反弹车与吸能反弹装置碰撞后的动能与碰撞前的动能的比值为
（3）货物甲从
点到达
点的过程中，设时间为，
的距离设为
，则根据匀变速直线运动的规律
可得货物甲的位移为
反弹车的位移为
联立解得
，
货物甲从B 点到达C 点的过程中，设加速度大小为
，货物甲与反弹车间的动摩擦因数为
，则有
由运动学公式有
联立解得
反弹车从B 点到达C 点的过程中，设加速度大小为
，则有
由运动学公式有
联立解得货物甲的质量与反弹车的质量的比值为
6．（2025·云南昭通·模拟预测）一仓库货物运送装置如图甲所示，
是半径
的四分之一光滑圆
弧轨道，
点与圆心
等高，
点为圆弧最低点；水平轨道
与圆弧轨道相切，
为水平轨道的右端点
且距水平地面的高度为
，
长度为
；一高度可调的货架，底部固定在地面上，水平上表
面
的长度为
，距地面的最大高度为
；轨道
与
在同一竖直平面内，且
、
间的水平距离为
。质量为
的货物甲从
点静止释放，与静止在
点的货物乙发生弹性碰
撞，碰后甲、乙立即从右侧飞出，下落后均不反弹。已知
上涂有智能涂层材料，甲所受的阻力
的大
小与到
点的距离
的关系如图乙所示。忽略空气阻力，甲、乙均可视为质点，重力加速度大小取
。求：
(1)甲刚到
点时对圆弧轨道的压力大小
；
(2)甲与乙碰前瞬间的速度大小
；
(3)甲、乙飞出后，可通过调节货架高度使甲、乙均落在货架上，则乙质量的取值范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）货物甲由
点运动到
点过程，机械能守恒，有
货物甲在
点，有
解得
根据牛顿第三定律可得
（2）由
图像可知：图线与坐标轴所围面积表示阻力做功，货物甲从
点运动至与货物乙碰撞前，
根据动能定理有
解得
（3）设乙的质量为
，碰后甲的速度为
，乙的速度为
，弹性碰撞，有
，
解得
，
碰后，甲、乙均做平抛运动。
临界1：平抛运动最长时间为
，则
解得
检验：下落高度
，符合情境。
乙的质量最大时，碰后速度最小，刚好落在
点有
联立解得
临界2：平抛运动的时间最短为
，则
乙的质量最小时，碰后速度最大，刚好落在
点有
联立解得
故为确保甲、乙均落在货架上，乙的质量满足
