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易混易错6 翻折问题中混淆变量与不变量（小题狂练）
一．单选题.
【2024 连云港模拟】
1．在矩形ABCD 中，
，
，点E 在CD 上，现将
沿AE 折起，使面
面ABC，当E 从D 运动到C，求点D 在面ABC 上的射影K 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上湖北武汉阶段练习】
2．已知矩形
的长为4，宽为3，将
沿对角线
翻折，得到三棱锥
，
则三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上四川成都开学考试】
3．如图，在矩形纸片
中，
，将矩形纸片翻折，使点
恰好落在对角线交点
处，折痕为
，点
在边
上，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 安徽安庆模拟】
4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，N 点在边AD 上且
，将
沿BD 翻折
到
的位置，使得
. 空间四点
，B，C，D 的外接球为球O，过N 点作球O
的截面
，则
截球O 所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 安徽合肥模拟】
5．在
中，
，过点
作
，垂足为点
，将
沿直线
翻折，使点
与点
间的距离为3，此时四面体
的四个顶点都在球
的
球面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 陕西西安模拟预测】
6．如图，在矩形
中，
为
边上的点，且
，将
沿
所在直线翻折到
的位置，使
，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】在翻折过程中，注意
和
中各线段长度及相应的垂直关系没有变，
如
不变．由这些不变的关系确定
为二面角
的平面角是解题
的突破口
【2024 上浙江台州阶段练习】
7．如图，将正方形
纸片沿对角线
翻折，若E，F 分别为
的中点，O 为原
正方形
的中心，使得折纸后的二面角
的大小为
，则此时
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025】河南省部分学校质量检测】
8．设A，B 是曲线
上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x 轴折叠，
使得上，下两半部分所成二面角为
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【原创】
9．直线
与椭圆
相交于A，B 两点，若将x 轴下方半平面沿着x 轴翻
折，使之与上半平面成直二面角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】能翻折成符合题意的直二面角，需要注意隐蔽条件，过原点的直线不能经过
椭圆的短轴的端点，注意不变的极端最值
【原创】
10．如图，在直角梯形
中，
，
，将
沿
翻
折成
，使二面角
为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 安徽合肥模拟】
11．如图，在矩形
中，
为
的中点，将
沿
翻折．在
翻折过程中，当二面角
的平面角最大时，其正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 浙江绍兴二模】
12．在边长为4 的正三角形
中，E，F 分别是
，
的中点，将
沿着
翻
折至
，使得
，则四棱锥
的外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 山东潍坊阶段练习】
13．如图，在矩形
中，
，
，
分别为
的中点，将
沿直
线
翻折成
，
与
不重合，连结
，则在翻折过程中，
与平面
所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错指导】本题难点在于在翻折过程中如何找到
与平面
所成角，可以发现翻折
过程中平面
始终是固定的平面，即虽然
在动，但实际上平面
并不会动，只需
找到点
在平面
上投影即可得到该角.
二．多选题.
【2024 湖南长沙阶段练习】
14．如图，等边三角形
的边长为4，E 为边
的中点，
于D.将
沿
翻折至
的位置，连接
.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥
的体积的最大值是
C．存在某个位置，使
D．在线段
上，存在点M 满足
，使
为定值
【2024 湖南师大附中模拟】
15．在菱形
中，
.将菱形
沿对角线
折成大小为
（
）的二面角
，若折成的四面体
内接于球
，则下列说法正确
的是（ ）
A．四面体
的体积的最大值是
B．
的取值范围是
C．四面体
的表面积的最大值是
D．当
时，球
的体积为
【易错指导】因为这里是沿菱形对角线翻折的，所以菱形对角线相互垂直在翻折过程中不
变，这一点必须明确，否则就易出错
【原创】
16．如图，在矩形
中，
为
的中点，将
沿
翻折成
，若
为线段
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
平面
C．四棱锥
体积的最大值为
D．点
在某个球面上运动
【易错指导】翻折位置的变化引起
的变化，从而有范围限制；且四棱锥的底面的面积
为定值，因此要使其体积最大，只需点
到底面的距离最大
【2025 上重庆期中】
17．在矩形
中，
，点
是边
的中点，将
沿
翻折，直
至点
落在边
上.当
翻折到
的位置时，连结
，
，则（ ）
A．四棱锥
体积的最大值为
B．存在某一翻折位置，使得
C．
为
的中点，当
时，二面角
的余弦值为
D．
为
的中点，则
的长为定值
【2025 上浙江阶段练习】
18．如图，把正方形纸片
沿着
（
是线段
的中点）翻折成平面
，
是
原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）
A．
B．
与
所成角的最大值是
C．若
是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值的最大值是
D．过
做
的垂线与
交于点
，
【2025 上浙江期中】
19．已知曲线C 的方程为：
，
，
，过M 的直线交曲线
C 于A、B 两点（A 在B 的上方），已知
，
，下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
的最小值是2
C．
周长的最大值是
D．若
，将
沿
翻折，使面
面
，则折后
三．填空题.
20．在矩形
中，
是
的中点，
，将
沿
折起得到
，
设
的中点为
，若将
绕
旋转
，则在此过程中动点
形成的轨迹长度为
.
【2024 浙江温州二模】
21．如图，在等腰梯形
中，
，点
是
的中点．现将
沿
翻折到
，将
沿
翻折到
，使得二面角
等于
，
等于
，则直线
与平面
所成角的余弦值等于 ．
【2024 四川一模】
22．如图，在矩形
中，
，
，点
为线段
的中点，沿直线
将
翻折，点
运动到点
的位置．当平面
平面
时，三棱锥
的体
积为 ．
【原创】
23．已知如图1 所示的矩形ABCD 中
，
，现将△ACD 沿AC 向上翻折（如
图2 所示），在翻折过程中，当点D 到点B 的距离在
内变化时，点D 的运动
轨迹形状为 ，长度等于 ．
【易错指导】一般地，翻折前后位于折痕同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不
变，而位于折痕两侧的点、线、面之间的位置关系会发坐变化．因此在点
固定、线段
的长度固定的情况下，点
的轨迹是一段圆弧，其圆心为点
，半径为
24．如图所示，在平行四边形
中，E 为
中点，
，
，
.沿着
将
折起，使A 到达点
的位置，且平面
平面
.设P 为
内的动
点，若
，则P 的轨迹的长度为 .
【2025 上北京期中】
25．如图，长方形
中，
，
，
为
的中点，现将
沿
向上翻
折到
的位置，连接
，
，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点
再次落
到平面
内），点
到平面
距离的最大值为 ，
的中点
的轨迹长度为
.
1.试题特点分析：考查立体几何的高考试题中，翻折问题是常考题型，尤其与
空间距离相结合的问题问题是近几年高考的热点.翻折问题要确定翻折前后变与
不变的关系以及翻折后关键点的位置.
2.解题方法阐述：首先要确定翻折前后变与不变的关系，明确变量和不变量，
对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解
决；其次确定翻折后关键点的位置只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此
为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
3.解题经验分享：第一、画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后
图形的位置和数量关系的变与不变. 第二、正确分析翻折过程中运动变化的点．
以及与其相关的其他的点、线、面的关系变化.第三、正确利用有关判定或性质
定理进行推理.
